PRINCIPES GÉNÉRAUX

Nous allons maintenant considérer le mouvement dans ses rapports avec les causes qui le produisent, et que nous avons désignées généralement sous le nom Ae forces.

249. Inertie, — Quand un corps parait passer du repos au mouvement, c'est-à-dire lorsqu'il se déplace par rapport aux objets qui semblent immobiles à la surface de la terre , on reconnaît le plus ordinairement une cause extérieure qui a agi sur lui en ce moment \ ou encore une cause qui agissait déjà sur lui pendant le repos , mais dont l'action était détruite par un obstacle qui a cessé d'exister à l'instant où l'on a vu le mouvement commencer \ et il est naturel d'étendre ce fait au cas où le corps partirait du repos absolu. Cela posé , on est porté à admettre que , si un corps se met en mouvement sans qu'on en aperçoive aucune cause hors de lui, cette cause n'en existe pas moins, mais seulement que les moyens nous manquent pour reconnaître son existence.

De plus, l'expérience montre constamment qu'à mesure que les actions extérieures diminuent, le mouvement des corps tend , de plus en plus , à devenir rectiligne et uniforme^ d'où l'on conclut que telle serait rigoureusement U

PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUS. 2g3

nature du mouvement si toutes les actions ou résistances n'existaient pas.

C'est de l'ensemble de tous ces faits que Ton a déduit le principe de V inertie de la matière , qui a été confirmé sans aucune exception , par l'accord des conséquences qu'on en a tirées avec les faits résultant d'expériences directes. Il peut être énoncé de la manière suivante :

Tout point matériel en repos y reste tant quil ne sur^ i^ient aucune action extérieure ou force ] et s^il se meut sans qu'aucune force lui soit appliquée, son moupetnent sera rectiligne et uniforme.

Mais il ne faut pas entendre par là qu'un corps n'entre pour rien dans la production des forces qui peuvent agir sur lui. L'ensemble des phénomènes naturels montre , au contraire, que ces forces naissent toujours de l'action mutuelle de ce corps et d'autres corps. L'inertie consiste donc en ce qu'un point matériel ne peut changer de lui-même son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme , et qu'il faut toujours pour cela l'existence et l'action d'autres points matériels.

250. Nous allons maintenant faire connaître un principe général auquel on a été conduit par une foule d'observations et d'expériences , et qui est vérifié par l'accord constant entre les résultats auxquels conduit son admission, et l'observation directe des phénomènes. Il consiste en ce que:

Si tous les points d'un système ont des vitesses constan-^ tes et égales y et se meuvent suivant des directions parais lèleSj et que l'un d'eux vienne à être sollicité par une cer^ laine force ^ son mouvement relativement aux autres sera le même que si le mouvement commun au système n'avait voint existé, et que le point en question eût été sollicité par la même force y agissant dans la même direction.

On aperçoit facilement par quel genre d'expériences on

pourrait reconnaître la vérité de ce principe si la terre était immobile. On donnerait un mouvement uniforme commua à un système de points mobiles les uns par rapport aux autres , on appliquerait à Fun d'eux une force dont on ferait varier la direction et l'intensité, et l'on observerait le mouvement relatif de ce point. On répéterait les mêmes expériences en changeant le mouvement uniforme commun, et l'on reconnaîtrait que le mouvement relatif est tout à fsiit indépendant du mouvement uniforme commun , et le même que si ce dernier n'existait pas.

Ces expériences ont été faites, mais on ne saurait en conclure le principe en question , parce que la terre étant en mouvement, le système auquel on donnerait un mouvement uniforme par rapport aux objets qui restent fixes à la surface de la terre , n'aurait réellement un mouvement uniforme commun dans l'espace , que si ces objets eux-mêmes étaient animés d'un mouvement uniforme commun. Or, on sait qu'il en est autrement, et que les points qui occupent toujours une même position à la surface de la terre changent continuellement de vitesse pendant le cours de l'année. Cependant les mêmes faits se reproduisant toujours, quelle que soit cette vitesse, l'analogie conduit à admettre qu'il en serait encore ainsi si elle était nulle, et l'on obtient alors le principe général que nous avons énoncé. A la vérité , on ne peut pas dire qu'il soit rigoureusement établi par l'expérience, il résulte d'expériences et d'inductions ] mais il se présente avec assez de probabilité pour servir de base à une théorie. Si l'on trouve que les indica- •

tions de cette théorie sont toujours d'accord avec l'expé

rience , cela lui donnera une probabilité de plus en plus^ grande , et qui équivaudra pour nous à la certitude. Nou^ en dirons autant des autres principes auxquels nous seron: ^ conduits par des expériences répétées , dont nous étendroi pt généraliserons les résultats.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2o5

