Équations de Vaxe de rotation et de glissement
Les points de cet axe se distinguent de tous les autres paL*^ cette propriété, que leurs déplacements sont parallèles à Isi direction de cette même ligue. Or les cosinus des angles qi:»-^ fait avec les axes XYZ la direction du déplacement d'uu^ point quelconque, sont proportionnels à Aj:, Ay, A^j ^ ceux des angles que fait Taxe de rotation avec ces mênB.^ axes sont proportionnels à
ap -\- hq -^ cfy a' p ->r h' q -{- c r^ a" p -^ h" q '\' c*^ r.
Les points de l'axe cherché sont donc déterminés par les équations
àx Aj Az
ap-{- bq-^cr a' p -\- b* q + c' r a" p ^ b" q -^ c" r^
et si Ton y remplace Ax, Ay, Az par leurs valeurs données par les équations (2), on aura deux équations du premier degré entre x' ^y' ^ z\ et les données, qui représenteront la droite cherchée rapportée aux axes X' Y'Z'. Nous allons réduire ces équations à l'expression la plus simple; pour cela , nous commencerons par mettre les précédentes sous cette forme,
(â( 4- I Aa) Ax (fl' 4- \ La') A7
(a + I Aa) {^ap -+- ^7 + cr) [a' -+- \ La') [a' p -\- b' q -{- c' r)
[a" -\' ^ :^a" ) Lz
— [a" + \ La") [a"p -f- b" q -\- c" r)
En ajoutant les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs , on aura encore une fraction égale. La somme des dénominateurs, en vertu des équations (12) se réduira à p. La sdinme des numérateurs sera, d'après les équations (2), h-{-qz' — /y', en posant
(a -f- 1 Afl) AÇ + (a' + I Art') Ay] 4- (fl" -t- T Art") AÇ == //.
Les fractions (i3) sont donc égales à '—»
En faisant relativement aux lettres i et c des calculs analogues à ceux que nous venons de faire relativement i a, on trouvera que les fractions (i3) sont égales aux nouvelles expressions
/ 4- rx' — pz' k -f- pjr' — qjcf
les quantités A, 1, h étant déterminées par les équations
254 COURS DB M^CAlflQUE.
suivantes :
A = (a 4- 7 Au) A? + («' -f- T ^a')àr^ -f- {a" + t Au") AÇ,. i=(^+|A^»)AÇ+(è' + |Aè')A>, + (6"4.^A6")AÇ, /' = (c + I Ac) A| 4- (c' 4- I Ac') A>j -f- (c" 4- | Ac") AÇ.
Les équations de l'axe seront donc
h-^- qz' ^- ry i 4- rx' — pTl k 4- p^ 4*- 7^'
Ces fractions sont égales à celle que l'on obtiendrait en multipliant les deux termes de la première par j», de la seconde par y, de la troisième par r, et ajoutant termes à termes ces nouvelles fractions 5 ce qui donne
ph 4- qi 4- rk p^-hq^-^- r"'
Or, d'après les valeurs de A, i, A, on trouve, en tenan compte des équations (11),
ph -4- qi 4* rk = (ap 4- ^^ 4- cr) AÇ 4- («'/? 4- ^'^ 4- c r) Ai}
Mais le second membre de cette équation, divisé
s/p^ 4- (jf^-\- /•*, serait la projection du déplacement de V rigine sur la direction de l'axe de rotation. Si donc on d signe cette projection constante par y, on aura
ph 4- qi -i- rk = yj ^p^ |- çr» -f- 7-2.
Les équations des projections de l'axe sur les trois plai-us coordonnés X' Y' Z' seront donc
-\-qz'—ry i-^rx'—pz' __ k -^ py' — qx'
P y ' slp^-^q^-^ ^
PREMIÈRE ÀNîflÉE. — STATIQUE. ^55
rx — pz =r V i ,
Sî , dans tous les calculs précédents on suppose les lenls infiniment petits et exécutés dans un temps mt vers zéro, tous les accroissements tendront aussi », et les équations que nous avons obtenues donnerelations entre les limites des rapports des accroisdes variables ou entre leurs différentielles. On les les premières en négligeant les infiniment petits du rdre , et changeant la caractéristique A en d. Mais ; l'homogénéité soit en évidence, p, y, r devenant itités infiniment petites, nous les remplacerons, formules précédentes, par pdt^ qdt^ rdt. Au 5 équations que nous allons obtenir pourraient être directement des équations (i) par des différentiades calculs analogues à ceux que nous avons faits cas des déplacements finis. Les déplacements et mposantes Ao:, Aj-, A^, étant divisés par A^, ït à la limite les vitesses et les composantes des vi-
> -7-9 -r? et, comme les vitesses et les déplace-
composent et se décompose ut suivant les mêmes n voit sans peine que toutes les propositions troules déplacements, étant considérées à la limite, Qt des propositions analogues sur les vitesses des 1 système. Nous allons examiner rapidement ces propositions 5 mais, auparavant, nous croyons depeler quelques formules élémentaires que nous
256 COURS DE MIÊCATÏlQnS.
pourrions regarder comme connues , mais- dont il importe de fixer le sens avec précision.
