Pour donner une application de ces formules dans
le cas de F (r) = — 9 considérons une sphère creuse pour
laquelle p soit une fonction quelconque de la distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre au point attiré , et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions. Désignons par a et A les rayons des deux surfaces qui terminent le solide, par u le rayon
PREMIERE ANNÉE. STATIQUE. l65
inlérieur d'une couche sphérîque ayant pour épaisseut* du^ et par 6 l'angle d'un rayon quelconque avec Taxe des x. La valeur de V aura pour expression
^rrpu^du^
sinO^^O
L'intégration par rapport à Q étant effectuée entre o et tt , donnera la partie de V correspondante à la couche donfc l'épaisseur est clu\ en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A , on aura la valeur totale de V. Or on a
r^=zu^ — ^a« ces 9 -H a*;
d'où 5 en observant que u est constant,
rcir=: au sin 9 dB , et, par suite,
V =^ "^ff^^ ^'^ ^''*
Quant aux limites de r correspondantes à6 = oet6==7r, il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide, de celui où il est intérieur..
I®. Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a ^ A , et, par conséquent, a ]> m pour toutes les couches que l'on a à considérer. On a alors
fdr= 2u et V = — /. pu^du,
« Ja
Si l'on désigne par M la masse du corps , on aura
^A ^n I pu^du = M;
d'où
V=^, et X=:-f^.
lfl6 COURS DE mkcaniquï:.
L'attraction est donc la même que si toute la matière du corps était réunie à son centre.
2^. Si le point attiré est dans l'intérieur de la plus petite surface , on a a <^ a , et , par conséquent , a <^ a dans toute retendue des valeurs de u. On a donc alors
Jdr z=z 2 a. et V = 4 ^J*? " ^"*
Cette quantité étant indépendante de a ^ on aura
---z=:o, et, par suite, X = o.
On voit donc que , dans cette même loi d'attraction, le 50lide n'exercera aucune attraction sur un point situé dans l'intérieur de sa plus petite surface.
On conclut de là que Faction sur un point qui ferait partie du même solide se réduirait à celle qu'exercerait la partie comprise entre la sphère de rayon a et celle qui passerait par le point attiré. Il faudrait donc supposer la matière qui compose cette partie , réunie au centre , et agissant sur le point , suivant la loi donnée.
S41 s'agit , par exemple, de l'action d'une sphère pleine, homogène , sur un point de son intérieur, situé à une distance a du centre, aa devra prendre M = | Trpa'* ^ et l'attraction a pour valeur ^iipfiioc. Elle est donc directement proportionnelle à la distance au centre,
164. action d'un corps quelconque sur un point trèséloigné, — Si l'on considère l'action d'un corps de forme et de densité quelconques, sur un point dont les distances à tous les points de ce corps soient très-grandes par rapport à ses dimensions, on arrive k un résultat remarquable que nous allons faire connaître.
Supposons l'attraction en raison inverse du carré de la distance, et calculons la fonction V. Pour cela, prenons le
centre de gravité du corps pour origine , et faisons d'abord passer Taxe des x par le point attiré.
Soient i la distance de ces deux points, u le rayon vecteur d'un point quelconque du corps , dm sa masse , x son abscisse , ft la masse du point attiré; la distance de ce dernier point à un point quelconque du corps sera
et Ton aura par conséquent
Si l'on développe la puissance du trinôme, soit par la formule de Lagrange , soit par celle du binôme , on aura une
série ordonnée suivant les puissances croissantes de j ? et
d'autant plus convergente que j sera plus petit, et Ton
trouvera ainsi , en représentant par M la masse totale des corps attirants , en observant que YàXdin est nul, puisque Torigine est le centre de gravité du système,
V= — H r- 2 (Sx'— «MrfiW -f-
On peut donc se borner à prendre V = y en négligeant ^7
par rapport à j. En* considérant maintenant un système
quelconque d'axes passant toujours par le centre de gravité, et désignant par a , 6 , y les coordonnées du point attiré, on aura
Les trois composantes de l'attraction seront donc rcspecti-
l68 COURS DE MÉCANIQUE.
vement
p/Ma fil/M 6 i^f^i
d^où l'on voit que leur résullante passe par Torigine qui est le centre de gravité de la masse attirante , et qu'elle a la même valeur que si toute la masse était réunie en ce point. Ce résultat , qui n'est qu'approché pour un corps quelconque , est tout à fait exact dans le cas de la sphère , quelle que soit la distance du point attiré, pourvu qu'il soit en dehors de la sphère. Dans ce cas, l'intégration ferait disparaître tous les termes , excepté le premier de la série.
