un intervalle écal à

3". Cas d'un tuyau fermé d'un côté et ou^eit de Vautre, — Supposons qu'à l'extrémité prise pour origine , le tuyau soit fermé, et qu'il soit ouvert à l'autre, on devra avoir, quel que soit f ,

(i) --i.=:o pour j? = o,

(2) -j- = o pour X z=z l.

Ces deux conditions conduisent aux suivantes :

En changeant z en z + /dans l'équation (4) , on obtient

Y(ïl-\-z)=f{-z),

324 COURS DE M^GANIQUE^

et, d'après Téquation (3) ,

La fouction F ne reprend donc pas la même valeur quand la variable augmente de 2I. Maïs ces deux valeurs ne diffèrent que par le signe. Donc , si l'on augmente de nouveau la variable de 2/^ la fonction reprend identiquement sa première valeur. Elle est donc encore périodique, mais la période répond à l'intervalle 4' de la variable.

On reconnaîtrait la même propriété pour la fonction/, en changeant z en z — / dans Téquation (4)- U suit de là que, dans le cas actuel, F état du tuyau est encore périodique, mais que généralement il ne redevient le même qu'après un intervalle égal à — > comme nous l'avions déjà démontré d'une autre manière.

Solution des questions précédentes au moyen de séries

trigonométriques .

206. Nous allons maintenant traiter la question du mouvement de l'air, ou d'un gaz quelconque, dans un tuyau fini, au moyen d'une méthode très-féconde, et beaucoup plus commode dans la plupart des cas. Elle consiste à déterminer d'abord , non pas l'intégrale générale de l'équation aux différentielles partielles , mais un nombre infini d'intégrales particulières, que l'on assujettit à satisfaire chacune aux conditions relatives aux limites du système. Si Ton a eu soin de préparer les équations de manière à ce qu'elles ne renferment pas de termes indépendants de la fonction ou de ses dérivées , une somme d'intégrales particulières , mul* tipliées respectivement par des constantes arbitraires, est encore une intégrale de l'équation indéfinie, et elle satisfait encore aux équations aux limites si chacune des pre-