Révision de quelques formules élémentaires de géométrie
analytique.
224. angles formés a^ec les axes par une droite perpendiculaire sur deux autres, — Soient (aêy) , (a' 6' y') les angles formés par les directions des droites données avec les axes positifs des a:, j^, >2^ et X, fz, v les angles que forme avec ces mêmes axes la direction de la perpendiculaire; on aura les deux conditions
CCS a ces \ -H ces 6 ces p + cos 7 cos v == o , ces a' cos \ + cos 6' cos fx -f- cos 7' cos v = o.
Ces deux équations déterminent les rapports des trois cosinus inconnus, et donnent
cos A ; cos fx : cos V : : cos 6' cos 7 — cos 7' cos 6
: cos 7' cos a — cos a' cos 7 : cos cl' cos 6 — cos ê' cos a;
et comme la somme des carrés des trois cosinus est ^ale à r uni té, on aura, en posant d'abord
(cos é' cos 7 — cos 7' cos 6)' + (COS7' cos a — cos a' COS7)'
(cos otf cos 6 — cos 6' cos a)* = D%
cos 6' cos 7 — cos 7' cos 6
cos A =r , ,
dzD
cos 7' cos a — cos a! cos 7 cos^= ^^ ?,
cos a' cos 6 — cos 6' cos a ±D '
cos V =
le dénominateur devant être pris avec le même signe pour les trois cosinus , qui doivent être dans le même rapport que leurs numérateurs. Quant à la valeur de D', elle ^^
nettrc sous la forme
(ces' a -h cos= 6 + ces' 7 ) ( cos' a' 4- cos' 6' -+- cos- 7' ) — (cos a cos a' -H cos 6 cos 6' + cos 7 cos 7')^ ;
! est donc égale à
I — cos^ V ou sin^ V,
tant l'angle des deux droites; on a donc
cos \ = db - — rr ( cos ê' cos 7 — COS 7' COS ^ ) ,
sin V . '
cos a = ± -. — rr (cos 7' COS CL — COS Ot! COS 7 ) ,
sin V ^ '
COS V = d:; -: — -- ( cos atf cos 6 — cos 6' cos a) . sin V '
trouve ainsi deux directions opposées 5 et, en effet, rien ju'ici n'a déterminé lequel des deux sens on voulait con- ;rer sur la perpendiculaire.
!25. Distinction du sens de la perpendiculaire à deux actions, — Concevons par l'origine deux droites parallèles : directions dél/irminées par les angles (aêy), («'ê'y'); nons sur la première un point quelconque : ses coordons :r,y, z seront proportionnelles aux cosinus des angles 5, y, et, respectivement, de mêmes signes : par ce point, nons une parallèle à la direction déterminée par les ;les a', ê', 7', et concevons un point en mouvement sur te dernière direction. Le rayon vecteur mené de l'origine e point partira de la direction (aêy) et ira en se rappromt de la direction (a' S'y) qui passe aussi par l'origine. Supposons maintenant un observateur placé dans la perndiculaire au plan des deux droites, les pieds appuyés r ce plan*, le mouvement du rayon vecteur lui paraîtra ïxécuter de gauche à droite ou de droite à gauche, suint qu'il sera placé d'un côté ou de l'autre du plan. Nous 1. 17
avons distingué ces deux sens en appelant direct celui où le mouvement s'effectue de gauche à droite , et rétrograde celui où il s'effectue de droite à gauche*, et nous nommons direction de Vare du plan des deux droites dans Icjquel s'effectue le mouvement, celle de la perpendiculaire dans le sens pour lequel ce mouvement est direct.