Le calcul précédent a été fait d'après une loi particulière : on verra facile oient que le résultat serait le même dans le cas ou l'attraction varierait en raison inverse de toute autre puissance de la distance , et même suivant des lois phts compliquées..
Action d'une couche elliptique sur un point intérieur,
46S. La proposition que nous avoni> démontrée relativement à l'action d'une couche sphérîque sur un point intérieur, peut se démontrer géométriquement dans le cas plus général du solide compris entré deux ellipsoïdes semblables ayant leurs axes coïncidents.
En efîet, supposons d'abord le solide homogène-, soient M (Jig* 4o) le point attiré, et yi sa masse. Considérons-le comme sommet d'une infinité d'angles solides qui composent tout Tespace autour de lui , et cherchons la résultante de l'action des deux parties comprises dans un quelconque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DCAB une des arêtes de cet angle -, on aura AB = CD par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par w la mesure de l'angle solide, nous pourrons décomposer le
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. l6g
solide AB en cléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera (ùr*dr\ multipliant
par ^—^î on aura l'attraction que cet élément exerce sur le
point M-, on trouve Simsi pf(i(ùdr^ et la somme pfiKtù.KR exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB. On trouvera de même pfi^^.CD pour l'attraction de la matière contenue dans la partie CD •, et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent, se détruiront. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M , fe solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n'exerce aucune attraction sur un point situé dans Vinté^ rieur de sa plus petite surface.
Cette proposition , étant indépendante de l'épaisseur, a lieu aussi pour une couche infiniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d^une épaisseur quelconque composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoldes semblables f et dont la nature varie d'une manière quelconque de F une à Vautre.
166. Surfaces de niv^eau, — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous Tinfluence des forces du système.
Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque ; on aura , d'après ce qui précède ,
pour que la résultante soit perpendiculaire à la surface sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait pour tous les déplacements sur cette surface,
Xr/a-f- Yr/§-hZr^7 = o,
OU
-j- rta -f- -3^ rt6 + -—- rf7 = o, doL ab ay
ce qui prouve que U est constant. L^équation des surfaces de
niveau relatives à l'attraction ou à la répulsion du corps est
donc
c désignant une constante arbitraire.
' Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance , cette équation devient V = c.
167. La fonction V jouît d'une propriété remarquable, qui est d'une grande utilité pour la détermination de sa valeur.
Diaprés la valeur de r, on a
dai r» r' rfê» r» r
rf'i
d'où l'on conclut
rf'i rf'- J^i r r r
Mais, puisque l'on a V = l I / ^ — ? dv étant Télémeiit
de volume, et que, pour différentîer une intégrale par rapport à des quanlilés considérées comme constantes dans
PHEMIERE ANHEE. — STATIQUE. 1^1
l'intégration , et qui n'entrent pas dans les limites de cette intégrale, il suffit de diflférentier sous le signé /, on aura
pourvu , toutefois , que la fonction - ne devienne infinie
pour aucune valeur comprise dans les limites de Tintégra-* tion ; car on sait que , dans ce cas , la diflerentiation sous le signe f peut donner des résultats inexacts.
Donc , si le point a , 6 , y ne fait pas partie du corps attirant, on aura
rf'V rf'V d'\
Si le point fait partie du corps , on concevra une sphère infiniment petite dans l'intérieur de laquelle il sera compris 5 la fonction V, considérée pour tout le reste du corps, satisfera à Féquation ci-dessus.
SoitjD la densité du corps au point attiré, ce sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement
a^ by c étant les coordonnées du centre de la petite sphère; on aura donc, en appelant V la partie de V qui se rapporte
à cette sphère,
dY 4 . .
d'où
da} ' d€^ • €^7 et, par conséquent, , , d^\ d'y d'Y
la valeur de p se rapportant au point attiré.
Nous allons montrer, par quelques exemples très-simples, comment les équations (i) et (2) peuvent servir à déterminer la fonction Y dont se déduisent les trois composantes de l'attraction .
