DEUXIÈME PARTIE, — HYDRODYNAMIQUE

les quantités âx^ ây^ âz^ dx\... satisfaisant aux conditions

dh ^ dlj - dh -

lix dy dz

dM ^ dU ^ dU ^

— - ^JC -h -— ^7 -h -, - ^3 -f- . . . =r O, dx dy dz

Dans ces équations (5), les coefficients diffèrent de ceux des équations (2) de quantités linéaires en a, 6, y,.... Ainsi, par exemple, on a

dL^dL d'L d'L

dx da da^ dadb ' • • '

et de même des autres. Les équations (5) déterminent un certain nombre de à en fonctions linéaires des autres , qui' resteront entièrement arbitraires. Les coeflScients qui affecteront ces derniers dans ces fonctions pourront se décomposer en deux parties : l'une finie, que l'on obtiendrait en faisant a = o, 6 = o, etc., et l'autre qui renfermera linéairement les quantités très-petites a, 6, 7,.... En se bornant à la première partie, on aurait évidemment l'expression des à relatifs à la position d'équilibre du système.

Gela posé, si l'on substitue dans l'équation (4) les ^ tirés des équations (5), il faudra égaler à zéro les coefficients de tous ceux qui resteront et seront entièrement arbitraires. Mais il est facile de voir que ces coefficients pourront toujours être réduits à deux parties : l'une finie, et qui sera la

même que si les forces X, Y, Z,..., et les fonctions 77— v

dx

avaient les valeurs relatives à la position d'équilibre -, Tautre renfermant linéairement a, 6, 7,.."., -77' •••5 les pro-

35o couas dé mécanique.

duits de ces dernières quantités e^tre elles étant toujours négligés. Mais la première partie est nulle dans chacune de ces équations en vertu de Téquilibre ] il ne reste donc que

la seconde, dans laquelle les quantités a, S, y,."? "TT'

-7— 9*** entrent linéairement à tous les termes.

Les équations ainsi obtenues devront être jointes aux équations (2); ces dernières déterminent un certain nombre des inconnues a, S, y, a',... en fonctions linéaires des autres ; et si l'on suppose qu'on élimine ainsi cdles dont les indices sont les plus élevés, et qu'on résolve ensuite les équations restantes, par rapport aux dérivées secondes, on arrivera déûniiivement à un système adéquations de la forme suivante, eu même nombre que les inconnues a, 6, y, a'... :

= /Il a -f- w, 6 H- /w,7 H- m^ad-^- . . . ,

dO

dt

=z noL -{- 71,6 -4-/Ij7 4- /i^a'-f-. . . ,

-— .=:m'a-H/7i,5-|-ffï,7-|-/7i3a'-h. . . ,

217. Il sera quelquefois utile d'exprimer les quantités a, 6, y, «',.-• au moyen d'autres variabjes indépendantes w, i^, "^^t/,..., très-petites comme les premières, et il est facile de reconnaître que les équations en u, i^, "W^vm seront de même forme que les équations (6) •, car les expressions des quantités a , 6 , . . . au moyen de u , v^j iv, . . . ne renfermeron t que des tenues où entreront les premières puissances de CCS dernières \ et si l'on substitue ces expressions et leurs