Les valeurs des cosinus des angles X, jjt, v que fait la perpendiculaire avec les axes de coordonnées sont, d'après la formule précédente, dans laquelle on remplacera cosa, cos 6 , cos y , par .r , j^ z ^
Y cos 7' — z cos €'
cos A •=. î-i ,
z cos af — X cos 7' cos u. = -7- t
X cos 6' — y cos a'
cos V = ; 9
la valeur de p étant
sj^y cos 7' — zcosê')'+ (zcosa' — :ccos7')'-4- (a; cos 6' — jcosa')';
de sorte que p n'est autre chose que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite menée par le point x^ y, z^ dans la direction (a' 6' y'). Il ne s'agit plus que de savoir quel est le signe qu'il faut donner à p pour que les angles i , (jt , V se rapportent à la direction de l'axe du plan , telle que nous l'avons définie. Remarquons d'abord que si dans un plan de direction quelconque, que nous ferons passer, pour plus de simplicité, par l'origine, un rayon vecteur se meut autour de ce dernier point dans un certain sens , et (|ue l'on considère la projection mobile de ce rayon vecteur sur un autre plan; l'axe de ce dernier mouvement sera celui des deux directions de la perpendiculaire à ce nouveau plan qui fera un angle aigu avec la direction de l'axe du premier mouvement.
i Cela posé, considérons d'abord la projection du rayon' vecteur sur le plan XY, et désignons par B Fangle que sa 'direction forme avec celle des x positifs, de telle sorte que
•4'axe positif des y corresponde h 9 = -- Le mouvement sera
direct relativement à Taxe des z positifs, si 0 va en crois-,^ sant^ et, dans le cas contraire, il sera direct par rapport k Taxe des z négatifs. Et Ton sait d^ ailleurs qu'un angle croît ou décroit toujours en même temps que la valeur algébrique de sa tangente.
Or la projection sur XY du rayon vecteur mené au point (a:, y^ z) fait avec l'axe des x un angle dont la tangente a
pour expression générale -• Si le point x^ j^ z s'avance
dans la direction (a' 6' y') d'une quantité quelconque m, cette tangente devient
r -h m ces 6'
m cos a'
son accroissement est donc
m [x cos ^' — X cos a' ) J7* -h m.v cos a' '
et, comme on peut supposer m assez petit pour que le dénominateur soit positif, le signe de cet accroissement sera le même que celui du numérateur, ou de x cos 6' — ycosx\ Ainsi, la projection du rayon vecleur sur XY aura un mouvement dont Taxe sera l'axe des z positifs, si l'on a
.r cos ^' — Y cos a' ^ f > ;
et, par suite, l'axe du mouvement dans l'espace et l'axe ^s z positifs feront un angle aigu. De même, les projections sur YZ auront un mouvement direct par rapport aux
a6o COURS DE MÉCANIQUE.
axes des x et des y positifs , si Ton a
/ cos 7' — z cos 6' ^ o , z cos a' — x cos 7' ^ o.
Dans le cas où une de ces inégalités serait de sens contraire, il serait direct par rapport à l'axe négatif, et l'axe du mouvement ferait un angle obtus avec Taxe positif correspondant.
On voit donc que les cosinus des augles que fait Taxe du mouvement que nous considérons , avec les axes positifs jc, y, z , sont de mêmes signes respectivement que les numérateurs des valeurs trouvées précédemment -, que , par conséquent, on doit prendre p positivement 5 ce qui donne les formules suivantes :
Y cos 7' — Z COS 6' COS A = t
, , Z cos a — X cos 7
(l) ' COSa= î-9
a: cos 6' — y cos a' cos V = ■ •
Si maintenant on remplace x^ y, z par les quantités pro- — portionnelles , et respectivement de mêmes signes, cos osz , cos o , cos y, on aura
cos X = . „ (cos 6 cos 7' — cos 7 cos 6M , smV '
(1) < cos jx = -7—7: (cos 7 cos a' — cos a cos 7' ) ,
\ / » '^ smV ' ^
cos V = . „ (cos a cos 6' — cos 6 cos a' ) , smV '
V désignant encore l'angle des deux directions.
Ces formules se rapportent à l'axe du mouvement ex^*" ciité dans le plan des deux directions (oc^ ë^ y)^ («', S\ y' )
PBBMIÂRK ANNÉE. — STATIQUE. 26 1
par un rayon vecteur tournant autour de leur point de rencontre, en partant de la première et se rapprochant de la seconde. Si l'on faisait une construction analogue , en substituant chacune des deux directions à Tautre, on aurait un mouvement en sens inverse; et, eu effet, les formules précédentes des cosinus changeraient évidemment de signe sans changer de valeur absolue.
Si les deux directions données étaient rectangulaires , on aurait*
ces "k =r CCS 6 cos 7' — ces 7 cos 6',
(3) i cos fx = cos 7 cos af — cos a ces 7',
cos V = cos a cos 6' — cos 6 cos a'.
