in -\- i)nx «p = -- 2 sm i

l)T:at r' . {in +i)'f3t

a 11 Jo- 2'

les sommes 2 se rapportant à toutes les valeurs positives et entières de n depuis o jusqu'à Pirifini.

Ces expressions sont périodiques par rapport à x et /,

deuxième; partie. — hydrodynamique. 335

/ 1 dans un intervalle 1 1 pour jc, el — pour t, La durée de la

période est donc double , dans ce cas , de ce qu'elle était dans les deux cas précédents, et le sou fondamental rendu par ce tuyau est d'une octave au-dessous de celui que rendrait un tuyau de méinç longueur, ouvert ou fermé des deux côtés.

211. Si Ton considère le mouvement simple correspondant à une valeur unique quelconque de /i, la durée delà

période sera > ■ — : —

Les nœuds seront donnés par les racines de l'équation

( 2« -h l) tzX ces -T- = O ,

qui sont représentées par la formule

k désignant un nombre entier. Les distances des nœuds à l'origine sont donc respectivement

ils soiit distants les uns des autres de ? el, par con-

séquent, à partir du premier, on a comme une suite de

2/ tuyaux d'une longueur égale à ? et dont les deux ex-

trémités seraient immobiles et pourraient, par conséquent, être considérées comme fermées.

Les ventres ont pour abscisses les racines de Téquation

. ( 2 « -f- I ) TT JC

ces racines sont représentées par la formule suivanie, dans laquelle h désigne un nombre entier indéterminé :

Les distances des ventres à Torigine , dans toute l'étendue du tuyau , sont donc respectivement

2/1-1-1 2/l-f-I 2/1 -hl

Ce sont encore les points milieux entre les nœuds succes-

2 / sifs ; ils sont distants les uns des autres de = — , et le gaz

compris entre deux ventres consécutifs est dans le même cas que s'il se trouvait dans un tuyau ouvert aux deux

bouts , qui aurait pour longueur —

Du mouvement dans un gaz indéfini dans tous les sens.

21 â. Considérons maintenant les petits mouvements des molécules d'un gaz homogène indéfini dans tous les sens; nous aurons Téquation précédemment démontrée

^ ^ <y/» \ dx' djr' dz'

Il n'y aura, dans ce cas, aucune condition aux limites, puisque le fluide s'étend à Tinfini dans tous les sens ; mais il faudra toujours satisfaire à l'état initial^ ce qui exige que

-i^> -r ' "T^ et ~ deviennent des fonctions données arbidx dy dz dt

trairement des variables x, y^ z, lorsqu'on y fait f = o,

Or, les trois dérivées partielles d'une fonction x^ y^ z étant

données, la fonction elle-mênie est connue à une constante

près dont il est inutile de tenir compte dans la question ao-

DEUXliME PàATU, — HYDRODYNAMIQUE. 337

tuelle; d'où il suit que l'éiat initiai étant donné, on connaît

les valeurs de (j) et -^ pour ^ = o. Ainsi , en désignant par

F et/* des fonctions arbitraires de x, j^, z, les conditions de l'état initial seront exprimées par les équations

(2) y=/(a:, j-, z), -l==F(a;, j, z), pour f=o;

la question se réduit donc à satisfaire aux équations (i) et (2). C'est ce que l'on fera au moyen de la formule suivante, qui a été donnée par Poisson :

x-^at cosô, y-^atûn 9 cos\p,\

o */o ^a-|-û^sin0 sinxp