DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

mièrcs y satisfait. 11 ne s'agit donc plus que de déterminer les constantes en nombre infini , que renferme cette intégrale, de manière qu'en faisant t=o on obtienne Fétat initial proposé. Nous allons reprendre, en suivant cette marche, la résolution des derniers problèmes.

1**, Mom»cmcnt d'un gaz dans un cylindre fermé des deux côtés. — En employant les mêmes notations que précédemment, il faudra satisfaire aux conditions

\2} — = o pour X = o et pour x = /,

(3) ^^^(^a:) pour f^o,

(4) cU ^ '^^' ^^^"i P^""^ t=:0.

On reconnaît immédiatement qu'on satisfait à Téquation (i) en prenant

(p = (M cos/wjc-f-N sinmx) (A sin amt~\- B cos amt),

M, N, A, B, m étant des constantes arbitraires. Pour satisfaire à la condition (2) , quel que soit t^ il faut que la dérivée du facteur

M cos MX H- N sin mx , ou — m {M. sin mx — N cos mx ) ,

soit nulle pour j: = o et pour x = /, ce qui donne les deux équations

N=o, sm/n/ = o, d ou /?f = — ,

n désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif. Mais on peut se borner aux valeurs positives , parce que les valeurs de (f correspondantes aux valeurs négatives de n

3^6 COUmA DK MÉCAHIQUE.

ne difliéreraient pas des premières, vu F indétermination des coefficients.

Désignons par £ une somme relative à toutes les valem^ entières et positives de n; supposons que A et B changent arbitrairement avec n , et supprimons le £sicteur M qui est inutile ; nous aurons une intégrale plus générale de Fëquation (i), satisfaisant aux conditions relatives aux extrémités du tuyau. Cette intégrale est

nitx i . anttt ^ amzt\ y = 2 cos — - — ( A sin — h B ces — - — ) •

Si nous diflérentions celte expression par rapport à x et ( pour en déduire u et y qui donnent la solution de la question , et que nous remplacions par A et 6 les constantes

arbitraires A— ? 1^-7-' nous aurons

itv ^ . ^"^^ /a • o.m:t anntX

(5) « = — 2 sm — — I A sin — h B cos — — j 9

//?x ^ nii.x l anizt ^ . amzt\ (0) 07 = — Icos— - — lAcos — B sin U

Si nous faisons ^ = 0 dans ces expressions, les équations (3) et (4) donneront, pour déterminer A et Bj les conditions suivantes :

(7) ïBsin— p- = — 4/(jr),

nitx

(8) 2Acos— — = — ax{^)*

Pour (léierminer les coefficients B, nous développerons la fonction i|/ [x) , qui est donnée dex=o k x = l seulement, en série procédant suivant les sinus des multiples de X, C'est supposer que Ton ait