226. Si l'on prend, à partir de Forigine, une longueur q sur la direction a', 6', y\ on aura, en désignant par x\ y', 2' les coordonnées de son extrémité ,
x'= q COS(x\ j'=:^cos6', z' = ^ cos 7' ; et les formules (i) deviennent
jz! — zy = pqcos'ky za/ — j:z' = /?gr cos fi, a:/' — yx^:=^pq cos tt.
Or, d'après ce que représente p, pq est l'aire du parallélogramme construit sur les deux droites menées de l'origine aux points xyz^ x* y' z* . Désignant cette aire par P, on donc aura les trois équations suivantes :
(4) P cos X = yz' — zf y P cos fi = zxf — xz\ P cos v = xy^ — yx\
^î /Ji, V se rapportant à l'axe de l'aire décrite par un rayon vecteur passant par l'origine et marchant de xyz vers ^ y z' par le plus court chemin. Et, si sur la direction de cet axe on prend une longueur qui représente l'aire P, ces dernières expressions représentent en grandeur et en signe ies projections de celte longueur sur les axes des coor-
202 COURS DE MÉGANIQUE.
227. Formules pour la transformation des coordonnées, — Proposons -nous de passer d'un système de coordonnées rectangulaires a: , j", z à un système quelconque de coor- . données obliques x' ^y\ z' ayant même origine 5 et supposons, comme nous le ferons toujours, que la disposition des axes soit telle que, si un rayon vecteur se meut autour de l'origine dans les trois angles des axes positifs , en partaùt de l'axe des x^ et marchant vers l'axe des y^ puis vers celui des z pour revenir à l'axe des a:, les directions des axes positifs soient respectivement les axes de ces trois mouvements. Soient a, a', a" les cosinus des angles que la direction des x'^ positifs fait avec les directions respectives des x^ j^ z positifs*, i, b\ b" les cosinus relatifs à la direclion des^' positifs \ et c, c', c" ceux qui se rapportent à la direction des z' positifs.
Considérons un point quelconque M (fig^ Sa) , dont les trois coordonnées x' ^ y\ z' soient représentées par AP, PQ, QM; abaissons MR=:x, perpendiculaire surYZ, et joignons RA. Ce polygone fermé étant supposé projeté suf AX, donnera
ax' -h by' '\- ct! — a; = o ,
pourvu que les quatre coordonnées x\y\ z' ^x soient po — sitives. Si Tune quelconque d'entre elles, par exemple y^ était négative, le côté du polygone qui doit être pris en vaa-leur absolue serait — y' \ mais, comme il serait alors parrcouru dans le sens desj^' négatifs, le cosinus qui le multS. ■ plie changerait de signe et serait — h\ le terme que l'c doit écrire est donc toujours £y', et l'équation est général en regardant comme négatives les coordonnées dirigé en sens contraires des axes déterminés par les cosin donnés.
On trouverait deux autres équations analogues', en co sidérant les coordonnées j- et z. Les équations générales ^
brmation seront donc
y = fl'x'+ b' y' + c'z',
1 aura les conditions nécessaires
h'^^h'^'\'b"^:=ix, c'-i- c/' +c"'= i;
nouveaux axes étaient rectangulaires, on aurait de
ab-\'a'b'-\'a"b"=:zo, ac +«VH-a"c" = o, bc-^b'c' ■Ar.b"c"=o,
•te qu'on ne pourrait prendre arbitrairement que trois 3uf quantités a^h^c\a' ^ b\ c'\ a", h" ^ c". i deux systèmes étant rectangulaires, on peut passer du 1 au premier par des formules semblables^ de sorte !S équations (i) , (a) , (3) entraînent les suivantes :
a/ z=ax -\- a! y + a" z^ y ^bx-\-b'y-hh"z, z' z= r j: + i/ y -f- c"z;
«' -H-^2 -hc' =1, n'-' + b'^-^'c'^z^i,
aa' -4- bb' -h ce = o, aa" -h bb" 4- ce" z= o, a'a"'\-b'b"-^c'c"z=o.
iroquement, ces équations entraîneraient les prc-
264 COUBS DE MÉCANIQUE.
inières; et les deux systèmes (i), (2), (3),et (4)> (5), (6) sont, par conséquent, identiques.
Les quantités abc^ a'V c\ a"b"c" satisfont à d'autres relations importantes, qui pourraient se déduire des précédentes , en laissant d'abord une ambiguïté qu'on ne fait disparaître qu'avec un peu de peine. Nous allons montrer comment on peut les obtenir d'une manière beaucoup plus simple, et sans aucune incertitude sur les signes.
