PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

88. Les conditions de l'équilibre d'un système quelconque de points ou de corps solides , assujettis à des liaisons arbitraires et soumis à Faction de forces quelconques, peuvent s'exprimer par une seule formule générale , d'une grande importance dans la théorie de l'équilibre et du mouvement. L'avantage de cette formule, lorsqu'elle sera rigoureusement établie, consistera principalement en ce que les équations particulières de Féquilibre de tout système donné s'en déduiront par des procédés réguliers de calcul 5 et que l'on pourra, en quelque sorte, considérer la science de l'équilibre de tous les systèmes de points , comme y étant renfermée tout entière. Nous commencerons par faire connaître quelques dénominations généralement adoptées.

Lorsque l'on considère un système quelconque de points dans une première position, et que Ton suppose ensuite que chacun d'eux soit placé dans une position infiniment voisine de celle qu'il occupait , sans cesser de satisfaire à toutes les conditions qui dépendent de la nature du système, on nomme vitesse virtuelle d'un quelconque de ces points la droite qui joint sa première position à la seconde. Cette dénomination vient de ce que l'on peut concevoir que ce déplacement se fasse avec uniformité dans un même temps infiniment petit, et qu'alors les espaces parcourus sont proportionnels aux vitesses; et en outre de ce que ce déplacemetit n'est que possible et ne s'eflFectue réellement pas.

La vitesse virtuelle d'un point, estimée suii^nnt une direction déterminée y est la projection de cette vitesse sur cette direction ; elle est regardée comme positive quand la direction du déplacement du point, en passant de sa pre-

8o COURS DE MÉCANIQUE.

mière positiou à la seconde, fait un angle aigu avec celle suivant laquelle ou estime la vitesse ; elle est négative quand cet angle est obtus. De sorte qu'on obtient en grandeur et en signe , 1a vitesse d'un point estimée suivant une direction quelconque , en multipliant la grandeur absolue de cette vitesse par le cosinus de Tangle que sa direction fait avec celle suivant laquelle on Testime.

On appelle moment virtuel d'une force, le produit de son intensité par la vitesse virtuelle de son point d'application, estimée suivant la direction de la force.

Cela posé , le principe des vitesses virtuelles consiste en ce que

Si un système quelconque de points est en équilibre , et que Von conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible awec toutes les conditions auxquelles il est assujetti, la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle , quel que soit ce déplacement. Et réciproquement, si cette condition a lieu pour tous lei déplacements virtuels y le système est en équilibre^

Dans cet énoncé , les infiniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L'équation n'est exacte qu'en con^ sidérant les limitas des rapports, après avoir divisé par l'une quelconque des quantités infiniment petites^ en d'autre termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Avant de passer à la démonstration générale de ce prin-^ cipe, considérons quelques cas particuliers, et d'abord celui d'un point unique.

89. Cas d*un point unique. — L'équilibre d'un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et réciproquement si cela est, il y a équilibre. Soient donc P Tune quel-» conque des forces appliquées à ce» point, u. langle qu'elle

PhEMlKRE, ANNJÉE. — STATIQUE.. • 8l

forme avec une direction quelconque, on devra avoir

2Pcosjx = o;

et réciproquement, si cette équation a lieu pour toute direction , le point sera en équilibre. Si l'on multiplie tons les termes par une quantité arbitraire m , l'équation devient

2 P m ces fA = o.

Or mços fi est la projection de la grandeur m portée, à partir du point donne, sur la direction que l'on considère , et projetée sur la direction de la force P5 de plus, le point étant entièrement libre , m peut être considéré comme la distance de sa première position à une autre quelconque . qu'il pourrait prendrç •, et en le supposant infiniment petite, elle sera ce que nous avons appelé la vitesse virtuelle de ce . point» Ainsi ZPmcos (jl est la somme des moments virtuels dés forces-, donc, si le point est en équilibre, cette somme est nulle, et réciproquement 3 ce qu'il /allait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au lieu de la vitesse virtuelle, une quantité finie quelconque^ et, de plus , que la sonuoie des moments virtuels est rigoureusement nulle , et non paç seulement égale à une quantité iofiniment petite par i'apport Ji ces moments eux-mêmes.

Dans le cas où le poin^' n'est pas en équilibre, il sufS- * rait, pour qu'il y fut, que l'on introduisît une force égale et opposée à la résultante. 0r, la somme dés moments atçl*ait alors nulle , et , de plus , deux forces égales et opposées , , appliquées au même point, donaent évidemment des moments virtuels égaux et de signes contraires*, donc le nto-- • ment 'virtuel de là résultante est égal, en grandeur et en' • signe, à la somme-des moments virtuels des composantes.

Dans Celte relation , toutes les forces sont considérées en valeur absolue , et il est nécesisaire. d'examiner si elle se modifie lorsque les composante^ sont susceptibles d'être I. . • * ■ . 6