251. Mouifement produit par une force constante. — On entend par force constante celle (jui exerce la même action sur le corps auquel elle est appliquée , quel que soit le mouvement de ce corps. Cela posé , considérons un point matériel ayant d'abord un mouvement rectiligne et uniforme. Si on lui applique une force constante dans le sens de son mouvement, sa vitesse augmentera de quantités égales dans des temps égaux quelconques, puisque^ d'après le principe précédent, Taccroissement de vitesse est indépendant de la vitesse précédemment acquise. Ainsi , le mouvement rectiligne d'un point sollicité par une force constante, et partant avec une vitesse initiale quelconque, est tel,, que la vitesse croit de quantités proportionnelles au temps. On voit de la même manière que si la force était eu sens contraire du mouvement initial, la vitesse diminuerait proportionnellement au temps \ et à partir de Tinstant où elle serait annulée , le mouvement changerait de sens , et la variation de la vitesse serait toujours la même qu'auparavant, dans des temps égaux.

Une force constante produit donc le mouvement que nous avons nommé uniformément varié (n^ 190). En désignant par u la vitesse, positive ou négative, du point, pour une valeur quelconque du temps t'y par b la vitesse initiale, c'est-à-dire correspondante à /? = o ; enfln par a V accélération positive ou négative, produite par l'action de la force sur le point matériel, on aura, comme dans le numéro qui vient d'être cité.

V = at -h ff = .

X = h bt -\- c\

c désignant la valeur initiale de jc, et déterminant, par conséquent, la position initiale du mobile.

252. Si la force, au lieu d'être conslanle, augmentait ou diminuait d'une manière continue, on pourrait regarder comme évident que la vitesse ne croîtrait plus de quantités égales dans des temps égaux, comme dans le cas où la force était toujours la même. On conçoit au reste combien il a été facile de vérifier par l'expérience celte induction si naturelle. Et nous en déduisons cette conséquence immédiate, que :

Si un plan matériel est animé d'un mouvement uniformément varié j il est nécessairement sollicité par une force constante.

Remarques. — La considération du temps est nécessaire dans la production de tout mouvement, parce qu'il faut toujours un temps fini pour que Faction d'une force fasse acquérir à un corps une vitesse finie. Quelquefois on a distingué deux espèces de forces : les unes , que l'on nommait instantanées y produisaient des vitesses finies, sans que leur action s'exerçât pendant un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on put le supposer; les autres , que l'on nommait accélératrices ^ avaient besoin d'agir pendant un temps fini pour produire une vitesse finie. Mais, comme toutes les actions sont continues dans la nature, et que les forces instantanées n'ont aucune existence réelle, les géomètres s'accordent généralement à ne plus les admettre dans la science. Il n'en sera jamais question dans ce cours, et nous ne considérerons que les forces continues , c'est-à-dire qui ne produisent une vitesse finie que quand leur action s'est exercée sans discontinuité pendant un temps fini.

253. Si deux points ayant des masses égales partent du repos et sont sollicités par des forces égales et parallèles, ils prendront un mouvement identique, et par conséquent, on ne changera rien à leur état, en supposant qu'ils soient liés invariablement l'un à l'autre , et que leur système soit sollicité par la force double qui est la résultante des deu^

PRRMIÈRK ANNÉE. STATIQUE. 2^']

autres, et par conséquent, appliquée au centre de gravité des deux points. 11 en serait de même pour un nomibre quelconque de points, de sorte que si deux masses sont dans le rapport de m à «, et qu'elles soient sollicitées par des forces dans le même rapport, appliquées à leurs centres de gravité respectifs , elles prendront des mouvements identiques, et tous leurs points décriront des droites parallèles.

Si l'une des masses était sollicitée par une force moindre ou plus grande que celle qui résulte de cette proportion , elle aurait évidemment un mouvement différent de Tautre. D'où résulte cette réciproque, que si deux masses inégales ont un même mouvement , les forces qui leur sont appliquées sont proportionnelles à ces masses.

.254. application de ce qui précède à la pesanteur. — L'expérience a appris que tous les corps , abandonnés dans le vide à la libre action de la pesanteur, prennent des mouvements identiques, quelles que soient leur grandeur, leur espèce et par conséquent leur masse. On doit conclure de laque les forces respectii^es auxquelles tous les corps sont soumis, pendant leur mouvement, par l'action de la pesanteur y ou les poids de ces cotps, sont proportionnelles aux masses de ces corps.

