Si maintenant on considère un point dont la masse
§oit m , la force qui le sollicite sera mesurée par m — >
puisque le {)oînt qui aurait le même mouvement et une
masse égale à l'unité serait sollicité par la force —, et
que nous avons vu que dans des mouvements identiques les forces sont entre elles comme les masses.
On est convenu d'appeler force motrice celle qui est appliquée à une masse donnée quelconque \ sa mesure est
et Ton appelle force accélératrice celle qui , dans le mouvement que l'on considère , sollicite l'unité de niasse : elle a pour mesure
dv d^x
— ? ou — dt dt
Cette expression , considérée dans le mouvement en luimême, en mesure Y accélération positive ou négative.*
Usage des formules générales du mouvement varié» 267. Ces formules sont
dx dv d^x
dt' "^ '" Jt"^ 'dt^
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. 3ll
OU eiicore , en remettant pour dt sa valeur tirée de la pre-
mière
vdp
Examinons les différentes questions auxquelles elles peuvent donner lieu. •
i^. Supposons que l'on donne x^=¥(t)^ on obtiendra l'expression de la vitesse et de la force par de simples différentiations par rapport à t.
2®. Soit M = F (ï), on aura
dv d.F{t) "^"^ dt'" dt '
on connaîtra donc la force accélératrice.
On connaîtra la position du point à chaque instant en
dx intégrant l'équation — = F (ï), qui donne
xz=fY{t)dt.
La constante relative à cette intégration se déterminera par la position initiale du point.
3^ Soit ç = F(t).
On connaîtra la vitesse par la formule
et l'on déterminera la constante d'après la valeur initiale de V, Soit ainsi ^ =y*(t) 5 on aura la valeur de x au moyen de la formule suivante :
x=zff{t)dt,
et la constante introduite par cette nouvelle intégration dépendra de la position initiale du point.
3l2 COURS DE MliCANlQUE.
4^. Soit i^=F(x)j OU en conclura
— =F(^, d'où r=:|-— -•
la constante se déterminera d'après la position initiale du point ) «t Ton aura ainsi une équatpn .finie entre x et U
La force 9 ou -7- sera égale à F' [x) F (x),
5*^. Soit y = F [x) 5 si Ton remplace y par t— , on aura
vdv
— .= F(x); d*où vch = Y[x)dx,
et, en intégrant,
On parviendrait encore à ce résultat en remplaçant f par
-TV ; on aurait alors dt^ '
Si Ton multiplie les deux membres par 2 —5 il vient
dx (Px „ , ^ dx
et les deux membres de cette équation sont des dérivées, par rapport à t, le premier, de [-r-] > etle second, de 'if F {x) dx] on aura donc
^]=:,f/F(x)dx = ç\
ce qui n'est autre chose que l'équation précédemment obtenue.
PREMIERE ANN^E. — STATIQUE. 3l3
La constante renfermée dans J se détermine par les valeurs initiales de x et v. On connaît ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement, et il reste à trouver une ^uation entre x et t. Désignons 2 y* F (j:) dx par S[x) \ Qous aurons
et la constante sera déterminée par la valeur initiale de x% 6^. Soit enfin y = F (p»), on aura alors
T.=FK d'où ' = Jf(75;
de
la constante se déterminera par la valeur initiale de f^. Si l'on peut résoudre cette dernière équation par rapport
à f^, on aura
dx
v=:/{t)=:—, d»OÙ X = f/{t)dt.
Dans le cas contraire , on remplacera y par — ? et l'on aura
pdu , , ,, ^ r çdv
- = FW. d'où ^ = JF(7y
Si l'on peut effectuer cette intégration, on aura une équa-r tion finie entre ^ et je: ^ et comme on en a déjà une entre t et 1^, l'élimination de u en fera connaître une autre en X et t.
Telles sont les différentes questions auxquelles peuvent donner lieu les équations du mouvement rectiligne varié. Leur solution dépend toujours ou de différentiations , ou d'intégrations du genre des quadratures. Nous allons en faire l'application à quelques exemples.
3l4 COUKS DB MllCANIQUE.
Mouvement d'un point matériel pesant dans un milieu
résistant.
268. La théorie admise sur la résistance des milieux est encore assez imparfaite ; mais ici nous regarderons comme exacts les résultats approchés, auxquels des expériences multipliées ont conduit sur cette matière.
Ainsi, nous supposerons que cette résistance est une force normale aux surfaces en chacun de leurs points, proportionnelle au carré de la vitesse relative de ce jA>int et du milieu, estimé dans le sens de la normale, ainsi qu'à la densité du fluide. Il suit de là que la résistance exercée sur une sphère en mouvement est directement opposée au mouvement de son centre , et proportionnelle au carré de son rayon. Si on la divise par la masse de la sphère , on aura la force qui en résulte pour l'unité de masse.
