dx ■= 2 ^r
dn *' [a—xY
PREMIÈRE AITNÉE. STATIQUE. S^S
Lc premier membre est la différentielle de ( -y- j correspondante à Taccroissement dt^ et le second est celle de
— - — correspondante à Faccroissement dx relatif à dt. a — jc *
Donc, les intégrales ne peuvent différer que d'une constante, et Ton aura
dt ] « — X
Nous supposerons la vitesse nulle au point A , d'où résultera
et, par suite,
Cherchons maintenant x en fonction de t. Or, on tire de cette équation, en observant que dx et dt sont de même signe,
dx fa la — X dx i a ^ — ^
r Y ^g y X r y 2g \ax — x^
d'où
^ r \ ig J sl^x — x^ r \ ^8 J sfâx — x^
r "Ldx
®' 5 enfin ,
/ -* \ \ ' I a l I a a — ix\
^ J t=:i'-\^/ — 1 \ax — x^ -\ — arc cos h
324 COURS i)K mé«am<juf;.
Comme ou doll avoir x = o pour it = o, la constante sera nulle 5 pourvu qu'on'prenne zéro pour Tare dont le cosinus est l'unité. Le problème est donc complètement résolu , puisque , pour une valeur quelconque de x^ on peut déterminer l'instant où le mobile y passera, et la vitesse qu'il aura. Réciproquement, pour une valeur donnée de ^, on connaîtrait la valeur de x par la résolution approchée d'une équation numérique, ou par la construction de la courbe représentée par Féqualion (2), dans laquelle t représenterait l'ordonnée.
Ces formules ne s'appliquent qu'autant que le point ne pénètre pas dans l'intérieur de la terre; elles ne s'étendront donc que jusqu'à x = a — r. Au delà de ce point, la force devient proportionnelle à la distance au centre, et le inou-* vement est représenté par des équations différentes qu nous allons déterminer.
275. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que 1^ mobile parte du point A (/ig* 61 ) de la surface de la tertio avec' une vitesse nulle*, nous prendrons l'origine des x au centre, à ^use de la symétrie par rapport à ce point, et nous regarderons les x comme positifs dans le sens 0^4. L'expression de la force sera
"? = " ^7~"^' Multipliant par 2dx et intégrant, il vient
et comme on a i^= o pour x = /', on aura C = gr, d'où
cLv\' s
Il reste à trouver une équation entre x et t. Or, celle-ci
donne
dt
I y. dX
nous prenons le signe — pour la racine carrée , parce que dx et dt sont de signes contraires, tant que .le mouyement a lieu en sens contraire des x positifs. On obtient, eu intégrant,
arc ces - • r
La constante est nulle, puisque l'on a en même teraps e=: G, xz=i r. Cette équation., résolue par rapport à x, devient
(4) ^ = rcos.^y/^.
La valeur de i>* raonti-e que la vitesse est maximum quand le point passe au centre, et qu'elle redevient nulle pour a: = — r, c'est-à-dire à l'extrémité opposée du diamètre. Le point se trouve alors dans les mêmes circonstances 5 il revient donc vers sa première position par un mouvement identique au premier, et l'on aura un nombre indéfini d'oscillations semblables. La vitesse ne dépendant que de x^^ est la même pour deux positions situées à égale distance du centre.
On voit, par l'équation entre x et f , que le point arrive
au centre après un temps égal à -- \/ -5 que pour des époques également distantes de cet instant, les distances au centre sont égales, et que le point arrive à Textrémité du
diamètre après un temps égal à t: t /-, et qui exprime par
Conséquent la durée de l'oscillation.
Les calculs qui précèdent ne s'appliquent pas seulement
326 COURS DR MKG4iriQUE.
à la question particulière qui nous y a conduits, mais à toutes celles où l'on a à considérer une force proportionnelle à la distance à un point fixe; ce qui se rencontre souvent dans l'étude de la Physique.
276. Les formules précédentes se réduisent sensiblement & celles du mouvement uniformément accéléré , quand on sujppose Fespace parcouru très-petit par rapport à la dis-» tance au centre; ce qui revient à^supposer la force sensiblement constante.