Nous remarquerons d'abord qu'il y a deux suppositions k faire sur l'ordre des axes positifs des deux systèmes de coordonnées , qui sont désignés par les mêmes lettres. S'ils sont dans le même ordre, on pourra faire coïncider les directions des x', y'^ z' respectivement avec celles des x, j, z positifs. S'ils sont en ordre inverse, lorsque les directions des x' et des j^' seront amenées à coïncider avec celles des x et des j^ positifs, les directions des z' et des z positifs seront directement opposées.
L'axe des x' étant perpendiculaire au plan des axes des y' et des z\ les angles qu'il fait avec les trois axes des x^y^ z se détermineront d'après les formules (3) du n*^ 225; il faudra d'ailleurs s'assurer si les axes des x\ y' ^ z. sont: dans le môme ordre que les premiers. Dans cette hypo — tbèse, Taxe des x' positifs est l'axe relatif au mouvemeaX d'un rayon vecteur partant de AY' et se rapprochant 4^5 KV \ les angles a, 6, y des formules (3 ) se rapportent dom-Cî à AY', et ont pour cosinus i, h\ h" \ a', 6', y' se rapportearxt; à AZ', et leurs cosinus sont c, c', c" \ ce serait l'inverse sî l'ordre des trois axes était inverse.
Si donc on remplace, dans les formules (3), cos i, cos /ut, cos V, para, a', a'', on aura, dans l'hypothèse d'une disposition semblable dans les deux systèmes d'axes,
a — h'c"--c'h'\ a'=ich"—hc\ a" — hc' — cb\
PRBHlilLE ANNÉE. — STATIQUE. 265
le cas d'une disposition inverse ,
fJh" — b'c\ a' = bc" - cb\ a" = ch' — bt/,
5 qui ne diCfèrent des premières que par le changesigne des seconds membres.
îssant de la même manière pour les axes des y' et n aura des équations semblables^ de sorte que les mités abc^ a' b' c' ^ a"b" c" sont liées par les relayantes, dans le cas où la disposition des deux sysixes est la même :
= b'c" — (/ b\ a' =r cb'' — bc\ a" = bc' — c6', ^t/a" - a'c\ b' = ac" — ca\ b" = ca' — ai/, = a'b" — b'a% c' =z ba'' — ab'\ c" = ab' — ba\
as où la disposition des axes serait inverse, il faunger les signes des seconds membres de ces neuf s.
-iCS nouveaux axes x'^ y\ z\ au lieu d'être déterr neuf quantités entre lesquelles il existe six relaurraient l'être par trois seulement, et nous allons naître les formules données à cet eflet par Euler. upposerons que les nouveaux axes aient la même )n que les premiers , et nous les déterminerons en l'angle (|; (//^**. 53) que forme avec Taxe des x po- 'ace AR du plan Y' X' sur XY \ T angle 0 que forme l'y' avec XY, qui est aussi celui des axes AZ, îufin l'angle <f que forme AX' avec AR^ mais il est d'indiquer avec précision le sens dans lequel cba- 2S angles est estimé.
:ompterons Taiigle ^^ dans le sens du mouvement
AX vers AY, et il pouna varier de o à 27:; mais
î des deux directions opposées AR, Ail' se rappor-
' Pour la déterminer, concevons un mouvement
direct autour de AZ qui amène AX en AR et A Y en AY15 puis un mouvement direct autour de AR qui amène AZ à coïncider arec AZ', ce qui aura lieu, ou lorsque le système aura tourné de Tangle 0, qu'on supposera toujours moindre que rr , ou lorsqu'il aura tourné de 2 71 — 9 ; or il n'y à qu'une des deux directions AR, AR' pour laquelle l'angle de rotation soit 0, et c'est celle-là que nous choisissoos pour 1* détermination de l'angle ^.
On voit, d'après cela, qu'on passerait des premiers axes aux nouveaux, en faisant tourner, dans le sens direct, le système des premiers d'un angle ^ autour de AZ^ les faisant tourner ensuite d'un angle 9 autour de AR, et enfîn d'un ' angle ç autour de AZ'. Après le premier mouvement, les axes seront dans la position AR, AYj, AZ, et nous désignerons par Xi, ji, z les coordonnées comptées sur leurs directions. Après ce second mouvement, ils ont la position AR, AY2, AZ', et nous désignerons par Xi, j"8, 5' les coordonnées correspondantes. Enfin, après le troisième mouvement, ils coïncideront avec les axes AX', AY', AZ', pour lesquels les coordonnées sont x\ y\ z\
Nous pourrons ainsi passer des premiers axes aux nouveaux au moyen de trois transformations dans lesquelles un axe étant immobile, on n'a besoin de faire usage que de la transformation des coordonnées dans un plan.
