DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

forme que les équations (6), en posant

«n 61, 7i,... étant des constantes déterminées par les équations suivantes :

H 4- wa, 4- /«,6, -f- //|j7, 4-. . .= o,

{9) \ K4- /«ai 4- «,6, 4- «27i 4-. . . = 0,

Les équations (7) deviennent alors, par la substitution des valeurs de a, 6,. . . données par les équations (8),

--— c= wÇ4- Wi>î4-/W2Ç4- W3Ç'-*-. . .,

— = /?Ç -h />,yj -h/>2Ç 4-. . .,

Ces équations ne diffèrent des équations (6) qi*e par le changement de a, 6, 7, ... en |, y,, ^, ... , On remarquera, en outre, que les valeurs de «i, 61, yi,. . ., que donneront les équations (9), sont précisément celles qui se rapportent à Téquilibre du système après l'introduction des nouvelles forces, et que, par conséquent, $, vî, ^, . • . sont les dépla->céments des points par rapport à cette position d'équilibre. Enfin les équations (8) font voir que les valeurs initiales de -r-ï -r'i -T-5** • *ont les mêmes que celles de

dt dt dt ^

-T-> -7-) -T-'*'*9 tandis que Içs valeurs initiales de Ç, >?,

^,.«» sont égales à celles de a, 6, 7,... respectivement diminuées de «1, 6,, 7,,....

3f5^ GOUU DE MMCkVlQVK.

D^ là se déduit ce iliéorème remarquable et simple : Lorsqu'un système quelconque de points est très-peu dérangé d*une position d^ équilibre stable, et quon y intror duitf en Qutre, de nouvelles forces constantes et très^ petites, le mouvement de cluwun de ces points par rapport à sa nouvelle position d'équilibre sous rinflaence des premières et des secondes forces réunies, est le même que celui que Von observerait par rapport à la première position it équilibre y si Von donnait au système tin état initial qui Jût le même y par rapport à cette position , que F état initial proposé est par rapport à la seconde position d'équilibre. Ce théorème, étaot indépendant du nombre et des distances mutuelles des pointe, subsiste encore lorsque leur système peut être regardé comme continu. D aura donc lien dans tous les petits déplacements des fluides ou des solides élastiques, et, par conséquent, dans toutes les questions que nous ayons traitées précédeolmcnt.

223. On peut, à priori, ^c rendre compte de cette prot position, a laquelle un calcul très-simple vient de nous conduire. Nous remarquerons d'abord que, le nouvel état d'ér quilibre du système aprèsFintroduction des nouvelles forces, ^tant trcs-voisin du premier, les équations qui détermineraient le mouvement résultant d'un dérangement par rapport à ce nouvel état, ne diâereraient pas des équations (6) ; car les coefficients ne pourraient avoir varié que de quantités de Tordre de a, 6,..., et ces variations ne produiraient dans les équations que des termes de Tordre de ceux qui ont été négligés. De sorte qu'un même dérangement des points relativement à Tune ou l'autre de ces deux positions d'équilibre donnerait lieu , par rapport à elles , à des mouvements respectivement identiques pour chaque poin^ : ce qui démontre le théorème précèdent.

Pans le cas particulier où il n'y aurait pas de déranger