COURS DF. MÉCANIQUE
OU de 1^*, u désignant toujours la vitesse; il en résulte donc que la vitesse est constante. Ainsi, en désignant par i^o ^ valeur initiale , on aura
dx^ dr' dz"
dt^ dt^ dt\
Il suffira donc de connaître deux autres équations pour que le mouvement soit déterminé. Nous n'en offrirons ici aucun exemple ; nous nous étions proposé seulement d^établir la proposition générale suivante :
Lorsque la force qui sollicite un point matériel est toujours normale à sa trajectoire, le moui^ement de ce point est uniforme.
On se trouve dans les conditions de cette question quand on considère un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe qui ne produit aucun frottement, en admettant qu'il n'y ait aucune force autre que la résistance de la courbe ou de la surface : le mobile est alors sollicité par une force constamment normale à sa trajectoire , et son mouvement sera par conséquent uniforme.
Remarque. — On aurait pu parvenir aux conséquences précédentes, relativement à ces deux dernières cpiestions, au moyen des formules qui expriment la composante tangentielle et la composante normale de la force appliquée au mobile.
En effet, si cette force est toujours tangente à la trajectoire, la composante normale est toujours nulle; et l'on a, en chaque point ,
- = G , OU R :z= 00 .
Donc la ligne est droite , puisque son rayon de courbure est infini en chaque point.
Et, si la résultante est toujours normale, la composante
PBEMliRE ANNÏE. — STATIQUE. 34^
tangentielle -ry est toujours nulle; et, par conséquent,
-^) ou la vitesse, a une valeur constante. de
287. Propriété du mous^ement produit par une force qui passe par un point fixe. — Lorsqu'un point matériel est sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe que Ton prendra, pour plus de simplicité , comme origine des coordonnées, les cosinus des angles formés par la direction de cette force avec les axes doivent être proportionnels aux coordonnées x, y^ z du point; et, comme
ils sont proportionnels aux composantes -— 5 —^ 9 •— - de
la force accélératrice, on aura
d"^ X d^ Y d^ z IF ~dF IF
ou 1
on
tire
di^
d'y dt^
' dt^ dt^ ' dt"" -^ df '
et , en intégrant par rapport à 1^ ,
ir,^ y±^^±-r 2^^^^-c' x^^Y—-a'
C, C, C étant des constantes arbitraires.
Si l'on multiplie la première de ces équations par x , la seconde par j-, la troisième par z , et qu'où les ajoute , on trouvera l'équation suivante entre les coordonnées du point à un instant quelconque :
Le point ne sort donc pas d'un plan passant par l'origine,
comme oa pouvait le reconnaîlre à priori, en obserYant qu'aucune cause ne tend. à faire sortir le point du plan mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.
Pour interpréter les équations (a) , soient r la projection du rayon vecteur mené de l'origine au point mobile, sur le plan XY, et 6 l'angle qu'elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs, de sorte qu'en se plaçant dans l'axe des z positifs, on voit s'exécuter de gauche à droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur comme croissant dans ce même sens ^ et il en sera de même pour chacun des autres axes , relativement aux deux autres plans.
Cela posé, on aura l'équation générale
dQ dy dx
tang 0 = - , d*où
X ces' Ô X
et, par conséquent,
dy dx dQ dY
dt ^ dt dt dt
en désignant par X'' l'aire décrite par la projection r du rayon vecteur du mobile.
Si l'on désigne de même par X' et X les aires décrites par les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX et ZY, les équations ( 2 ) donneront
rn__c ^'c' dY ç.\
dt ~~ 1 dt 2 dt 2 '
d'où
en supposant que les aires commencent avec le temps t.
Ces équations montrent que les aires décrites , à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur du mobile, croissent proportionnellement au temps. Et comme le mouvement du point s'eflFectue dans un plan , il s'ensuit que les aires décrites par 1« rayon vecteur du mobile dans ce plan, sont aussi proportionnelles au temps. La valeur de ces aires peut s'exprimer facilement en observant que toute aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On aura donc , pour l'expression de ces aires ,
Réciproquement, si les aires décrites par les projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps , la direction de la force qui sollicite le mobile, passe constamment par l'origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suite, les équations (2) qui, differentiées , donneront les équations (i) -, or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force , et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point (x, ^, z) sont proportionnels, et que, par conséquent , ces deux droites se confondent.
C'est dans ces deux propositions réciproques que consiste le principe des aires pour un point matériel.
288. Si le point était sollicité par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations (i) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour axe des z la droite qui passe par les deux centres. En eflfet , la résultante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment Taxe des ^, ses composantes parallèles aux axes des x et des y sont proportionnelles à ces deux coordonnées-, d'où résulte l'équation
348 GOUnS DE MÉCANIQUE.
et, par conséquent, le principe des aires a lieu, dans ce cas y pour tout plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres y le centre des aires étant pris sur cette droite.