L'expérience a encore fait connaître les deux faits suivants, dont l'un est une conséquence de l'autre; savoir, que les espaces parcourus par un corps qui part du repos et abandonné à la libre action de la pesanteur, sont proportionnels aux carrés deç temps ; et que les vitesses acquises sont proportionnelles aux temps. De Tun ou de l'autre de ces faits, on conclut, d'après la discussion précédente, que la force à laquelle ce corps est soumis est constamment la même pendant tous le cours de son mouvement.

On peut reconnaître encore que son intensité est la même qiicî lorsque le corps est en repos. En effet , au moyen

29B COURS DK MÉCANIQUE.

d'un appareil semblable à celui de la machine d*Atwood, on peut communiquer à un corps un mouvement vertical uniforme. Dans ce cas, la force produite par la pesanteur est détruite, et l'on peut en avoir la mesure exacte par la tension d'un ressort auquel serait suspendu le corps et qui participerait au mouvement vertical. Or, rexpërience prouve que cette tension est la même que lorsque le système est en repos ; d'où il suit que le poids d'un corps est le même dans l'état de repos et dans F état de moui^ement.

liCS masses des corps étant donc proportionnelles à leurs poids dans l'état de repos, les instruments qui servent à mesurer ces poids serviront à déterminer les rapports des masses, et Ton pourra représenter ces dernières quantités par des nombres, en prenant pour unité la masse d'un volume déterminé d'une substance choisie arbitrairement, et prise à une température déterminée. Avant les expériences de Galilée sur la chute des corps, on ne pouvait savoir que les masses étaient proportionnelles aux poids; et il en serait tout auti*ement si la pesanteur était, par exemple, une force du genre des attractions magnétiques qui ne s'exercent pas sur toutes les substances , et même qui s'exercent inégalement sur celles qui sont soumises à leur influence.

2S5. La vitesse acquise par les corps pesants tombant librement dans le vide, pendant un temps donné, dépend du lieu où se fait la chute 5 elle subit de petites variations suivant la latitude et l'élévation au-dessus du niveau de la mer. Nous ne nous proposons pas ici d'en faire connaître les lois , et nous nous bornerons à donner la valeur de la vitesse acquise par un corps qui tomberait pendant Tunité de temps, dans le vide, à l'Observatoire de Paris.

Pour déterminer d'abord l'unité de temps, nous supposerons le jour moyen partagé en 24 heures , l'heure en 60 minutes, la minute en 60 secondes^ et nous prendrons pour unité la seconde, ou la 86400^ partie du jour moyen.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. agg

Le jour sidéral , ou la durée de la rotation de la terre sur elle-même, est plus court que le jour solaire à cause du mouvement propre du soleil; il n'est que de 86164,09 secondes. Cela pose, si nous désignons par g la vitesse acquise pendant une seconde par un corps tombant dans le vide, à l'Observatoire de Paris, nous aurons, d'après des expériences précises dont nous parlerons plus tard ,

le mètre étant Tunîté de longueur.

256. D'après ce que nous avons vu dans le mouvement uniformément varié , nous aurons dans le cas d'un corps qui tombe verticalement dans le vide, en supposant la vitesse initiale nulle, prenant l'origine des x au point de départ, et les X positifs dans le sens de la pesanteur,

p2 = 2g^X, OU i>=sl'2'gx.

Cette dernière expression s'appelle communément la vitesse

due à la hauteur x^ et réciproquement, a? ou — s'appelle

la hauteur due à la vitesse p».

Si le corps est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse a, on aura , en prenant l'origine des x au point de départ, et les x positifs en sens contraire de la pesanteur,

V =z a — s^t, x'=i at — - —

La vitesse deviendra nulle pour / = - , d'où x ■=• — Le

mobile monte donc pendant un temps égal à celui qu'il mettrait à acquérir la vitesse initiale a-^ et Tespacc qu'il

3oO COURS DE MÉCANIQUE.

parcourt en s' élevant est égal à celui qu'il parcourrait en descendant pendant le même temps sans vitesse initiale.

Le mobile après le temps - redescend , puisque Texpres-

sion de la vitesse change de signe •, et d'après ce qui vient d'être dit, il doit se trouver au point de départ avec une vitesse égale à — a, après un nouvel intervalle de temps

égal à - • Et , en effet , les formules précédentes , pour t = — 9 donnent

Proportionnalité de la vitesse à la force.

257. Ce principe fondamental delà dynamique consiste en ce que deux forces constantes quelconques qui sollicitent des masses égales pendant un même temps , leur font acquérir des vitesses qui sont entre elles dans le même rapport que les deux forces.

Beaucoup de géomètres ont admis ce principe comme une hypothèse, et ils vérifiaient son exactitude par Taccord entre les résultats des théories fondées sur elle , et des expériences ou des observations directes.