168. application à la sphère. — La sphère étant supposée formée de couches homogènes , V sera fonction de la distance r du centre de la sphère au point attiré 5 la résultante de l'attraction sera dirigée suivant la droite qui joint
ces deux points, et représentée par l^f-j--
L'équation r' = a* -h 6' -h y' donnera
dr OL dr ^ dr 7 doL r d^ r tly r
et Ton aura, par suite,
rf'V a'^'V \dV ol' dV
dct} r' dr^ r dr r^ dr d'V ê'rf^V w/V 6'rfV
d^' r' dr' ' r dr r^ dr
d'V __f d'V id\ f d\
dy' r' dr' r dr r'^ dr
PREMIÈRE ANNICK. — STATIQCE, in3
et ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d'abord le point hors de la sphère ,
dr^ r dr
La fonction V dépend donc alors d'une équation qui ne
renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant
d\ par r', son premier membre devient la dérivée de r* — •
On aura donc , en désignant par c une constante arbitr^^ire ,
dr "^ r*'
Supposons d'abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans F intérieur de la plus petite surface dont nous désignerons le rayon par Rj. L'attraction devant évidemment être nulle pour r= o, il faut qu'on ait
dV c z= o et, par suite, — - = o.
dr
Donc les composantes de l'attraction sont toujours nulles , et le point est en équilibre , quelque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère. Supposons, en second lieu , que le point fasse partie de la masse de la sphère , on a
d'Y id\ .
p étant une fonction donnée de r.
Multipliant par r* et intégrant à partir de Ri, il vient,
dS en observant que — étant nul pour tous les points de l'intérieur, l'est aussi à la limite Ri ,
Or, f /^Tir^pdr est la masse comprise entre cette surface
et la sphère qui passe par le point attiré. Si on la désigne par M', on aura
dr r*
La valeur absolue de l'attraction sera donc ^ , : elle est la
même que si la masse M' agissait seule et était réunie au centre.
Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour rayon R , on aura , en désignant par M la masse totale de la sphère creuse ,
dr ~" R*'
et Tattraction exercée sur lé point aura pour expression
fx/M
Enfin, considérons un point extérieur à la sphère, c'està-dire pour lequel on ait r^R, on aura, comme dans le
premier cas ,
mais , à cause de la discontinuité provenant des points de la masse, la constante c n'est pas assujettie à avoir la même valeur que pour les points intérieurs. Pour la déterminer, on fera r = R , et Ton devra trouver, d'après le cas précédent,
^=-g^; donc r=-M,
et Ton aura pour tous les points extérieurs ,
dr ^ /- ^
L'attraction aiira donc pour expression
et l'on en conclut ce théorème :
Une sphère creuse composée de couches concentriques homogènes exerce sur les points extérieurs la même action que si toute sa masse était réunie à son centre.
169, Application au cylindre indéfini, — Considérons
maintenant un cylindre creux indéfini composé de couches
homogènes dont la densité n^est fonction que de la distance
à l'axe de ce cylindre, que nous prendrons pour axe des z \
son action sur un point quelconque sera dirigée vers le
point où Taxe est coupé par un plan perpendiculaire , mené
par le point attiré. Nous prendrons ce point de l'axe pour
origine, et nous désignerons par r sa distance au point
attiré 5 l'attraction ne dépendra que de r, et son expression
sera
Or, pour les points qui ne font pas partie de la masse du cylindre, on aura , en observant que Vest indépendant de 7,
d^W d^\ __ d'où
d^y 1 dy dr^ ' r dr"
Multipliant
par r,
on a
d'où
dy c
dr r
c éiant une constante arbitraire*
1^6 COUBS DE MÉCANIQUE.
Mais remarquons , comme dans le cas d^une sphère creuse, que les points extérieurs et les points intérieurs à la couclie cylindrique étant séparés par ceux de la masse de cette couche , pour lesquels les circonstances sont différentes , il n'y a pas continuité en passant des valeurs de r plus grandes que le rayon de la surface extérieure du cylindre, aux valeurs de r plus petites que le rayon de la surface intérieure.
Pour les points de l'intérieur de cette surface, la valeur de c est invariable; or elle est évidemment nulle pour r = o ; donc on a , pour tous les points de l'intérieur,
D'où l'on conclut qa^un cylindre creux indéfini, composé de couches concentriques homogènes j n^ exerce aucune action sur un point situé dans r intérieur de sa surface interne.
On démontrerait directement cette proposition de la même manière que pour l'ellipsoïde creux.
Cherchons maintenant la valeur de — pour les points
appartenant à la m^çse du cylindre ] pour ces points , on a
et l'on trouve par l'intégration, en désignant par Rj le rayon de la surface intérieure ,
prdr.
