I I 2 COURS DE MÉCANIQUE
116. Surfaces de rès^olution. — Le centre de gravité d'une surface de révolution homogène est évidemment situé sur son axe. Si on le prend pour axe des ar, on aura
et il suffira de connaître x^ . Si Ton considère la partie de la surface comprise entre les deux plans correspondants aux valeurs Xo et X, on aura , en désignant son aire par A, et par y l'ordonnée de la génératrice.
On connaîtra ainsi  et ensuite Xi.
117. Surfaces planes. — Lorsque la surface est plane, on la rapporte à deux axes situés dans son plan.
Les formules générales s'appliqueront à ce cas en y supposant z = 0] elles deviennent alors
^=SSP^^^y^ ^x,=JJpxdxdy, ^rx=ffprdxdy.
On intégrera d'abord par rapport à y entre les deux valeurs yo 1 Y qui sont des fonctions de x données par l'équation de la courbe qui termine la surface. On aura ainsi des fonctions de X qu'on intégrera entre les valeurs extrêmes x^ , Ji.
Si la surface est homogène, p est constant, - est Taire A , et l'on aura
^—JJ^i^fify Kx.^fjxdxdy, ^y.^fjydxdy^
= / (Y—ro)'/j:, Ax,=z f (Y—y,)xdx, AX, = ^f (Y^-yl)d,v.
PREMliAE ANNÉB. — ^ STATIQVE* I I 3
i 18. Corps solides. — Décomposons le corps en une infinité de tranches par une série de plans perpendiculaires à l'axe des x *, coupons-le ensuite par une série de plans perpendiculaires à Taxe des y^. les parties comprises entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l'autre seront précisément celles que nous avons considérées dans la mesure des volumes en général. Mais, comme nous devons prendre ici des éléments infiniment petits dans tous les sens, nous supposerons une troisième série de plans perpendiculaires à Taxe des z , et (e corps se trouvera décomposé en parallélipipèdes rectangles ayant pour arêtes dx^ dy^ dz.
Pour chacun de ces parallélipipèdes dont les coordonnées de deux sonmiets opposés sont x^y^ z el x -^ dx^ y •+■ dy^ z-hdz^ on prendra x^ y^ z au lieu des coordonnées du centre de gravité, et la fonction p qui exprime le poids spécifique sera rapportée aux mêmes valeurs x^y^ z-^ nous avons prouvé que la limite de la somme des moments n'en sera pas altérée. De cette manière, le poids et les moments de cet élément par rapport aux plans coordonnés pourront être remplacés respectivement par
pdxdydzy pxdxdydzy pydxdydz^ pzdjcdjrdz.
Soient Zq^ Z les fonctions de xety qui expriment les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps *, on fera d'abord la somme des éléments en supposant que x ely restent constants , et que z passe par toutes les valeurs entre Zq^ Z -, c'e§t-à-dire qu'on intégrera ces expressions par rapport à z entre les limites -^o > Z, et Ton obtiendra ainsi des fonctions de j: et y seulement, qui exprimeront le f oids et les moments de la partie du corps comprise entre quatre plans infiniment voisins , dont deux sont perpendiculaires à l'axe des x et les deux autres à l'axe
Il4 • COURS DE MÉCANIQUE.
des /. Ces fonctions auront pour expressions
dxcljr I p^^i xdxdy I pdz^
I /^^/z, dxdy j pzdz.
Pour avoir le poids et les moments du volume compris entre les deux plans perpendiculaires à Taxe des x, il faudra intégrer ces fonctions de ^ et ;^ par rapport ky en considérant X comme constant, et prenant pour limites de y les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la courbe qui est la projection de la surface sur le plan XY, et que nous avons donné le moyen de déterminer dans le Cours d* Analyse, Désignant parj^o-<^t Y ces fonctions connues de X, les sommes relatives à la partie comprise entre les deux plans seront
dx \ djr j pdz, xdx j dy l pdz^
/.Tf /«Z ^Y /»Z
dx j ydy I pdz, dx j dy j pzdz.
Ces quatre expressions ne renferment plus que la variable x, et on les intégrera entre les deux valeurs de x relatives aux deux plans perpendiculaires à l'axe des x entre' lesquels le corps se trouvera compris. Ces valeurs Xo et X sont , en général, celles pour lesquelles les plans tangents au corps sont perpendiculaires à l'axe des x. Dans tous les cas, on saura les déterminer d'après la forme de la surface , et les expressions des sommes seront respectivement
/»X /»Y /»Z pX. /»Y /»Z
I dx j dy j pdzy j xdx j dy j pdz,
•^*o •^ro *^^o •^•^0 «^o *^So
/»X pY /»Z /»X /»Y /»Z
I dx j ydy j pdz, j dv j dy j pzdz.
PEEH1£RE ANNÉE. — STATIQUE. 1 l5
On pourrait efTectuer ces intégrations dans un ordre différent et commencer par la somme des éléments pour lesquels x et z seraient constants, ou encoreyet^. On pourra même suivre un ordre difTérent pour chacune des quatre expressions si l'on y trouve quelque avantage : on obtiendra toujours les mêmes valeurs définitives, puisqu'elles représenteront le poids du corps et les limites des sommes des moments des mêmes éléments considérés seulement dans un ordre différent. Si nous désignons ces diverses expressions par
fSfp^^X^^^ SSJp^^^^^y^^^ SSSPï'^^àydz, JJJpzdxdydz,
en faisant les intégrations comme nous Tavons indiqué, les cooi*données x^ y^ z seront déterminées , ainsi que le poids P, par les quatre équations suivantes :
P =SSSP^^y^^^ ^JOy=:JfJpxdxdjrdz,
^ri=fSfpy^^yd^f ^z.^fjfpzdxdydz.