Or on sait que, pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires m, p» à un système rectangulaire m', f^' sera*" blablement disposé, c'est-à-dire tel , que quand la direction des 11^ positifs coïncide avec celle des u positifs, il en soit de même des directions des i^ et p»' positifs , on a les deu^"^ formules
u = «' cos Qt — p' sin a ,
c = «' sin a -h c/ cos a , a désignant l'angle dont il faut faire tourner l'axe (les «
is le sens de u vers t^ pour qu'il coïncide avec l'axe des u' itifs. Ces formules varieraient dans les signes si la disition des axes ^lait inverse. D'après cela, on aura les .alions suivantes :
Xicos^p — /,sin^, /,=/2COs9 — z'sinG, x,i=rx'cos(p — /'sintp, artSin-ip+ZiCos-»}^, z =j2sin9+s'cosÔ, /2=:ar'siny+/'cosy.
minant les intermédiaires J^i, J"i,y8, on obtient les forles cherchées :
j? = a?' (ces <f CCS 4* — sin ç sin ^ ces 0) -f- /' ( — sin ff ces ^ — sin ^p cos (j> cos ô) -4- z' sin -^ sin G ,
y -=: x' (cos (p sin \p + sin ^ cos -^ cos 9)
+ y ( — sin ç sin ^ + cos i|> cos ç cos 9) — z cos >{/ sin 9 ,
z z=: x' sin 9 sin q> H- j^' cos y sin 9 + z' cos 9.
La comparaison des formules (i) et (8) conduit aux nations suivantes , qui ont la même généralité que celles )ù on les déduit :
a = — sin ç sin i|> cos 9 + cos y cos -^ , • b =. — cos ç sin ^ cos 9 — sin (j> cos \p , c z=z sin 9 sin >|< ,
a' = sin cp cos •»]/ cos 9 -|- cos ^ sin \p , b' ■= cos ff cos '^ cos 9 — sin <p sin \p , c' := — sin 9 cos ^ ;
«" =: sin 9 sin (p , b'^ = sin 9 cos ç , c" = cos 9.
Ces équations entraînent les suivantes , qu'il est bon de
ter:
lang ? = p > tang .{> = —-.
Du mouvement infiniment petit d'un système rigide,
229. En diflerentîant les équations (i) du n** 2t4 par rapport à f , et supposant x\ y\ z' constants, on obtient
■ dx dl da \~dt^ dt^"" dt
, db
,dc
] dy dn ^ ^ da' dt"^ dt'^ dt
,db'
,dd
^' dr
dz dX, , da''
,db"
■^^ de
,dc"
■^^ dt-
Ce sont les valeurs des composantes parallèles X, Y, Z de la vitesse d'un point quelconque du système ayant pour coordonnées invariables x', y'^ z' par rapport aux axes X', Y', Z'.
On les obtiendrait en divisant les équations (2) du même numéro par A^, et passant à la limite des rapports lorsque At tend vers zéro.
230. Composantes de la vitesse dans le sens des axes mobiles, — En multipliant les seconds membres des équations (i), respectivement par «, a', a'\ et les ajoutant, on aura la composante de la vitesse dans le sens des x'\ on aura, de même, les composantes dans le sens des j^ et des -z . Désignons-les par u^ p», w^ et soient A, i, h les composantes de la vitesse de Torigine mobile, suivant ces mêmes directions 5 c'est-à-dire posons
dl dn ,, dX,
a -— -\- a' —"i- a' — -=/i, dt dt dt ^
^ ^ ^ dt dt dt
dl , fdn ^ „ dt, dt dt dt
iverons
U'=zh-\- qz* — ry' y p =r I -4- rx* — pz\ W :=ik-\- pf -— qx\
ant donnés par les équations
pdt = cdb 4- c' db' -h c" db\ qdt=z adc + a' de' 4- a" dc'\ rdt = bda + b'da! + b"da\
emiers termes A, i, k sont les composantes de la i mouvement commun de translation; de sorte que osantes dues au mouvement de rotation autour de supposée immobile , sont
qz' — rj', rx' — pz\ py' — qx' ,
4xe instantané de rotation. — Les points dont la t nulle dans le mouvement autour de l'origine sup- 3, seront donnés par les trois équations suivantes, luisent à deux :
— rjr' == o , rx — pz' = o , py — qx' = o.
mt une droite qui passe par l'origine, et qui fait ixes x', y\ z' des angles dont les cosinus sont
ixip ni q
îs supérieurs ou inférieurs devant être pris en-
nomme axe instantané de rotation , parce qu'on )poser que le mouvement s'effectue autour d'elle
un temps infiniment petit -, les erreurs qui en rél'étant que des infiniment petits du second ordre , . points situés à une distance finie de cet axe.
