DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE

et (-elle condition peut être admise, puisque ^ (x) est entièrement arbitraire en dehors des limites o et /. On fera usage, à cet effet, de la formule suivante (Cours d^Analjrse) :

^) = 7 > Sin /i -— I (p(aj sin/i-— r/a,

ot Ton voit qu'on satisfera à la condition (7) en prenant

B = — - 1 i|;(a) sin/2 — ^a.

* Jo *

Pour satisfaire à Tëquation (8), il faudra faire usage d'une formule de développement où n'entrent que les cosinus des multiples de x ] c«Ia suppose que Von ait

et l'on peut s'assujettir à cette condition, puisque la fonction y^ est arbitraire en dehors des limites o et /. On emrploiera, à cet effet, la formule suivante (Cours d'Analyse) :

(p(j?) = - I ?(«)"« -f-7> cos/i— I <p(a) cos« — -rta. Or, dans le cas actuel on a

car la condensation moyenne dans le gaz du tuyau est nulle, puisque les tranches extrêmes sont restées immobiles. On satisfera donc à la condition (8) en prenant, pour toute valeur entière de w, autre que zéro,

A = — -- f x(«;cos/? — f/a.

l.cs formules (5) et (6) deviennent ainsi

TTX

(9) u = -jl9mn-

nx

( I o ) 7 = - i cos /i —

-f-cos— — I 4'l«)sin— T^«« — J x(«)cos-y-^/a

an cos

-sin~y- I 4,(a)-sin-j-rfa \

sin

On reconnaît immédiatement que si pour une même valeur de t on considère des valeurs de x, différant les unes des autres de la quantité 2/, les valeurs de u et y qui leur correspondent seront les mêmes. Ces fonctions sont donc périodiques relativement à x, et la période répond à l'étendue 2/ sur Taxe des x. Si , de même , on laisse x constant , et que

l'on fasse varier f de — » w et y conservent encore les mêmes

valeurs; le mouvement de chaque point est donc pério-

dique, et la durée de la période est — •

Ces formules (9) et (10) sont celles que Fou obtiendrait pour un tuyau indéfini, en partant de l'état initial que l'on trouverait en faisant « == o. Cet état initial indéfini, et qui serait évidemment périodique, tiendrait lieu des conditions des extrémités.

207. Si l'on considère en particulier Tétat initial pour lequel la série se réduirait à un seul terme , correspondant à une valeur quelconque n , on aura ce que l'on appelle un mouvement simple du système. Un état variable simple, dans toute théorie, est celui où le changement, quel qu'il soit, se fait en tous les points, proportionnelleineul à une môme fonction du temps. Les rapports sont alors les mômos à tout instant.

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Dans les questions que nous traitons, ces états ne peuvent être que de la forme que nous avons choisie, vu que les exponentielles qui constitueraient la seconde forme possible, ne satisferaient pas aux conditions des extrémités. Ce mouvement sera représenté par des équations de la forme suivante :

. njtx l ^ . anizt ^ anirt\ u = sm — j— ( P siii — h Q ces — — j •>

nitx I ^ arn^t ^ . amtt\ fl -y = cos —j- I P ces — Q sin — — j •

La durée de la vibration est, dans ce cas, — au lieu de —

' na a

Les valeurs de u sont nulles pour toutes les valeurs de x qui

satisfont à Téquation

. nizx sm — r- = G ,

et sont renfermées dans la formule

kl n

k étant un nombre entier.

Les points où le gaz est immobile dans le tuyau, ou les nœuds f sont donc tous ses points de division en n parties égales.

Les points où la condensation est nulle, et qu'on appelle ventres y seront donnés par Féquation

nna: , (2X- -f- i)/ cos — — = o , d ou jc == ^ ■— ;

ils sont donc situés aux milieux des intervalles successifs des nœuds.

208. 2^. Cas où le tuyau est ouifert à ses deux extrémités. — I^rs équations relatives aux extrémités sont, dans

33o COURS UK MLCAMIQUE.

ce cas ,

dfa

--i = o pour j: =r o et pour x=z i.

Les autres équations sont les mêmes que dans le cas précédent, et Ton aura une valeur de (f satisfaisant à tout, excepté à l'état initial , en prenant

n-KX I ^ . anift ^- amzt\ y = Z sin — - ( A sin — h B cos — - — J »

la somme £ se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de « 5 et A, B étant des constantes arbitraires, variant avec /i.

On déduit de celte valeur de (p les expressions suivaules de u et y, qui sont les seules dont on ait besoin et dans lesquelles les indéterminées  et B diffèrent par le facteur -rde celles qui entrent dans (f :

nnx / ^ . anirt ^ anirt\ u = l cos -— - I A sin — - — -f- B cos — - — j •>

. nnx / annt „ . amrl\ ay = — S sin — -- ( A cos — Bsm — — ] •

Pour que ces valeurs satisfassent à l'état initial , il faudra que Ton ait, entre les limites a: = o et x = /, les deux identités suivantes :

2B cos — — = -^ (.r) ,

. rnzx .

SAsm -J- =--rtx(^)»

fie qui montre d'abord que les fonctions J^ et ;^ doivent iiw périodiques par rapport à a:, et que Tétendue de la période est il\ que, de plus, la fonction ^ coiiserve la même valeur quand on change x en — .r, tandis que la fonction ;( prend une valeur égale el de signe contraire, par ce même chan-