F (x -h at) = — ay

Ainsi, en deux points quelconques situés de part et d'auln* et à égale distance de l'origine, les vitesses sont égales et de mcnie sens, et les condensations égales et de signes contraires.

Cette disposition, qui a lieu à chaque instant, a lieu aussi dans l'état initial. Ainsi , dans lé cas d'un tuyau ouvert, le moyeu de ramener la question à celui d'un tuyau ifidcfini consiste à supposer le tuyau prolonge et rcnij'li

niKUXlÈME Ï»ARTÏK. — ttYDRODTNAl^IQUB. SlT

tVan gaz ideniîque au premier, ei disposé au commencement du mouTement, de manière que deux points également distants de l'origine et de côtés différents aient des vitesses égales et de même sens , et des condensations égales et désignes contraires.

204. Examinons le cas particulier où l'ébranlement ini* tial donné a une étendue finie BC '(Jig» i5) comprise entre les abscisses d et d -{- l. Alors les fonctions F, y sont nulles pour toutes les valeurs de la variable qui ne sont pas comprises entre r/etrf+Z, et, d'après l'équation *(3), pour toutes les valeurs négatives non comprises entre — d et — d — /. Elles sont représentées par. les courbes tracées sur la figure. Or, d'après le principe de superposition , les ondes correspondantes à chacun des ébranlements BC, C'B' se propageront avec une vitesse co^stante a. Les deux qui vont en s'éloignant de  ne donnent lieu à aucune remarque particulière. Quant aux deux autres , elles arriveront ensemble au point A et continueront leur marche e;n se -superposant dans les points communs. Lorsque la seconde extrémité de chacune sera arrivée en A, ces deux ondes seront entièrement séparées, et celle qui est venue de G'B' vers A continuera son mouvement vers les X positifs jusqu'à l'infini. De sorte que dans le tuyau réel, ouvert en A, la réflexion.qui se fait en ce point a précisément pour effet de produire cette dernière onde.

Le rapport entre l'onde réfléchie et l'onde incidente résulte de la remarque faite précédemment , relativement aux points qui ont des abscisses égales et de signes contraires. En effet, l'onde incidente continuant sans altération son mouvement du côté des x négatifs, il suit de la remarque que nous rappelons, que, pour avoir Tonde réfléchie, il faut concevoir que chacun des éléments de Tonde incidente, aiu*ivant en A, se replie sur lui-même avec la vi-

3l8 COURS DE MECANIQUE.

tcssc a, mais de telle sorte que la vitesse absolue des molécules y reste la même en grandeur et en signe, tandis que la condensation a changé de signe san»^ changer de grandeur.

On peut remarquer que si cette onde réfléchie allait de nouveau rencontrer une ouverture communiquant avec un réservoir indéâni, elle subirait une nouvelle réflexion suivant les mêmes lois et redeviendrait identique avec la première onde incidente. Et cet effet se reproduirait indéfiniment.

Mouvement d'un gaz dans un tujrau limité dans les deux

sens.

205. Lorsqu'un tuyau est limité dans les deux sens, il se passe à ses deux extrémités, ouvertes ou fermées, des effets semblables à ceux que nous venons de considérer. Chaque élément de Tébranlemetit donne naissance à deui ondes qui marchent en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités suivant les lois que nous venons d'établir. On peut reconnaître ainsi la périodicité de ce mouvement et la durée de la période.

Considérons, par exemple, un tuyau fermé à ses deux extrémités. Un élément infiniment petit de l'ébranlement initial donnera lieu à d^x ondes élémentaires. Suivons la marche de l'une des deux. Parvenue à Textrémité, elle sera réfléchie de manière que la condensation soit restée la même, et la vitesse la même au signe près -, arrivée à la seconde extrémité, elle est de nouveau réfléchie, en conservant la même condensation et la même vitesse au signe près; elle est donc revenue au même état qu'au moment du départ. Or, elle reprendra sa position* initiale après avoir parcouru , avec la vitesse « , un espace égal à deux fois la longueur du tuyau; et il en sera de même de tous

DEUXIÈME PÂ.mTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3ig

les éléments de rébranlemenl primitif; et, par conséquent, à ce même moment, l'état du gaz dans le tuyau entier sera identique avec l'état initial. Les états subséquents seront donc les mêmes que ceux qui ont déjà eu lieu, et ce mouvement se reproduira périodiquement. Si Ton désigne par / la longueur du tuyau, la durée de la période

sera — • Un raisonnement analogue montrerait que, dans

le tuyau ouvert aux deux extrémités , l'état du gaz redevient encore le même lorsque l'onde élémentaire a parcouru l'espace 2/.

Mais si le tuyau est fermé d'un côté et ouvert de l'autre, les choses ne se passent plus tout à fait de la même manière 5 comme il faut, pour-que l'état du gaz soit redevenu le même, que l'onde élémentaire ait subi deux fois la même espèce de réflexion, et que les deux extrémités en produisent d'espèces différentes, il sera nécessaire que cette onde ait parcouru quatre fois la longueur du tuyau, et, par

conséquent, la durée de la période sera — •

On désigne sous le nom de ^vibration un petit mouvement qui se reproduit périodiquement 5 et l'on reconnaît , en physique , que le son qui en résulte est d'autant plus aigu que le nombre de vibrations faites dans un même temps est plus grand. Il suit de la discussion précédente que le son rendu par un tuyau ouvert à une extrfoiité, et fermé à l'autre, est à l'octave au-dessous de celui que rendrait un tuyau de même longueur, ouvert ou fermé à ses deux extrémités.

Il est bon de remarquer que la durée que nous avons reconnue pour la période est une limite supérieure»^ Nous avons prouvé qu'après cet intervalle on retombe identiquement sur le même état du gaz, et généralement on n'y retombera pas auparavant. Mais il est possible que 1 elat initial soit tel qu'il se reproduise identiquement avant que

cet intervalle ne soit achevé 5 cette période , plus petite, né pourra évidemment être qu un sous-multiple de la première. Nous ne faisons qu^ndiquer ce résultat que nous retrouverons toiit à l'heure dans la discussion directe et complète des trois cas que nous venons d'examiner rapidement.

I**. Cas d'un ti^au fermé à ses deux extrémités, — En désignant par / la longueur du tuyau ÂB (fig* 17) et conservant toujours les mêmes notations, nous aurons à satisfaire aux équations suivantes :

fO -:i7.' = -

dt^ dx^

(aj —i = o pour a: =0 et pour x = /*,

(3) ''2c^^^''^' ^=— «'X(-^) pour f = o.

J /intégrale générale de Féquation (i) est

y = F, (xH-flr^) -4-/, (x — ^r).

La condition (2), relative à a: = o , conduit à réquatiou suivante, dans laquelle z désigne une quantité arbitraire:

La même condition (2) , considérée pour x = /, donnera

(5) F(/4-z)+/(/-zJ=o.

Les fonctions P et/, qui se déduisent, comme nous l'avons déjà fait voir, des fonctions données cp, ;f , ne sont déterminées , comme ces dernières , que pour les valeurs de la variable qui sont comprises entre o et /. Les équations (4) et (5) vont les déterminer complètement, et Ton saura alors quel devrait être l'état initial du gaz dans un tuyau