DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

dérivées secondes par rapport à t dans les équations (6), ou aura de nouvelles équations linéaires qui donneront pour

"TT' "TT'*** ^^® expressions renfermant linéairement à tous leurs termes les quantités w, j^, w,....

218. Supei^position des mouv^ements . — La forme des équations (6) conduit à une conséquence très-importante.

On reconnaît immédiatement que si plusieurs systèmes de valeurs de a, 6, y,.* • Y satisfont séparément, et que l'on ajoute ensemble toutes les valeurs de a dans ces différents systèmes, que Ton ajoute de même entre elles toutes les valeurs de S , et ainsi de suite , on formera un nouveau système qui satisfera aux mêmes équations. Quant à l'état initial des points dans le mouvement représenté par ce dernier système, on voit qu'il résulte de la superposition des états initiaux correspondants aux systèmes partiels; c'est-àdire que les composantes des déplacemeqts et des vitesses parallèlement aux axes, dans ces derniers, s'ajoutent algébriquement pour former les composantes relatives à l'autre système. Cette addition des composantes revient à la composition des déplacements et des vitesses suivant les règles relatives aux forces, ce qui ne présentera jamais aucune difficulté, quel que soit le système des coordonnées.

Ainsi, la superposition de plusieurs états initiaux détermine un mouvement tel , que le déplacement des points à une époque quelconque résulte de la superposition de ceux qui, à la même époque, s'observeraient dans les mouvements correspondants aux états initiaux partiels*

Et, par conséquent, lorsqu'un système de points, assujettis à des liaisons quelconques, et soumis à l'action de forces quelconques , est écarté infiniment peu d'une position d'équilibre stable, puis abandonné à lui-même, les déplacements de ces diflercnls points à une époque quelcon-

352 COVRS DE «ÉGANIQUE.

que pourront toujours être considérés comme résultant de la composition de ceux que Ton observerait à la même époque dans d'autres mouvements du même système, en nombre quelconque, et assujettis à cette seule condition, que la composition de leurs états initiaux, sous le rapport des déplacements et des vitesses , donne pour résultat l'état initial proposé.

219. jipplication au pendule conique. — Pour faire comprendre de suite l'utilité de ce principe , nous allons en faire l'application à un cas très-simple, que nous avons déjà traité par une autre méthode. ,

Considérons un point matériel pesant , assujetti à rester à une distance. constante d'un point fixe, et que l'on écarte infiniment peu de la verticale menée par ce point , en lui imprimant une très-petite vitesse horizontale. Ce problème a été résolu dans les n°* 319, 320 du premier volume de cet ouvrage \ nous emploierons les mêmes notations pour la nouvelle solution que nous allons en donner.

Nousprenonspouroriginelepoint fixe A (fig. i8), pour axe des z la direction de la pesanteur, et nous ferons passer le plan des a:, z par la position initiale AB du pendule. Soient M la position du point matériel à une époque quelconque, P sa projection sur XY, C celle de B. Posons

BAZ — a, MAZ = Ô, PAX = >p, AM = «, AP = r,

et désignons par k la vitesse initiale.

Nous ramènerons la question à deux autres plus simples en décomposant Fétat initial dans les deux suivants. Dans le premier, nous supposerons le point matériel placé en B sans vitesse; et, dans le second, nous le supposerons dans la verticale AZ, et animé de la vitesse initiale donnée. La composition des déplacements à une époque quelconque, dans ces deux mouvements indépendants l'un de raulrc.

bBÙXliMB PARTIS. -^ HYDKDbYNAMiQtJÈ. 353

fera connaître le déplacement cherché du point M pour la même époque.

Si, dans le premiet mouvement) nous désignons par ^ Tangle variable formé par le pendulfe avec AZj nous aurons (n® 308, tome P") , au degré d'approximation àUquel tious noUs arrêtons^

Ddns le second mouvement ^ soit (O l'angle fortné par le peu«dule avec AZ^ et supposons que la direction de Taxe des y ait été choisie de telle sorte que la vitesse initiale X: porte le pendule dahsTangleZAY, correspohdaut anxk valeurs positives de (ù *, nou^ aurons alors

(b) w==— rsin./i/|^ = 6siniri/^*

en posant -^= 6'*

Les équations (a) et [b)^ faisant connaître la position du point à chaque instant ^ déterminent toutes les circonstances de son mouvement.

220. Si l'on veut connaître les coordonnées rectangulaires du point M, il faudra calculer son x au moyen de l'équation (a), et sonj^ par Téquation (i). La troisième coordonnée ne diffère de l que d'une quantité du second ordre. On la déduirait des deux premières au moyen de l'équation de la sphère; mais il esl inutile de s'en occuper.

Or, on a

a: = / sin f , j^ =r / sîn w ,

ou, en négligeant les quantités très-^petites du troisième ordre,