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que — est nul
pour r = Ri, puisqu'il l'est pour tous les points de Tintérieur de la surface dont le rayon est Ri . En faisant r = R,
on obtient
Pour les points extérieurs on doit avoir
dy C dr ~ r"
Faisant r = R , on trouve , en vertu de Téqualion précédente ,
Jr.
rdr.
La constante étant ainsi déterminée, on aura pour toute les valeurs de r plus grandes que R ,
dV
dr r
et l'attraction du cylindre aura pour expression
On voit qu'elle varie en raison inverse de la distance du point à l'axe du cylindre.
Attraction des ellipsoïdes,
170. Pour connaitreles trois composantes de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point , on décomposera ce corps en couches infiniment peu épaisses, par une série de surfaces semblables à celle qui le termine ^ on cherchera les composantes de l'attraction d'une quelconque de ces couches , en fonction du paramètre qui détermine une des surfaces de cette couche^ elrde son épaisseur; puis on intégrera ces trois> expressions ^fférentielles en faisant varier le pa-
178 COtJRS DE MECANIQUE.
ramètre entre les limites correspondantes aux surfaces extrêmes que Ton doit considérer.
Si r ellipsoïde est plein, les surfaces limites seront celle de cet ellipsoïde, et son centre.
Si le solide attirant est compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes semblables , ces surfaces seront les deux limites.
Mais si le point attiré se trouvait dans Tintérieur du solide , il serait inutile de considérer la partie située au delà de la surface d'un ellipsoïde semblable passant par ce point, parce que l'on sait que son action est nulle.
On voit donc que, dans tous les cas, la question retient à calculer les trois composantes de r attraction d'une couche comprise entre deux ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés , sur un point situé en dehors de cette couche, ou sur sa surface.
Nous commencerons par établir quelques propositions qui ramènent ce problème au. cas où le point attiré est situé sur la surface extérieure de la couche. Ces propositions et les calculs qui suivent sont tirés des Mémoires de M. Chasles.
Comparaison de l'action de deux couches homofocales
sur un même point extérieur,
(71. Considérons une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes semblables, infiniment rapprochés. Les composantes de son action sur un point extérieur M [Jig' 4^) doçt les coordonnées sont x^ j^ z , sont proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à x , d'une fonction V qui exprime la somme des masses des éléments de la couche, divisées par kurs distances au point M.
Considérons, en second lieu, une couche homogène d'une densité quelconque, comprise entre deux ellipsoïdes
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. I^g
semblables entre eux, dont rextérieur passe par M, et qui soient respectivement homofocaux avec ceux qui terminent la première couche ^ ces deux ellipsoïdes seront complètement déterminés , et les axes de même direction seront dans le même rapport dans les deux systèmes.
Désignons généralement par points correspondants sur les surfaces de deux ellipsoïdes quelconques , ceux dont les coordonnées sont respectivement entre elles comme les axes qui leur sont parallèles. Il est facile de reconnaître que, quand ces ellipsoïdes sont homofocaux, la distance d'un point quelconque de Tun à un point quelconque de Tautre est égale à la distance des points respectivement correspondants .
Cette proposition se déduit immédiatement des deux suivantes , dont la démonstration est trop facile pour que nous la rapportions :
i*'. La différence des carrés des distances du centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes homofocaux est constante ^
2®, Le produit de deux rayons quelconques, pris respectivement dans les deux ellipsoïdes , par le cosinus de leur angle y est le même que pour les rayons menés aux points correspondants.
La somme des carrés de ces rayons est aussi la même de part et d'autre, en vertu de la première proposition. D'où résulte le théorème en question.
On voit facilement aussi que si l'on considère les deux couches homofocales dont il a été déjà parlé, tout point pris dans l'épaisseur de l'une a son correspondant dans l'autre ] et deux portions terminées à des surfaces dont tous les points sont correspondants dans les deux couches , sont proportionnelles aux produits des trois coordonnées des points correspondants , ou aux produits des axes des ellipsoïdes intérieurs ou extérieurs, et, par suite, aux volumes
l30 COURS DE MÉCANIQUE.
des deux couches^ car on péui décomposer ces deux volumes en parallélipipedes infiniment petits ayant leurs arêtes parallèles aux axes , et leurs sommets en des points correspondants. Les arêtes de ces parallélipipedes seront proportionnelles aux axes parallèles; les volumes seront donc proportionnels aux produits des trois axes respectifs, et , par conséquent , leurs sommes ou les deux volumes en question le seront aussi comme nous l'avons annoncé.