Il est évident qu'il en serait de même si , au lieu de deux centres, on en avait un nombre quelconque situé sur une même droite.
289. Mous^ement produit par une force perpendiculaire au rayon vecteur, — Considérons encore le cas où la force serait perpendiculaire à une ligne passant par un point fixe. C'est ce qui aura lieu par exemple pour un point assujetti à rester sur une droite qui tourne suivant une loi quelconque autour d'un de se6 points et dont la pression normale est la seule force qui sollicite le point.
La condition donnée sera alors exprimée par l'équation
Faisons
'"Hp-^^liF-^'-dF^"'
x^ -h y"^ -{- z* = r% nous aurons, par la différentiation ,
dx dy dz dr
X — — hr 1-3-- = /'— -•
dt ^ dt dt dt
Difïérentiant de nouveau, il vient
d^x fdxY d'y (dyY d' z
d^r (drV
équation qui , en vertu de la première, se réduit à
d'r /dry^/ds''' "'lîF'^ [dil '^ [dt
Nommant w Tatiglé décrit dans l'espace par le rayon vecteur, on saît qu'on aura
Reportant cette valeur de ds^ dans Téquation précédente, elle devient
'dF~~ '^\dt)
Cette équation a lieu quelle que soit la directrice de la surface conique décrite par le rayon vecteur.
Si l'on donnait la loi du mouvement angulaire du rayon vecteur par une équation entre co et f , il serait possible, en combinant celte équation avec la précédente , de déterminer à chaque instant la grandeur du rayon vecteur et l'angle qu'il a décrit. Cette grandeur du rayon vecteur ne dépendant pas de la nature de la surface conique décrite, il s'ensuit que si Ton développe celle-ci sur un plan , la courbe décrite par le point mobile sera la même après le développement, quelle que soit la directrice du cône, et sera, par conséquent , la courbe même que Ion aurait obtenue en faisant mouvoir le rayon vecteur dans un plan, en observant la même loi entre (ùett.
Mouvement curviligne des projectiles pesants.
290. Nous allons appliquer, comme dernier exemple, les équations générales du mouvement d'un point libre au cas des projectiles pesants lancés dans le vide ou dans un milieu résistant.
Considérons d'abord un point matériel pesant qui parte d'un point A (fig» 63) avec là vitesse a dans une direction AB. Prenons pour axe des y la verticale menée par le point A et en sens contraire de la pesanteur, et pour axe
35o COURS DE MÉCANIQUE.
des X une perpendiculaire à cette droite dans le plan vertical qui contient la direction AB. Le mobile ne sortira pas de ce plan , et sa position sera déterminée par les deux coordonnées X, y. Les équations générales de ce mouvement sont
on en déduit
dx dr
Or, pour ^ = o, les composantes de la vitesse sont
a ces a y a sin a ,
a étant Tangle BAX. Donc
c z= a ces a , c, = a sin a ,
etr
on a
dx dy
-— = a cos a, -r- = — fff -f- a sin a .
dl ^ dt ^
Intégrant encore, il vient
X ■=. at cos a , y =■ — 1- <ï^ sm «.
Nous n'ajoutons pas de constantes parce que, pour ^ = o, on doit avoir j: = o et j^ = o.
Or on aura l'équation de la trajectoire en éliminant t entre ces deux équations *, on trouve ainsi
r = X tanff a -^ — — - a:',
^ la} cos' a
équation qui représente une parabole dont Taxe est parallèle à Taxe des y, et, par conséquent, vertical, et dont la tangente à Torigine est la direction de la vitesse initiale.
t>REMlèRE ANNÉE. STATIQUE. 35 1
Les coordonnées h^ k de son sommet ont pour valeurs
a^ sin a ces a , fl' sin' a
La directrice a pour équation
fl'
elle est à une distance de A égale à la hauteur à laquelle le
corps s'élèverait s'il était lancé verticalement avec la même
vitesse a, .
Si Ton fait y =^ o dans Féquation de la trajectoire, on
trouve
2 a^ sin a ces a
C'est l'expression de la distance AC , on la nomme l'amplitiide du jet; elle est la plus grande possible quand
291 . Si le corps était lancé avec la même vitesse a dans des directions différentes, on aurait différentes paraboles qui auraient toutes la même directrice. Le lieu de leurs sommets s'obtiendrait en éliminant a entre les équations qui déterminent A et A; on trouve ainsi
AA^-hh^ X^ = o ,
équation d'une ellipse dont le petit axe est égal à — ? dirigé
suivant l'axe des j, et a Tune de ses extrémités à l'origine;
l'autre est égal à — -, il est double du premier.
