COURS UE MÉCANIQUE

affectées d'un signe Quelconque, comme lorsqu'il Vagit d'une force P que l'on décompose en trois autres X, Y, Z, parallèles à des axes rectangulaires. Si d'abord on suppose ces trois forces positives, les variations Jx, dy^ âz seront en grandeur et en signes les vitesses virtuelles de ces forces respectives , et l'on aura

Si maintenant une quelconque d'entre elles , Y paf exemple, est négative, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle sera — dy^ et le moment virtuel sera toujours exprimé par Yâj] de sorte que l'équation précédente est générale en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes, ainsi que des coordonnées : c'est d'ailleurs ce que Ton trouverait directement en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par dxy ^y, dzetlai vitesse virtuelle.

Il est bon de remarquer que si les axes étaient obliques, ILâx ne serait pas le moment virtuel de la force X, puisque âx ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X j il en serait de même des deux autres composantes , et l'équation précédente ne subsisterait plus.

90. Si le point. est assujetti à rester sur une surface fixe, nous savons qu'il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à cette surface , et par consé-^ quent que ZPcos|ui soit nulle pour toutes les directions situées dans le plan tangent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent ,

iPm cosfx = 0;

mais on ne pourrait plus regarder m comme la distance de deux positions possibles du point , puisque l'extrémité de là ligne m ne se trouve pas sur la surface.

Mais, si Fon prend sur la surface même un point situé à une distance infiniment petite ds du premier, la direction . de la droite qui les joint a pour limite celle d^une tangente quelconque à la surface, et par conséquent S P cos/x est infiniment petit^ donc ZP^5 côs/x est infiniment petit par rapport à ^5; et par conséquent, dans le sens ordinaire où Ton entend les équations infinitésimales , on a

iVds cospt = 0.

Donc , dans ce nouveau cas d'équilibce, la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment petits^ compatibles avec les conditions de la question ^ et réciproquement.

91 . Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixé , il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. D'où l'on conôlut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par as un arc infiniment petit de la courbe,

on aura

ïP^j cosp = o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour réqiri libre que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points , compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.

Si le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu'il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante . fût normale. Les conditions que nous venons dMndiquer auraient donc encore lieu , mais ne suffiraient plus.

92. Observons encore que, dans le cas d'équilibre d'un point posé sur une surface , la somme des moments virtuels ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point sui-

vanl des droites inclinées au plan tangent , quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la question. Elle serait égale au moment de la résultante^ or, celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur. la surface. D'où Ton conclut que, dans l'équilibre d'ùu point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface, et négative pour tous. les autres déplacements qu'il peut subir,

93. Cas d'une droite rigide, —r Examinons maintenant le cas de forces quelconques appliquées aux extrémités d'une droite inflexible 5 nous pourrons nous borner à considérer,, à chacun de ces points , la résultante des forces qui y sont appliquées, puisque son moment viftuel est égal à la somme de ceux de ses composantes. Il faut donc démontrer que , ^ dans le cas d'équilibre , la somme des moments virtuels de ces deux forces est nulle.

1^. Supposons la droite entièrement libre, et soient Xyj-j z^ x', j^ z' les coordonnées de ses extrémités M, M', et / sa longueur, on aura

.. (or — a/)^+ (7 —/)'-{- (3—z')»=/»;

d'où ^ -

i^x-'x'){Sx—Sx')-^[y-y'){Sy—Sy)-^)z-z'){Sz — Sz') = o,

$x^ cî/., dz^ âx', ây'^ âz\étant les accroissements infiniment petits des coordonnées des deux extrémités, pour un déplacement virtuel quelconque.

Or, si l'on appelle a , 6 , y les angles formés avec les axes parla direction de la droite MM', on aura

ces a = -^ — ) ces b = 5 ces 7 =r ;

l'équation précédente donne donc

$x cosa tH ^y cosê H- §z COS7 = §x' cosa -f- §y' cos6 + §z' cosy ;

PREMIÈRE ANÎIÉE. — STATIQUE. 85

cVst-à-dîre que les vitesses virtuelles des extrémités, estimées'suivant la direction MM', sont égales. Or, pour qu'il y ait équilibre, les deux fofces doivent être égales et dirigées. Tune suivant M'M, l'autre suivant MM'*, donc leurs moments virtuels sont égaux et de signes contraires , et, par conséquent, donnent une somme nulïe. Et il en serait de même de la somme des moiHents virtuels de toutes les forces , puisque cette somme est la même que celle des ifioments des deux forces qui leur ont été substituées.

2®. Supposons maintenant que les extrémités' M j M' • soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes données. Il résultera de là de nouvelles forces qui seront normales à ces courbes ou à ces surfaces, en faisant abstraction dû frottement. En joignant ces forces inconnues aux forces données , on pourra considérer la droite MM' comme entièrement libre ; et , s'il y a équilibre , la somme des moments virtuels sera nulle pcfur des déplacements arbitrairesde MM'. Mais, si l'on veut que, dans cette somrile, il n'entre que les forces données , il sera nécessaire et suflSsant que le déplacement de chaque extrémité ait lieu* sur la sur* face ou la courbe correspondante, pour que le moment virtuel de la force normale soit nul. D'où l'on conclut que

Si les forces appliquées aux extrémités d^urte droite sont en équilibre ^ et que ces extrémités soieîit assujetties à rester sur des surfaces- ou dés courbes fixçsy la somme des moments virtuels de ces- forces est nulle pour tous les déplacements de la droite qui sont compatibles ai^ec les conditions auxquelles elle est assujettie,

La réciproque est vraie ; mais-, comme elle ne nous est . pas nécessaire, nous ne la démontrerons pa^ ici •, 'elfe se trouvera comprise dans celle qui se rapporte au cas g(hiéral . 94. Démonstration générale du principe, — Considérons un système die points assujettis à des conditions quel- <^on(jucs exprimées pal* des équation s lent rc leurs eoôr-