Cela posé, partageons le volume de la couche proposée en éléments infiniment petits^ et divisons la masse de chacun d'eux par la distance au point M^ de l'un quelconque de ses points, que Ton pourra choisir sur la surface même de l'ellipsoïde passant en M', vu l'épaisseur infiniment petite de la couche; nous aurons ainsi tous les éléments de l'intégrale V>. Partageons ensuite le volume de la seconde en éléments correspondants , et divisons la masse de chacun par la distance au point M' correspondant de M sur la surface extérieure de la couche donnée. Deux éléments correspondants étant entre eux comme les couches entières , et leurs distances aux points correspondants M^ M' étant égales, les deux sommes ou les deux fonctions V seront aussi entre elles comme les masses des deux couches. Or, la fonction V, qui se rapporte à la couche passant par M, est constante pour tous les points de son intérieur, et, par conséquent, pour tous ceux de la surface extérieure de la couche passant par M' : donc aussi la fonction V sera constante pour la couche proposée, quelque position que l'on donne au point M sur Tellipsoïde homofocal passant par M. Donc la résultante de V attraction de la couche proposée sur le point M est normale à V ellipsoïde homofocal passant par ce point.
Nous pouvons maintenant comparer les actions exercées sur le point M par la première couche , et une autre dont les deux surfaces semblables seraient homofocales à celles
PREMIERE ANNÉE. STATIQUE. l8l
de la première , et seraient comprises entre elles et celle qui passe par M. En effet, les fonctions V qu'elles fourniraient relativement au point M , étant divisées par leurs masses respectives, donnent le même résultat, d'après ce qui a été dit précédemment. D'où il suit que les dérivées partielles de ces deux fonctions sont, comme elles-mêmes, dans le rapport des masses des deux couches; et, par conséquent, les résultantes des attractions de ces deux couches sur un même point extérieur sont de même direction y et proportionnelles à leurs masses (*).
Enfin cette proposition nous conduit à la réduction que nous avions annoncée. En effet, nous pouvons supposer que la couche dont nous venons de comparer l'action à celle de la proposée, vienne se confondre avec celle dont la surface extérieure passe par le point M. Ces deux actions étant de même sens, et proportionnelles aux masses des deux couches, l'une d'elles détermine l'autre. D'où Von yoiique, pour reconnaître V action d'aune couche sur un point extérieur^ il suffit de calculer celle qu ^exerce sur ce même point une couche homofocale et de même matière y dont la sur^ face extérieure passera par ce points et de la multiplier par le rapport du volume dé la première à celui de la seconde y sans rien changera sa direction.
Calcul de Caction d'une couche elliptique sur un point
de sa surface.
172. Soit M (fig- 4^) ^^ point quelconque de la surface extérieure d'une couche homogène , comprise entre deux
(*) Cette proposition conduit facilement , comme l'a montré M. Chasles, et comme nous le ferons voir bientôt , au célèbre théorème de Maclaurin , par lequel on ramène le calcul de raitraciion d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur à celui d'un autre ellipsoïde sur un point de sa surface ; problème plus facile et qu'on a su résoudre longtemps avant l'autre.
l82 COURS DE MECANIQUE.
ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés. L'attraction de cette couche sur ce point sera dirigée sùivaiit la normale MN à Fellipsoïde extérieur^ de sorte qu^on pourra remplacer chaque action élémentaire par sa composante , suivant MN.
Considérons le point M comme sommet d'une infinité d'angles solides, composant l'espace situé d'un même côté du plan tangent.
Soient donVun quelconque de ces angles, et MM' la di* rection d'une de ces arêtes : on peut décomposer la partie de la couche qu'il renferme en éléments dont le volume aura pour expression r^drdto^ r étant leur distance au point M. Multipliant par la densité p, par la force attractive f de deux unités de masse , situées à l'unité de distance, par la masse /x du point supposé en M, et divisant par le carré de la distance, on aura l'attraction de l'élément de la couche sur la masse fi; son expression sera
intégrant de M à P, on aura
intégrant ensuite de P' à M', on trouvera
Or, M'P'= MP, puisque les deux ellipsoïdes sont semblables ; donc l'attraction de la partie comprise dans l'angle d(ù se réduira à
Multipliant cette force par cos PMK , on aura sa composante suivant la normale , et l'on obtiendra ainsi , en observant que MP cos PMK = MK ,
ap/jxMKr/w,
PEEMIERE ANNÉE. — STATIQUE. l83
Cette expression n'est exacte qu'en supposant Tare PK infiniment pelit, comme cela a lieu ici, puisque MK est infiniment petit.
