DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE
Vautre, — Supposons, en dernier lieu, que le tuyau soit ouvert à rextrémité située à l'origine, et fermé à Tautre. On devra avoir alors
-^ = o pour j: = o ,
dm
■y^ = o pour 0? = /,
dx
et Ton satisfera à toutes les conditions , excepté à celles de l'état initial, en prenant
<p = 2 sm ^ r — { A sm ^ -^ h B cos ^ ^
A et B désignant des constantes arbitraires, variant avec /*, et la somme Z se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n. On déduit de là pour m et y les valeurs suivantes, dans lesquelles A et B désignent de nouvelles indéterminées, qui diffèrent des précédentes par le fac-
(2/1 4- l) Tf .
teur
f2/i-h i) TTxl . (2«+i)7rar ^ (2/i-+-l)7r«f
«==2008^ -^--^ <Asin^ — -^ hBcos^ / —
«7 = — îsin ~ — <Acos^ r Bsin^ ~ >.
Pour que ces expressions satisfassent à Tétat initial , il faudra que Ton ait, entre les limites x = Oy o: = /, les deux identités sui van tels :
iBcos' ^ = n^)>
2 A sm ^ j^ = — ax(^)'
Ces équations exigent que les fonctions ^ (x), y^ (x), considérées dans l'étendue indéfinie de Taxe des x^ soient
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telles que , lorsqu'on y change x en — x , la première resté la même , et la seconde la même au signe près *, que les valeurs /-ha et / — a , prises pour x , donnent pour ^ (x) des valeurs égales et de signes contraires , et pour "/^ (x) des valeurs égales et de même signe; et qu'enfin ces fonctions soient périodiques par rapport à x , Tétendue de la période étant 4 1* Ces conditions peuvent être admises , puisque ces fonctions ne sont données qu'entre x = o^ a: = /, et cet état initial assurerait les conditions des extrémités en supposant le tuyau indéfini dans les deux sens Bt le gaz entièrement libre.
Les valeurs générales de A et B, propres à satisfaire aux équations précédentes, sont
B==- i x|;(a)cos^ ^ da
* Jo
. (2/1 H- i.)7ra
xM^^^' — ^ — '^'''
La solution de la question sera donc donnée par les formules suivantes :
( . (in -i- i)nae C^ / \ • i^n -^-i)icx i^asin' --1 / x(«)sin^ -f—d:
2 f 2 « -h I ) U =^1 CCS
/ il
(2«-hl)7rflr r\ (2«4-l)7ra
eos ^ r^ / 4^ ( a ) ces ^ Y — fl^
(in -\- i) t: at f*
