II. ii
3S4 COITBS 1^. MKCAlirQUlC.
On aura donc d'aboixt
= loL cos.r y^j y = l^ %m.t i/^.
et, ^OInmf^tang^ = -i il en résultera
lang^= -tang./ t/^.
La valeur de r, ou AP, se déduit des équations (c),, en observant que /•* = x' 4-j^'; il en résulte
On en déduira la valeur de Tangle 6 dont le sinus est -; o» obtiendra ainsi
^ = a' cos» . t i/^ + n^ sin'. i i/^*
Enfin , si l'on veut connaître la projection de la trajectoire sur te planx,^, il faudra éliminer t entre les équations (f)< et Ton trouvera
3J-J»-|- ^'jt'=Z /»«'&%
ellipse dont les demi-axes sont /a , /o.
Tous ces résultats coïncident avec ceux qui avaient été obtenus dans les numéros déjà cités du premier volume. IF serait très-facile de généraliser cette question sous plusieurs rapports.
Ainsi, d'abord, on pourrait supposer la vitesse initiale dans une direction quelconque sur la surface de la sphère. On la décomposerait alors en deux autres , l'une horizon-* taie, Tautre dans le plan vertical passant par la position^ initiale. On aurait alors à eon^dérei* deux mouvement»
peUXIEHfi PA&TIE. — HYtoBODYNAMIQUB. 355
«kaples qui ne différeraient des précédents qu'en ce que dans Tétat ipilial de Tun d'eux il y aurail à la fois déplacement et vitesse.
Si le point pesant , au lieu d'être situé sur une splière, était sur un ellipsoïde ayanît un de ses axes principaux sur<^ vant la verticale, on décomposerait le déplacement initial «n deux autres, parallèles aux deux axes horizontaux , et la i^ilesse initiale en deux autres, parallèles aux plans prînci^ paux. On chercherait alors le mouvement résultant du dé-f placement et de h, composante de la vitesse, parallèlement à Tun des plans ^ ce qui ramènerait à un mouvement sur le cercle osculateur de cette ellipse principale. On chercherait ensuite le mouvement sur le cercle osculateur de la seconde section , d'après le déplacement et la composante de la vitesse parallèlement au sfMcond plan. On serait ainsi ramené à deux mouvements simples, que l'on composerait comme -dans le cas précédent.
Enfin, si le point pesant était situé sur une surface quelconque , et irès-pieu écarté du point où le plan tangent est horizontal, on remplacerait cette surface par un ellipsoïde passant par ce point ^t ay|int ses sections priocipales de même courbure et de même direction que celles de la surface en ce même point ^ et le problème serait le même que le précédent.
221. Dti cas oà ton inlro/hiit de nom^elLes Jprces: r- Nous avons obtenu les équations (6) en suppoisu^nt siçuj|ement que les points du système aient été dériangés de leur position d'équilibre, et qu'on leur ait communiqué ce|*taines vitesses initiales. Mais on généraliser-ait la qu^estion en intror duisant de nouvelles forces, susceptibles de ne produire que des déplacements très-petits. C'est ce que nous allons faire maintenant, en supposant toutefois que ces forces soient indépendantes du temps ainsi que des quantités
J56 CLOUES DE MÉCAMIQUS.
a, 6^ y».... On arrive, dans ce cas, à des résultats généraux qui méritent d'être remarqués.
Il est facile de voir d^ abord que les équations difTérentielles de ce nouveau mouven^ent ne différeront des équations (6) que par Taddition de termes constants* En effet, il faudra dans l'équation (4) augmenter X, Y, Z, . . . , des composantes respectives des nouvelles forces, et, en continuant le calcul comn^e précédeniment, on voit que les seconds n^en^bres desi éqiaations (6) se trouveront seulement augmentés de termes qui renfermeront chacun une de ces composantes au premier d^ré,
Les équi^tious diflëren licites de la question actuelle se^ ront donc
fit
^=L -h pcf, "f-/?, €4-...,
Ces équ£|tions ferojit connaître «, 6, y, ... en fonction de ^ ^t les constantes arbitraires seront déterminées par Tétat initial. Elles peuvent aussi faire connaître le nouvel état 4'équilihre du système , après l'introduction des nouvelles forces. En effet, il suiQt de supposer a, S, y,. • . constants dans les équations (7) 5 leurs seconds membres se trouvent alors égaux à zéro , et donneront les valeurs cherchées des déplacements de tous les points , qui conviennent au nouvel équilibre.