L'angle extrême KMP est droit , parce que PK est un infiniment pelit d'un ordre moins élevé que MK; de sorte que, si Ton fait la somme de toutes les expressions semblables , pour tous les éléments Jû), on aura, pour l'action de la couche entière,
Au lieu de l'épaisseur MK de la couche au point M ,l il vaut mieux introduire la différence des demi-grands axes a et a-{- da des deux surfaces.
Or on a
MK QO ., , ^,^ ^^ MI MI MO ^ MO'
,, , * MI MI da ^ 1» . 1
et 1 on peut remplacer -— r par -=^0X1 — • lionc 1 action de ^ '- MO ^ 10 a
la couche aura pour expression
47r.o/fxP-^, a
P étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en M. '
Les composantes de cette action , parallèlement aux axes positifs des .r , j^, ^ , s'obtiendront en la multipliant par les cosinus des angles que forme avec ces axes la direction intérieure de la normale. Désignant par a , 6 , c les demi-axes de l'ellipsoïde , et par ar , y , z les coordonnées de M , ces cosinus ont pour valeurs
-—Vx — P j — Pz
Les trois composantes auront donc respectivement pour
l84 COURS DK MÉCâNIQUB.
expressions
la valeur de P* étant
On peut observer que, d'après les égalités — = — = — ,
les expressions des deux dernières composantes se déduiraient de la première en changisant x et a en j^ et 6 , ou en z et c.
Calcul des composantes de l'attraction d'un ellipsoïde
sur un point extérieur,
\ 73. Soient A , B , C les demî-axes d^un ellipsoïde homogène , A étant le plus petit , et posons
Désignons }>ar a , 6 , y les coordonnées d'un point extérieur ; il s'agit de calculer les composantes X , Y, Z de l'attraction de rellipsoïde sur ce point , auquel nous supposons l'unité de masse.
Décomposons ce corps en couches infiniment peu épaisses, par des ellipsoïdes semblables. Soient a et a — da les demiaxes des X des deux surfaces qui terminent une couche quelconque , les autres axes s'ensuivront ; et , lorsque nous aurons calculé les composantes de l'action de cette couche , il suffira de les intégrer par rapport à a , depuis a = o jusqu'à a = A, si l'ellipsoïde est plein. Dans le cas où il s'agirait d'un solide creux terminé par deux ellipsoïdes semblables 7
PREMIKRB AlTNl^E. — STATIQUE. l85
on intégrerait depuis la valeur de a relative à la surface intérieure jusqu'à a = A.
Substituons à la couche en question une couche terminée par des ellipsoïdes semblables entre eux, homofocaux à ceux qui terminent la première , et tels que le plus grand passe par le point M.
Soient a', i', c' et a' — da\ V — dh\ c' — de* les demiaxes de ces deux ellipsoïdes, on aura les relations suivantes :
da
da'
les composantes de Faction de cette couche sur le point M seront
ahr
Si on les multiplie par , ,, ,^ on aura les composantes de
Faction de la couche en question \ et Fon trouvera ainsi , en
. da' da
remplaçant -^ par -,
•v / fe P^!*^«
rf Y = — 4 irp/6 -r;— 7-^ ,
Posons
V'bcda rfZ = - 4«p/7 -pj^^.
— , = w , cl ou rt == rtw^' ;
l86 COURS DE MECANIQUE.
et , en vertu des équations ( i) ,
l'équation (2) donnera
Ainsi a et, par suite, a', i', c' dépendent de w.
Il reste à exprimer P'* en fonction de m , et les composantes élémentaires cîX, É?Y, é/Z seront ramenées à cette seule variable.
Or, on a
^/4 ^ ^/4 ^ ^a ^ f^ur^^vy^ [u-^ -H V*)^
Différentiant Téquation ( 3 ) , pour exprimer da au moyen de du^ et ayant égard à la valeur de P", on trouvera
d'où
ou
P" da = fl'3 du ,
Remplaçant h ^ c^ a* ^ h\ c' par leurs valeurs en « et m, ^
PREMIÈRE AWNÉE. — STATIQUE. 187
disparait, et il vient, en introduisant la masse M = ^tt/d ABC,
3M/a u^du dis. = i ■ \ '
^' (i ^vu?Y[i-^\'uî'Y
3 M/6 u^du