Soient p la densité du fluide , que nous supposerons en repos , D celle de la sphère , r son rayon , i^ sa vitesse \ la
résistance appliquée à Tunité de masse sera 7 -^» 7 désignant un coefficient constant. Pour plus de commodité dans nos calculs , nous rapporterons cette force à la pesanteur, et nous désignerons par K la vitesse qu'il faudrait supposer à la sphère donnée , pour que la résistance qu'elle (éprouve devint égale à son poids , c'est-à-dire pour que Fou
eût y^— = g. Alors la résistance appliquée à Ihmité de
masse sera —-^ *, et c'est sous cette forme , où l'homogénéité
est mise en évidence , que nous l'emploierons dans les calculs qui vont suivre.
269. Moui^ement descendant, — Nous commencerons par le cas où le point matériel se meut dans le sens delà pesanteur. Soient A [fig* 58) le point de départ, et a: la
PaSMiiEE >N19KÈ. — STATIQUX. 3l5
clistance du mobile à ce point après un temps quelconque f , au bout duquel il a acquis la vitesse p*. En désignant par 9 la force accélératrice, on aura
d'où
de = ,
et, intégrant,
iK K + P
^ous n'ajouterons pas de constante , parce que nous suppo sons que la vitesse soit nulle au point de départ. On tirera de là
d'où
& ^ dt
et , par suite ,
X devant être nul en même que f , on doit avoir
C=— — 1.2, ë d'où résulte
Cj
3l6 COURS DE MECANIQUE.
On a donc ain&i à chaque instant la position et la vitesse du mobile; ce qui forme la solution (5omplète de la question. On auiait pu exprimer x en fonction de u^ en remplaçant®
vdv . . j ^
par —7 ce qui aurait donne
dx
S = éMK---).
d'où
K' r vclv K}
et comme on a à la fois v» = o , j: = o , il en résultera
et , par suite ,
La valeur de ^ en fonction de t montre qu'elle est toujours plus petite que K, mais qu'elle tend vers cette limite
à mesure que t augmente , parce que l'exponentielle e tend vers zéro. Le mouvement lend donc à devenir uniforme , et la vitesse a pour limite celle qui rend la force accélératrice égale à la force retardatrice. Cet état n'a jamais lieu rigoureusement ; mais le mobile s'en approche
indéfiniment, et d'autant plus rapidement , que e décroît plus vit^, ou que K est plus petit. Or, nous avons trouvé
-v/fv/7^
donc le mouvement devient sensiblement uniforme , d'autant plus promptement et avec unç vitesse d'autant moindre,
que le milieu est plus dense , et que le mobile a uu moindre rayon et une moindre densité \ ce qui est confirmé par Tèxpérîence.
270. Si la densité du milieu est supposée nulle , le mobile n'est plus soumis qu'à Faction de la pesanteur, la quantité K devient infinie , et l'on trouve , en supposant qu'on ait à la fois f = o,p'=o,a: = o,
dv ., ^ dx
, = g = j^, dou "=r=^'
et , par suite ,
X = 2 — , et sr z=z 2 gx.
Ces diverses formules, déjà obtenues précédemment, peuvent se déduire des précédentes en y' faisant K infini. En effet , si on développe les exponentielles, l'équation (i)
donne, en supposant —=0, i^= gf^ Téquation (3),
qu'on peut mettre sous la forme
donne , en développant le logarithme ,
supprimant le facteur commun K' et faisant ensuite K infini , on obtient
a: = -*-j ou ç^=i2gx.
271. Moui^ement ascendant, — Soit A (Jig* Sp) le point d'où part le mobile : prenons toujours la direction AX de la pesanteur pour le sens des x positifs , et soit — a la vi-
3o4 COURS I)F. MECANIQUE.
masse du corps auquel elles sont appliquées par la 'vîtes quelles lui font acquérir pendant Vunilé de temps ^ ^^j entendant que Ton a pris pour unité de force celle (j- ^y fait acquérir à Tunité de masse, dans Tunité de temps, 11^7^ vitesse égale à Tunité de longueur.
260. Si Ton voulait comparer les intensités de deux forces p-, p'', qui dans des temps différents f, t' auraient fait acquérir des vitesses p», t^' aux masses m , m', il faudrait ramener les temps à être égaux, par exemple à l'unité, avant d'y appliquer la proposition précédente. Or, la
masse m aurait acquis la vitesse - dans le temps f , et la
masse m\ la vitesse -; on aura , par conséquent,
mv m' v'
et si l'on suppose que p\ /«', v\ t' soient tous égaux i
l'unité, on aura ■
mv
l'unité de force étant la même que dans le cas précédent.
261. On est convenu d'appeler quaiitité de moui^emenl d*un corps le produit de sa masse par sa vitesse. On peut donc dire qu une force constante quelconque est mesurée par la quantité de mouvement quelle produit dans Vuniié de temps.