Ainsi r équation (i) peut se mettre sous la formç
V^ Z=z7.gX
à* — ax Soit
h étant très-petit par rapport à r et représentant l'élévation du point A au-dessus de la surface de la terre;
-; se réduira à l'unité, en négligeant les quantités de
Tordre de -, et l'on aura, à ce degré d'approximation ,
Passons à la formule (2). On aura
I /- / : «/-/ ^Xî asjx I IX \
- Vfl VûTX' — jc' = - y' j: I c=— 2— I I .. . I ;
r ^ ^ r^\ a I r \ la )
remplaçant a par r-h A , et négligeant les termes où entrent
Jes rapports -9 -? il restera ^x] et la première partie de t
sera
De môme, en développant arc cos , ou bien
PREMIKRE ANNÉE. — STATIQUE. 827
arc sin , on trouvera que ia seconde partie peut
être réduite à i/ — , et T
on aura
9 ou X z=z - — •
Dans la seconde question , les espaces parcourus sont /• — x, et si on les suppose très-petits par rapport à r, la formule (3), qui peut se mettre sous la foimc
i^' — S{r — x)——, se réduit sensiblement à
la formule (4) développée devient
Si l'on néglige les termes qui renferment /' en déuomina^ leur, elle se réduit à
277. Remarque relali\^e aux solutions singulières. — L'équation différenliellc du mouvement d'un point, jointe aux circonstances initiales, détermine complètement le mouvement de ce point pendant un temps indéfini. Mais quand on intègre cette équation , il faut avoir soin de n'omettre aucune de ses solutions, et tenir compte aussi bien de celles qu'on appelle singulières, que de celle qu'on désigae sous le nom d'intégrale générale. Le problème suivant donnera un exemple d'un mouvement qui est rcpré-
3z8 COUES DE VÉCANIQOR.
senlé jusqu'à une certaine époque par Tintégrale générale ^ et depuis cette époque , par l'întégrale singulière.
Supposons un point en mouvement dans un fluide dont la résistance soit proportionnelle à la puissance m de la vitesse, m étant compris entre o et i. Il part de l'origine des X avec une vitesse a dans le sens des x positifs , et n'est soumis à aucune autre force que la résistance du milieu. L'équation de son mouvement sera
dv
/r désignant une coi^stante connue. On tire de cette équation
et, par suite,
{2) u'-'" = a'-"' — (i— m) At,
Observons qîie la puissance fractionnaire ^^" ne comporte dails aucun cas le double signe dans l'équation diflérentielle, et qu'il est entendu qu'elle sera toujours considérée comme implicitement positive 5 sans quoi l'équation (i) ne représenterait pas les conditions de la question mécanique. Il faut donc, dans tout le reste du calcul, considérer l'exposant m comme ne donnant qu'une valeur positive à la puissance de ^^ où il entrera ; et , lorsqu'une équation lui donnera une valeur négative, elle ne représentera pas le mouvement du point.
Nous avons dit qu'il fallait considérer toutes les solutions de l'équation (i); il faut donc tenir compte des solutions singulières , qui se réduisent à
La solution complète du problème proposé est donc donnée par les équations (2) et (3) , et il ne s'agit plus que de
PBEMIÈRE ANKKE. -*- STATIQUE. 829
reconnaître laquelle on doit considérer à un instant donne quelconque.
Or, il est évident qu'au moment du départ, la vitesse étant a, et ne pouvant être détruite que dans un temps fini, on ne devra pas faire usage de l'équation (3) dans le commencement du mouvement. On devra donc prendre l'équation (2). Mais on n'en devra faire usage que jusqu'à l'époque pour laquelle on aura
(i — m) kt = «•-*", ou e
parce qu'au delà on aurait une valeur négative pour i^*""'", ce que nous avons vu ne pouvoir convenir à la question mécanique proposée. Jusqu'à cette valeur de t^ l'équation (3) ne peut convenir, mais elle est satisfaite à cette époque, et elle devra l'être indéfiniment ensuite, puisque l'équation {2) ne peut l'être, et que le problème a certainement une solution , qui ne peut être représentée que par l'une ou l'autre de ces deux équations.
rt'-™
H suit de là que depuis ^ = o jusqu'à t = - — ■. —^ on
aura
et depuis cette dernière valeur de t jusqu'à f = 00 , on aura i/ = G, et le point restera immobile dans la position où il
sera arrivé au bout d'un temps égal à
(1 —m)k Nous pouvons maintenant intégrer l'équation (2) après
(Ijc
avoir remplacé v par — > et nous savons jusqu'à quelle va-
leur de t elle donnera la valeur de x qui convient à la c|uestion ; de sorte qu'il n'y aura plus aucune discussion à
33o COURS DF. MECA.NIQUK.
faire. On aura aijisi
J = [«— -(i ~/iî)Xr]^-'", et par suite, eu exprimant que pour t = ô on a a? = o,
[rtt~m^I ;y;)^^-H
— W» fl*""
Le point où ^ s'arrêtera le mobile correspondant à
rt*"'"= (i — m)kt aura pour abscisse , — r-.* U était
d'ailleurs bien facile de reconnaître à priori que si, à une certaine époque, la vitesse du point devenait nulle ^ il resterait constamment dans la position où il se trouverait alors. Eu elfet, un point placé sans vitesse dans un milieu, résistant suivant une fonction quelconque de la vitesse, restera indéfiniment dans la position où on l'aura mis, puisque aucune, force ne lui sera appliquée 5 il n'aura aucune tendance à se mouvoir d'aucun côté, et restera perpétuellement en repos.