2^0 COUES DE MÉGANIQUE.
Il résulte de là que tout moui^ement infiniment petit autour (Vun point fixe peut être considéré comme ayant lieu autour (Tun axe passant par ce point.
Et, par conséquent,
Tout moui^ement infiniment petit d'un corps peut être considéré comme résultant d'un mouv^ement de translation et d'un moui^ement de rotation autour d'un axe fixe»
232. Expression de là vitesse angulaire. — Dans ce mouvement autour d'un axe fixe, la vitesse angulaire est égale à la vitesse d'un point quelconque, divisé par la distance de ce point à l'axe. Si Ton choisit à cet effet le point situé sur Taxe z' à la distance i de l'origine, ses coordonnées seront
les composantes de sa vitesse, parallèlement à ces axes, seront, d'après les formules précédentes , q^ — /?, o\ sa vitesse
sera donc \lp^-\-q^' Sa distance à Taxe sera le sinus de l'angle de cet axe et de l'axe ^', ou =rr— » Donc la
vitesse angulaire « aura pour valeur
(6) ^^^p'^^q^^rK
233. Sens de la rotation, — Il reste à déterminer 1^ sens de la rotation du système, ou, ce qui est la mêm*^ chose, le sens de la rotation qui s'effectue dans un plai* quelconque perpendiculaire à Taxe. Il suffit, pour cela, 4^ reconnaître si la direction de l'axe de cette rotation corrc5^ pond aux signes supérieurs ou aux signes inférieurs dcî^ expressions (5). Nous considérerons, à cet effet, le pla"^* mené par l'origine perpendiculairement à l'axe, et nou»-^ allons chercher la direction de l'axe de la rotation effeclu*^^ dans ce plan par la droite menée de l'origine à l'un que*^
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2tn f
conque des points de ce plan, ayant pour coordonnées x'y z* , Ce point, à partir d'une quelconque de ses positions, se meut dans la direction de sa vitesse, qui fait avec les axes X'Y'Z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à M, t', If»; de sorte que, pour avoir Taxe de la rolion du rayon mené de l'origine à ce point, il suffit de recourir aux formules (2) du n^ 225, en remplaçant la direction (aêy) par celle du rayon, et la direction (a'6'y') par celle de la vitesse. D'où il suit que les cosinus de^s angles que fait la direction de l'axe de la rotation avec celles des x', j'^ z' seront de mêmes signes que les expressions
yw — z'v, z' u — x'fv, x' \> — /'w;
et il n'y a plus qu'à reconnaître si les signes de ces expressions sont les mêmes que ceux de ^, ^, /•, ou contraires.
Nous prendrons, pour plus de simplicité, 2'= o^ d'où résulte
« rr — ry\ v =z rx' ;
et la troisième expression devient
Elle est donc de même signe que r; et, par conséquent, ce sont les signes supérieurs qui doivent être pris dans les expressions (5).
Ainsi les cosinus des angles formés avec les axes X' Y'Z', par la direction de Taxe de rotation, sont en grandeur et en signes
En multipliant la vitesse angulaire sj p^ -{- q^ -^ 1^ par ces trois cosinus, on aura ses coniposanles suivant les axes
2*^2 COURS DK MÉCANIQUK.
X', Y', Z. F.(îurs valeurs en grandeur et en signes seront donc
234. j4xe instantané de glissement et de rotation.-^lA proposition établie dans le n° 219 ayant lieu pour tout mouvement du corps , aura lieu lorsque ce mouvement sera infiniment petit; et l'on retrouve cette proposition', dé* montrée d'abord géométriquement :
Tout mouvement infiniment petit d'un corps peut être produit par un mouv^ement de rotation autour à!un axe fixe, suivi ou précédé d'un mouvement commun de glissement le long du même axe.