262. Unités de force et de masse. — Jusqu'ici nous n'avons fixé que les unités de longueur et de temps, qui sont respectivement le mètre et la seconde. Nous avons laissé indéterminées celles qui se rapportent aux forces et aux masses*, seulement nous les avons liées parla condition que l'unité de force appliquée à l'unité de masse pendant l'unité de temps lui fit acquérir une vitesse égale à Tunité^
PaEMlRRB ANN^R. — STATIQUE. 3o5
Nous conviendrons maintenant de prendre pour unité de force le kilogramme, c'est-à-dire le poids d'un décimètrecube d^eau distillée prise à la température du maximum de densité, et considéré à l'Observatoire de Paris. Voyons ce que sera, d'après cela, l'unité de masse, c'est-à-dire la masse qui , sollicitée pendant une seconde par une force constante égale au poids de i kilogramme, acquerrait une vitesse de I mètre par seconde.
Or, la masse de i décimètre cube d'eau sollicitée par une force égale à i kilogramme, c'est-à-dire par son poids à l'Observatoire , acquiert la vitesse g dans une seconde ; donc la masse d'un nombre g de décimètres cubes d'eau, sollicitée par la même force de i kilogramme, acquerrait une vitesse égale à l'unité : elle est donc l'unité de masse.
Ainsi, en prenant la seconde pour unité de temps, le mètre pour unité de longueur, et le kilogramme pour unité de force, la masse prise pour unité doit être celle de 9,80896 décimètres cubes d'eau distillée prise à la tempe* rature de 4 degrés.
Les masses pourront toujours être remplacées par des poids \ ce qui est plus commode , puisque ce sont les poids qui se mesurent immédiatement avec les instruments. On observera pour cela que si P désigne le poids du corps dont la masse est m, on aura P = mg^ puisque g unités de force expriment le poids de l'unité de masse; on en tire
m = -; mais il ne faudra pas oublier que tout se rapporte
au système d'unités que nous venons d'établir.
263. Densité. Poids spécifique.' — On appelle densité d'une substance bomogène la masse qu'elle renferme sous l'unité de volume 5 et poids spécifique le poids de cette masse dont le volume est l'unité. Il résulte de là, que si l'on désigne par D la densité d'une substance, son poids spécifique sera Dg^; et si l'on considère une portion de cette I. 20
3aO COURS DE MÉCANIQUE.
d'où
K OU , en posant e = 2 ,
Celte équation étant réciproque donnera à la fois e et e ; on aura, en prenant la plus grande racine,
et le temps total écoulé entre le départ et le retour aur pour valeur
O + 0' = -~(arctangg-4.1. 1^^ j.
272. Autre loi de résistance. — Supposons maintenau la résistance proportionnelle à la vitesse, et représentée pa
g: — 5 K étant la vitesse qui rendrait la résistance égale a
poids du corps que Ton considère •, si le mouvement est dan le sens de la pesanteur, on aura
d'où
Si la vitesse initiale est nulle, on aura
PREMIÈRE ANWÉE. STATIQUE. 321
p suite ,
ira donc
ime on a a: = o pour t = o, on aura
ir conséquent ^
valeur de t^ apprend que la vitesse tend indéfiniment éduire à K , c'est-à-dire à celle pour laquelle la résisest égale au poids du mobile. Quant à la valeur de x*^ roit indéfiniment.
î. Dans le cas où le mobile aurait une vitesse inia , et ne serait pas soumis à l'action de la pesanteur, à la résistance seule du milieu, on aurait
V dv ^ IL dv K ,
^IL dt ^ V g
D^me on a i^ = a pour « = o, il eu résulte C= — 1. «, et /= 1.-5
022 COURS Dt MiCAIflQUC.
d'où
de
On tire de là
^ = « le ^dt= — —e ^4-C, el comme on a en même temps f = o, jî: = o, on aurar
> et, par suite, x = — A i — e "^ \:
On voit que la vitesse a pour limite o, à mesure que le
temps augmente indéfiniment •, et x a pour limite — : de
sorte que le point tend indéfiniment vers une position déterminée, qu'il ne peut jamais atteindre.
274. Mous^ement vertical d'un point dans le vide, — Supposons un point matériel placé en A [fig» 60) au-dessus de la surface de la terre , et" attiré vers son centre O en raison inverse du carré de la distance. Prenons- le point A pour origine des x que nous regarderons comme positif dans le sens de la pesanteur ; et désignons par g cette force appliquée à Tunité de masse , placée à la surface de la terre, à la distance r du centre. On aura, d'après l'hypothèse,
(f = — 5 — en posant OA = a. L'équation k intégrer sera-
donc
dt' {a — xf Elle devient, en la multipliant par 2 Ac,
(t-x dx