292. On aura la courbe enveloppe de toutes les paraboles correspondantes aux différentes valeurs de a , en éliminant cet angle entre l'équation générale de ces lignes et
352 ' COURS DE MÉCAKIQUE.
sa dérivée par rapport à a, qui donne tanga==: — ? On trouvera ainsi, pour Téquation de la courbe enveloppe,
2g 2.a- ' OU, en désignant par h la hauteur due à la vitesse «,
La courbe cherchée est donc une parabole ayant pour axe Taxe des j^, et son sommet du côté desj^ positifs à une distance h de l'origine. Elle coupe Taxe des x en deux points distants de Torigine d'une quantité égale à 2/2.
293. Si Ton veut déterminer Tinclinaison a de manière à ce que le mobile , partant avec une vitesse a • passe par un point dont les coordonnées soient x', y\ il faudra résoudre, par rapport à a , Téquation
Y = X tant' a
On en tirera
fl'± Jfl* — 7,a' gf — g^ x'^ tang« = -^
Il y a donc deux inclinaisons qui satisfont à l'équation, si
Ton a
une seide si
et aucune si
rt* < la^gy -\' g^x'K Or l'équation
fl* = 2 «' gx' + g^ x'^
exprime que le point donné est situé sur la parabole enveloppe déterminée précédemment 5 et, par conséquent, le
PREMIÈRE AWNKE. — STATIQUE. 353
problème est impossible si le point donné est en dehors de cette courbe, comme il était facile de le prévoir^ il aura deux solutions si le point est dans l'intérieur, et une seule s'il est sur l'enveloppe. Dans ce dernier cas, il est clair que le mobile doit être, lancé de manière à décrire la parabole qui touche l'enveloppe en ce point, et c'est ce que l'on reconnaît facilement d'après la valeur de tang a, qui se
fl'
réduit à — ;•
294. Mouvement dans Pair. — Là trajectoire du mobile dans un milieu résistant sera toujours comprise dans le plan vertical mené par la direction de la vitesse initiale. Les forces qui solliciteront le mobile à chaque instant seront la pesanteur, et la résistance du milieu , que nous sup-
poserons encore représentée par ^î et qiii sera dirigée
suivant la tangente, en sens contraire du mouvement. La composante horizontale de cette force sera donc toujours dirigée dans le sens des x négatifs ; sa composante verticale sera dans le sens de la pesanteur, ou des y négatifs, quand le mobile montera ^ et dans le sens contraire quand il descendra.
Nous avons vu que Taccéléralion du mouvement de la projection d*un point sur une droite quelconque était due à la force estimée parallèlement à cette droite. Ordinairement on considère les projections de ce point sur des droites rectangulaires ^ mais on peut les prendre obliques s'il y a quelque avantage, parce que le mouvement du point est complètement déterminé quand on connaît celui de ses projections orthogonales sur trois droites formant un angle solide quelconque, ou simplement sur deux droites si la trajectoire est plane.
Dans la question actuelle, nous supposerons, avec M. Coriolis, qu'à un instant quelconque la force soil estimée sur-
cessivemeiil suivant une parallèle à Taxe des x et suivant la normale à la tjraje0l6ire. Ces deux forces ne seront pas les composantes de la première, et la direction de la seconde est variable 5 mais elles donneront l'accélération dans le sens de la normale et de Taxe des a: , et il en résultera deux équations du mouvement. Elles pourront remplacer celles que l'on obtiendrait en projetant la résultante sur les deux axes, auquel cas ou aurait bien les deux composantes de cette force-, mais elles scn^nt beaucoup plus simples, parce que la résistance et la pesanteur n'entreront pas à la fois dans la même équation , vu que les deux directions que nous avons choisies sont perpendiculaires respectivement aux directions de ces deux forces.
Si l'on désigne par k* la vitesse, et par a l'angle que fait sa direction avec l'axe des j:, et que l'on observe que
'dF'^ 7t '
lés forces estimées parallèlement à Taxe des x donneront l'équation
/ ^ ^.pcosa £ ,
(l) ; = ^P'COSa.
^ ' dt ' k^
Les forces projetées sur la normale, dirigée du point que Ton considère vers le centre de courbure, se réduisent à g cos (x\ et la composante, dans cette direction, a pour
expression générale, -, /d étant le rayon de courbure. D'ail-
leurs, cla. étant négatif, on a
ds
on aura donc cette seconde équation
doL
( 2) g cosa == — f^'
Ts'
PRF.MIKRF. ANNKE. — STATIQUE. 355
OU
(3) g^cosar= — P~,
ou encore
dsda
Les équations (i) et (3) sont celles dont M. Cauchy faisait usage dans son cours. Mais il obtenait la seconde par une élimination entre les équations provenant des forces estimées parallèlement aux deux axes. La manière dont nous y sommes parvenus, et qui est due à M. Coriolis, est plus directe et plus simple 5 elle est fondée sur cette considération, souvent utile, que Ton peut estimer les forces suivant des directions variables, et que l'on doit choisir celles qui conduisent aux calculs les plus simples.
L'équation (i) peut se mettre sous la forme
d.vcosa g . g .
(^cosa A^ a'
et donne, en intégrant,