Mais , comme il est une des bases principales de la dynamique 5 nous croyons devoir montrer comment on peut en reconnaître l'exactitude par des expériences de différente nature, et que l'on peut faire pour autant de valeurs différentes que Ton voudra de la force accélératrice constante ce qui n'empêchera pas d'ailleurs de faire par la suite le vérifications dont on se contentait ordinairement.

Rappelons-nous d'abord le principe admis précédem

ment, que le mouvement rectiligne et uniforme commun - À un système de points n'influe pas sur le mouvement relat ^f produit par une force particulière qui agît sur l'un d'eu:

PREMIÈRF. ANNKF. — STATIQUK. 3o l

Nous pourrons, d'après cela, en regardant les points soumis aux expériences comme ayant une vitesse commune constante en grandeur et en direction , supposer la terre immobile quand il s'agira d'étudier les mouvements absolus que produiraient diverses forces sur des corps situés à sa surface 5 car le mouvement relatif que Ton observera ne différera pas du mouvement absolu qui serait produit par ces mêmes forces agissant seules sur les mêmes corps partant de l'état de repos.

Pour étudier la loi suivant laquelle varie le mouvement d'une même masse , sollicitée successivement par diverses forces constantes, et partant toujours de l'état de repos, on peut faire usage d'appareils analogues à la machine d'Atwood, et qui donnent le moyen de faire varier d'une infinité de manières la force appliquée à une même masse, et de mesurer avec une grande précision la vitesse acquise après l'unité de temps. Il sera facile alors de déterminer la loi suivant laquelle cette vitesse varie avec la force qui la produit.

Désignons par M la masse de l'un quelconque des poids égaux, primitivement en équilibre sur la machine, et par m la masse du poids additionnel p. Tous les points du système ayant le même mouvement , des masses égales sont sollicitées par des forces égales; ainsi une masse égale à m ne sera plus sollicitée par la force p^ mais par la force

t ou — ^- — :rz\ et l'on peut choisir le rapport

— de manière que la masse m soit sollicitée par une force

ayant une valeur quelconque comprise entre o et /?. Or, en déterminant les vitesses acquises dans chaque cas après une seconde, comme on peut le faire par des procédés trèsprécis que nous ne pouvons détailler ici , on les trouvera

dans le même rapport que les forces , avec d'autant plus d'approximation que Ton aura plus diminué les résistances étrangères.

On peut même s'assurer que la force appliquée à la masse 2 M est constante pendant le mouvement. Il suffira de suspendre le poids additionnel au moyen d'un ressort qui en fasse partie, ou qui soit compris dans Tune des masses en équilibre. On reconnaîtra qu'il est toujours également tendu pendant le mouvement , et que par conséquent la force avec laquelle la masse 2 M est tirée est constante. Sa valeur indiquée par l'allongement du ressort, étant divisée par — ) donnera la force appliquée à la masse m,

et devra coïncider avec celle que nous avions déjà trouvée, P

savoir

258. On pourrait encore diminuer la pesanteur dans un rapport connu arbitraire , en faisant descendre un corps sur un plan incliné. En effet, si Ton désigne par a l'angle de la verticale avec ce plan , le poids du corps , au lieu d'être p, sera p cos a, et pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à p. On pourra encore déterminer la vitesse acquise après une seconde , et Ton trouvera ces vitesses proportionnelles aux forces , ou du moins cette loi se rapprochera d'autant plus de l'exactitude , que l'on aura diminué davantage les frottements et résistances de toute espèce.

Nous regarderons maintenant ce principe comme démontré , ainsi que les précédents , et l'objet de la mécanique rationnelle sera de déduire de ces premières données, tirées de l'observation de la nature , toutes les lois du mouvement dans les circonstances les plus compliquées. La conformité que l'on trouvera constamment entre les résultats de l'observation directe des phénomènes et ceux que le calcul annonce

PEEMIÈRF. ANNKH. — STATIQUK. 3o3

eu admettant ces principes, consiituera une vérification qui ne laissera aucun doute sur leur exactitude.

Comparaison des forces qui agissent sur des masses

quelconques.

259. Si Ton applique une force constante p h un corps «ayant une masse m, chaque unité de masse est sollicitée

jar la force -• Si l'on conçoit une seconde force constante

p' appliquée à une masse m', l'unité de masse de ce nouveau

corps est sollicitée par la force — ,<

Les mouvements de ces deux corps étant évidemment les mêmes que ceux de chacune de leurs parties, et les vitesses acquises au bout du même temps par des masses égales étant proportionnelles aux forces qui les produisent , si on désigne ces vitesses par i^^ ^^', on aura