a COS 0 zr: C
et, par suite,
V COS a gs
a COS 0 k^
ou
^ — /.: (Ix
V ces 0L^=: a COS 0 . ^ = ^7- ■
dt
La valeur de v tirée de celte équation, or reporter dans !'<;-
qualion (2), donne
U) -^= ^—e'^ds.
^^'' cos^ a a^ cos' ô
Cette équation ne renfermant que a et 5 , est celle de la trajectoire» Si pour l'intégrer on pose
taDga=/?, elle devient
(5) ap^x+p^ = ^-^y ds.
à* CCS* Ô d'où l'on tire
fl» ces* ô
(6) p sji 4-/^' -h 1. (/^ + V^i -hp') = - ,,^,,.g *' +7,
y étant une constante arbitraire que Ton déterminera eu faisant 5 == o , p = tang 0 -, ce qui donne ,
7 = tango v'n- tang' Ô -4- 1. (tang G -4- y^i -h tang'G) -f- -^r^^^\
mais, pour plus de simplicité^ nous conserverons y dans les formules.
Cette équation fait connaître s quand p est donné ^ mais elle est peu commode pour la construction de la courbe, e nous allons introduire j: et y au lieu de s. Or on a
dx = 5
sfi+p'
et l'équation (5) donne, par suite,
igi
a} ces' 0 — rr , ax •=: — e ** dp.
Si l'on élimine l'exponentielle au moyen de l'équaûon (S^j
PRBMliUR ANNÉE. — STATIQUK. 357
îl vient
H) dx = — ' ■ 7 , . 9
et comme dy = pdx^ on aura
Si Ton intègre par approximation les seconds membres de ces deux équations, on aura a: et j^ pour chaque valeur de p ^ ce qui donnera autant de points que Ton voudra de U trajectoire.
Pour savoir à quel instant le mobile passera par un quelconque de ces points, il faut connaître t en fonction -de p.
Or la seconde équation ( 3 ) donne
dt=yj-
dsdtx g ces a
ou, en remettant la valeur de ds tirée de l'équation (4)? et observant que dt et doc sont de signes contraires,
gs gs
a ces 0 ~" À* rfa a ces 0 ~ i« , ^/ = e = e '^ dp,
g CCS' OL g
Donc enfin , en éliminant l'exponentielle au moyen de l'équation (6) ,
^ [-P v^ï ~^p' - 1. (/> 4- sji 4-/^0 -f- lY
Ainsi le problème est ramené à intégrer par approximation des fonctions données d'une seule variable.
La vitesse du mobile peut s'exprimer exactement en
358 r.OL'&S UK MLCAXIQCC.
Ibnciion do p. Si l'an ajoute les valeurs de dx^ et dy^^ puis qu on les divise par celle de A *, on aura
'io> i
Le sommet de la courbe s'obtiendra en faisant p = o\ mais la courbe ne sera plus symétrique par rapport à la verticale menée par ce point. On aura l'amplitude du jet en faisant y =.o\ elle sera moindre que dans le cas précédent, et son maximum , relativement à S , correspondra à nn angle plus petit que 4^ degrés.
295. La branche descendante de la trajectoire est indéfinie et a une asymptote verticale , comme nous allons le démontrer.
On peut d'abord conclure de Téquation (9) que p augmente indéfiniment. Car le dénominateur du second membre est composé de termes positifs, puisque p est n^atif; il ne devient donc nul pour aucune valeur de p, et l'intégrale ne pourrait croître indéfiniment si p était limité; d^où il résulterait que le temps aurait une limite, ce qui est absurde. Ainsi . la tangente à la trajectoire tend indéfiniment à devenir verticale.
Si maintenant on pose p=^ — q pour expliciter le signe, et qu'on suppose que q soit déjà devenu très-grand, on
pourra remplacer \i-^q* par q. et négliger y et \.p pai rapport à ^, ce qui donnera
/• dtj k' dq
int^rant à partir d un point avant pour coordoimées ; ^,5 il vient
PAEHlÊaE ANNKE. — STATIQUE. SSq
f/i désignant là valeur de q au point dont les coordonnées sont a?!, j^i.
La seconde de ces équations montre que la valenr négative àe y augmente sans limite , et que, par conséquent, le point descend indéfiniment. La première apprend que x a
pour limite Xy\ ? et que, par conséquent, la courbe a
pour asymptote la verticale correspondante à cette valeur de X.
Mais comme on a négligé certains termes, cette limite nest pas précisément l'abscisse de l'asymptote 5 et, pour Tavoir, il faudrait intégrer la valeur de dx jusqu'à p = qo , Quant à la valeur finale de la vitesse, Téquation (10), dans laquelle rien n'a été négligé, donne A* poiir limite du second membre, à mesure que p augmente. La vitesse du mobile tend donc indéfiniment vers celle qui rendrait la résistance égale à son poids, et le mouvement s'approche de plus en plus de l'uniformité.
296. Examinons maintenant le cas où l'angle de projection 9 est très-petit. Le point ne s'élève alors qu'à une trèspetite hauteur au-dessus de l'axe des a:, et la tangente ^tant très-peu inclinée sur cet axe, on pourra négliger p*, a Ton aura ainsi
fis =z dx^ et s =1 X,
li'équation (5) se réduit à
<i'oii Ton tire
dx à* cos' 0 '
'XSX
Cl comme on doit avoir en même temps a: = o, /? = tang 9,
36o COURS DE MECANIQUE.
il en résulte
C = tang ô H ■ ,
° 2 a* cos' ô
et, par suite,
/?=—- = tang ô V e '^ — I / .
'^ dx ° a^^cos' 0 ^ '
Intégrant et observant qu'on doit avoir à la fois x = o, j^ = o, il viçnt
/ . '^^ \ >^* fT V
r = a: tang 9 H | — 7 V^ — i / •
L'équation
ai: Li
-=. a ces 0 . <9
dt donne, en remplaçant s par x^
dt
= , d OU r = V^ — 1
a cos 9 g'a cos 9
Si Ton connaît des points par lesquels passe le mobile , par exemple celui où il rencontre le sol , il en résultera , entre les constantes, des équations qui pourront servir à les déterminer.
297. Du moui^ement produit par urte force dont les composantes parallèles aux axes sont les dérii^ées par~ tielles d*une même Jonction de x, y, 7>, — Si l'on design par X, Y, Z les composantes de la force motrice qui sollicite un point matériel dont la masse est l'unité , les équations générales de son mouvement seront
dt^ -^^^ dt' - ' ItF '^■'
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 36l
Si Ton ajoute ces équations, après avoir multiplié la première par 2 ~ ? la seconde par 2^1 et la troisième par
