MY= ^5 7 T
Si Ton intègre ces valeurs depuis u = o jusqu'à u = j^,j
A' étant le demi-axe des x de l'ellipsoïde homofocal passant par le point donné, on aura les composantes de l'attraction totale ; leurs expressions seront
3M/a /»A' u^du
/A' u^di
(i-4-va'ni
; /*A' u'di
/A' u'di
3 M/7 /*A' tt'^tf
Â' étant donné par l'équation suivante :
cette équation ne peut donner qu'une seule valeur positive pour A". Les deux valeurs négatives se rapportent aux hypfîrboloïdes homofocaux.
l88 COURS DE MÉCANIQUE.
Si le point ^ se trouve à la surface même de l'ellipsoïde , on a A' = A 5 et la seconde limite des intégrales est i : ce qui donne pour les composantes de l'action sur un point de la surface de Tellipsoïde ,
3M/a /»' a^du
A — rz — I : r>
3 M/6 /»' u'du
J (i 4- Vtt')Mï+^"«')'
3M/7 r^ u^du
TT
Si le point est intérieur à rellipsoïde , on ne devra considérer que l'action d'un ellipsoïde semblable passant par ce point. Mais le rapport de sa masse au cube de son demi-axe des X sera le même que pour l'ellipsoïde proposé 5 on pourra
M donc laisser ~ dans les formules (6) qui représenteront en-
core les composantes chercbées.
On reconnaît alors cette propriété remarquable , que chaque composante de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur ne dépend que de la coordonnée parallèle, et lui est proportionnelle.
On peut remarquer que les formules ( 5 ) peuvent se déduire de la seule intégrale qui entre dans la première. Soit^ en effet ,
PREMliEB ANNÉE. — STATIQUE. 189
on trouvera , en dilTérentiant LX par rapport à X ,
ctAli /»A' u^du
et, diflerentiant X'L par rapport à X',
dV "" l . .1. A'
ce qui changera les équations (5) dans les suivantes :
3M/7 rfa^.
"^ A» rf> '
maïs il faut bien remarquer que , quand on aura X' = X , il ne faudra faire cette supposition qu'après avoir difTérentié XL et X'L.
174. Ellipsoïde de réi^olution aplati. — Si Ton suppose B = C , on a un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles 5 dans ce cas, X' = X, et Ton trouve
3 M/g r^' u\lu 3M/6 ^ ^' u'du
A> f i4-X*«'' "" A^ / [i-^Vu'Y
M/7 n^.' u'dii
A» 1 (1 -i-Vu^Y'
igO COURS DE MECANIQUE.
Or, on a
Jf*" u'^du I
d'où résulte