Si le poids spécifique est constant, ces équations deviennent , en représentant par V le volume du corps qui est égal
V "^ffj^^y^^^ \x,=:fffxdxdjrdz, ^yy = fSSy^^y^^> Vz, =fffzdxdydz.
On peut effectuer dans ce cas une des intégrations, par exemple celle par rapport à ^ ^ on aura , eh prenant pour limites ^i et Z ,
V =ff{ï-^z,)dxdx, yxy=ff{Z^\)xdxdy,
\r, = ff[Z^z,)ydxdy, Vz, = LJJ^z^^:,^^)dxdy, •
les- limites relatives k y Qix étant les mêmes que précédemment.
Enfin, si l'on pouvait reconnaître immédiatement le
I l6 rOUES DE XLCi^^IQUC.
centre de grai^ilé de la partie comprise entre deux plans infiniment voisins , perpendiculaires à l'un des axes, par exemple à Taxe des x, on prendrait ces parties pour les éléments du corps , et il n^ aurait que la seule variable x dans lexpression de leurs moments par rapport à YZ ; une seule intégration donnerait donc le centre de gravité du corps, s'il devait se trouver sur une ligne connue. Nous allons en donner quelques exemples.
119. Solides de résolution. — La substance qui compose le solide de révolution étant supposée homogène , il résulte de la symétrie que le centre de gravité est situé sur Taxe, soit qu'on considère le corps entier, ou une partie comprise entre deux plans perpendiculaires à cet axe. Si , pour plus de simplicité , on le prend pour axe des x , il suffira de trouver JT, , parce que j^i et z^ seront nuls. On aura , dans ce cas , les deux équations suivantes, dans lesquelles Y etj'o désignent les ordonnées des deux courbes qui terminent Taire génératrice située dans le plan XY :
\ = nf (Y'^x\)dx, \x,.= nf {Y^ — jri)xdx,
d'où l'on tirera V et j:, .
120. Cylindres. — Si l'on considère un cylindre homogène ayant une base quelconque terminée par un contour polygonal ou curviligne , et qu'on le partage par des plans parallèles aux bases , la somme des moments est nulle par rapport au plan également distant des bases \ le centre de gravité est donc sur ce plan .
Si l'on conçoit ensuite un système de plans infiniment voisins , parallèles entre eux et aux arêtes , le cylindre se trouvera décomposé en parallélipipèdes dont les bases seront les éléments des bases du cylindre, et dont les moments seront proportionnels à ceux de leurs bases, par rafhport à tout plan parallèle à leurs faces finies. Donc les
PREMIEAE ANNÉE. — STATIQUE. t ] <^
sommes des moments, soit des faces, soit des parallélipipèdes, seront nulles pour le même plan. Donc tout plan parallèle aux arêtes , et passant pa% la ligue qui joint les centres de gravité des deux bases , contient le centre de gravité du cylindre. Donc ce point se trouve et sur cette droite , et sur le plan équidistant des bases *, il t^st donc au milieu de la droite qui joint les centres de grai^ité des €teux bases.
121. Si le corps était rapporté à des coordonnées polaires, on emploierait le mode de décomposition indiqué dans le Cours d^ Analyse ; mais on chercherait encore les coordonnées rectangulaires du centre de gravité. Les équations entre les coordonnées rectangulaires et polaires sont
a = rcosO, j^ rsrsinOsin^», a: = rsinGcos^.
Nous avons vu que l'élément du volume avait pour expression r^sinôdOd^dr. Donc l'élément du poids sera pr^ siuOdô di^f dr^ et son moment par rapport à chacun des plans s'obtiendra en multipliant cette expression , successivement par x^y^ z ou leurs valeurs en 0, c{;, r. On aura ainsi
P = Jffpr^ sin ô rfô ^/^^ dr,
PoTi =r fffpr^ sin' G cos -^ dO d-^dr, F/, = fffpr^ sin' 0 sin^ dQ d-^tdr y lPztz=fffpr^smBcosOdQd'^dr. *
Les limites de cCs intégrales sont les mêmes que celles que nous avons indiquées dans la cubature des solides.
Diverses propriétés des centres de gravité.
122. Soit un nombre quelconque de corps ayant respectivement pour poids /?, p', p^'^ et dont les centres de gravite respectifs soient distajits du centre do gravité de leur sys-
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tème, de quantités p, p', p'\ ... ; prenons ce centre pour le point de rencontre de trois axes rectangulaires avec lesquels les lignes p, p', p"v • .,fcm l^s angles a, 6, y, a', 6', 7', . . . . Le théorème des moments donnera , relativement aux trois plans coordonnés ^
(i) I/?pcosa = o, 2y7pcos6 = o, 2/? p 0057 = 0-
Donc f/^ aurait équilibre entre des forces appliquées à un point situé à F origine , c'est-à-dire au centre de gravâté du système y dirigées suivant les droites p, p',. . ., et proportionnelles aux produits pp^p' p'. La réciproque est évidente.
Si les poids p^p\, . . sont égaux , les forces sont proportionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids égaux qui le composent.