Cet axe instantané de glissement et de rotation peut encore être envisagé autrement. En substituant, comme nous l'avons déjà dit , aux espaces infiniment petits parcourus par les points du système dans un même temps, les vitesses mômes de ces points , on a l'énoncé suivant :
Les "vitesses de tous les points d'un corps à un instant quelconque peuvent être considérées comme résultant de la composition de vitesses égales et parallèles à une même droite , et des vitesses qu auraient ces points dans un certain mouvement de rotation autour d'un axe pflràllèle à cette même droite,
La composante parallèle à l'axe n'est autre chose que la projection de la vitesse de l'origine mobile sur l'axe 5 la vitesse angulaire du mouvement de rotation est ^p*-i-q*+r*i et la direction de cet axe est celle qui fait avec les axes des a:', j^', z^ des angles dont les cosinus sont proportionnels à p^ q^ r et de mêmes signes que ces quantités.
233. Équations de l'axe instantané de glissement et d^ rotation^ — Les équations de Taxe de glissement et de rotation données, dans le n^ 222, pour un mouvement fini quelconque, se changeront dans les équations cher-
PEEMIÉRE ANNÉE. — STATIQUE. 2^3
chées en divisant les deux membres par Af et passant aux limites. Les quantités p, q^ r se changeront en celles que nous désignons actuellement par ces mêmes lettres^ A, î*, h deviendront les composantes de la vitesse de l'origine dans le sens des axes X', Y', Z', que nous représentons encore par ces mêmes lettres; enfin , v, qui représentait le déplacement de Forigîne estimé dans le sens de l'axe, deviendra la vitesse de cette origine estimée suivant cette même direction ou la vitesse de glissement. Nous la désignerons par la même lettre, et par u', u'', u'" ses composantes suivant les axes X', Y', Z'. Les équations de l'axe instantané de glissement et de rotation seront donc, par rapport aux axes mobiles ,
iqz' ^ ry' =zW — //, rx^ — pz* = m" — /, py qx' == m'" — k.
On aurait les équations de cet axe par rapport aux axes fixes en substituant à x', y^ z' leurs valeurs en x, j^, z. L'axe est ainsi déterminé à chaque instant par rapport au corps et à la position absolue , en supposant que les quantités ^, yj, ^, rt, i, c, a', etc., soient des fonctions données du temps.
L'équation de la surface, lieu de ces axes par rapport au corps , s'obtiendrait en éliminant le temps entre les trois équations de l'axe en x' ^ j\ z\ et les équations de la surface, lieu de ces axes dans l'espace, s'obtiendraient en éliminant le temps entre les trois équations de l'axe en x., y, z,
236. Déplacement virtuel d'un corjys solide. Équations d! équilibre, — Les formules (3) du n° 230, qui expriment les composantes de la vitesse d'un point quelconque d'un <K)rps solide en mouvement, donnent immédiatement les composantes des vitesses virtuelles des divers points de ce corps; et l'application du principe général de la statique I. iB
fera connaître les équations nécessaires et suffisantes pour Téquilibre de forces appliquées à un corps solide entièrement libre. En effet , lorsqu'un système rigide passe d'une position donnée n une autre infiniment voisine, tous les points peuvent être considérés comme décrivant des droites infiniment petites d'un mouvement uniforme et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces droites, que l'on a nommées, pour cette raison, vitesses virtuelles. Les composantes de ces vitesses virtuelles , ou de ces déplacements virtuels, sont donc les produits du temps Q employé à. les parcourir par les composantes de la vitesse données pai les formules (3). La somme des moments virtuels des ayant pour composantes (X, Y, Z, X', Y', Z', etc.), sera don^
Ô2 [X(A + qz' — rr') 4- Y (/ -i- rx'-^pz') -4- Z (/+/?/— ya/)]
Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut , d'après le princi^^)e des vitesses virtuelles, que cette somme divisée par 6 sc^^ît nulle, quel que soit le déplacement; c'est-à-dire quelles soient les six quantités A, z, A, /;, q^ r, puisque l'on pose le corps entièrement libre. Il est donc nécessaire. et suffisant que les coefficients de cbacunc de ces indétermin^^es soient nuls, ce qui donne les équations
î:(/Z — 3'Y)=:o, 2:(z'X~a:'Z) = o, 2(x'Y — yX) = o.
On peut supposer les axes des x\ r', z' placés d'une xnaiiière quelconque dans l'espace. On peut donc les fair^ se confondre avec les axes donnés des x^y^ z. Les trois Jernières équations deviennent alors
^(jZ— zY)=ro, 2(zX — xZ) = o, 2(xY ~jX)=o.
On retrouve ainsi les six équations déjà démontrées n** S0(*).
C*) On peut consulter, sur le mouvement géométrique d'un corps solide, un Mémoire assez étendu de M. 0. Rodrigucz , posléricur à celui de M.Poinsot {vojres le Journal de M. Lioiivilli', tome V ).
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2n5
