pî il vient

dt

dx d^x dy d^ y

dt dO dt dt^ ^

dz d^ z\ Jt~dt^)

fit, en observant que l'équation

dxV

df +

don

(iy-(s)"="

ne

dxd^x dy d^ Y dz d^ z . d.v"^

dt dt' ^ dt dt' ^ dt dr dt

Oïl aura

vv -T-==^(X-r--f-Y-7- + Z--).

dt \ dt dt dtj

^^ comme X , Y, Z sont les dérivées partielles d'une même *^ïiction F (a:, j^, z), on aura

Y ^-^ . v^:^ . 7 ^^ ^ dV(xyy, g) dt dt dt dt

^t l'équation précédente, intégrée entre deux limites quel- ^^ laques, donnera

^5 J, c , A désignant les coordonnées du point et sa vitesse ^ la première limite.

On voit donc que, dans le cas où Xcte -f- Y«î)^ -1-Zrf^ est ^ différeniielle d'une certaine fonction de j:, ^, z considérées comme variables indépendantes, si un point maté-

302 r.Ol RS DE MÉCANIQUE. *

rlel osÇ' soumis h l'action de forces dont les ce iiiposan tes totales pai'allèles aux axes soient X, Y, Z, raccroissement du carré de sa vitesse, en passant d'un point à un autre quelconque , pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour parvenir au second, et quelque ligne qu'il décrive entre les deux.

On peut dire plus généralement, d'après l'équation (a), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont Téqualion serait F(x^j^ z) = C avec une vitesse connue k dans une direction arbitraire^ lorsqu'il arrivera en un point de la surface ayant pour équation F (j:,^^, z) = C, sa vitesse \^ peut être déterminée de grandeur d'après ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite,* et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.

L'équation générale de ces surfaces remarquables étant F (x,j^, z) = C, C désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

Xdx -H Ydf -h Zdz = o.

Cette équation exprime que les deux directions dont le^angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respec — tivement à X, Y, Z, et c?x, dy^ dz^ sont perpendiculaire^ l'une sur l'autre. D'où l'on conclut que la force dont le^ composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces sur— ^ faces qui passe par le point que l'on considère.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nou-^ avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui soL— = liciterait le mobile placé en un quelconque de leurs point» s (Je sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait e équilibre , en quelque point do ces surfaces qu'il fût pose- On leur donne le nom de surfaces de niveau.

Si la fonction F (x^y^ z) ne peut se réduire à -J pour des valeurs réelles et finies de x, /, z, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun. Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M. Bertrand, le point matériel n'aura pas toujours la même vitesse en revenant à une même surface de niveau 5 il faudra, pour cela, qu'il ait traversé un nombre pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d'où il était parti.

298. Si la résultante des forces qui sollicitent le point était constamment normale à la ligne qu^il décrit , on aurait •

Xda: H- Ydf + Zdz = o;

la fonction F se réduirait donc à une constante , et le second membre de l'équation (i) serait nul 5 d'où il résulte que Ton aurait

-Ainsi , comme nous l'avions déjà vu , la vitesse d'un point ^st constante lorsque la force qui agit sur lui est, à chaque ^'^stant, normale à la direction de son mouvement.

D'où il résulte qu'un point qui se meut , sans frottement, *^r nnQ courbe ou une surface fixe, et qui n'est sollicité P^** aucune force extérieure, conserve constamment la ^ême vitesse.

Si la résultante est normale à la trajectoire , en quelques P^ïnts seulement , on a , en ces points ,

Xc/x -h Y^j-f- Zfife = o, ou «?.(>'= o.

^Hc, en général , la vitesse du mobile y sera maximum ou ^^nîmum.

-^99. Si , outre les forces normales à la trajectoire , il eu ^^ste d'autres dans des directions quelconques, les pre- • i^rcs disparaîtront toujours du second membre de Téqua-

364 COURS DE MKGiNIQUB.

tion (i), et si les autres sont telles-, que leurs composantes totales X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction des variables x^ y^ z^ considérées comme indépendantes, on parviendra de même à l'équation (a).

Ainsi , la proposition précédente a lieu pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et sollicité en outre par des forces telles, que

lLdx-\-Ydf-\-Zdz

soit une différentielle exacte par rapport à a:, y, -z , ce qui n'aurait pas lieu s'il y avait un frottement ou la résistance d'un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de a: , j^, z,

300. L'expression X^o: -^-Ydy -{-Tjdz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes , et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.

En effet, soient a, i, c les coordonnées constantes de Tun quelconque de ces centres ; .r , y, z les coordonnées variables du mobile , r leur distance, et R une fonction de r qui exprime la force qui agit sur le point donné suivant la droite qui le joint au centre que l'on considère. Les com^ posantes de cette force seront

si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive; ce que Ton pourrait effectuer en changeant seulement R de signe. Les termes qui proviendront de cette force dans l'expression Xcte-h Y^ -j-Z^^ seront donc, dans le premier cas,

R r(^ — Jc)dx -{- [b —y) dy -h (<- — z) </gl

Or on a ^

(« — ^)^ -h (^ — xY + (c - ^Y = ^\

d'où

{a — x)dx -{- [b — /) dy -I- (c — z)dz=z — rdr,

ce qui réduit l'expression précédente à — 'R.dr, Elle devrait être changée en H-Rc?r dans le cas d'une force répulsive.

Si l'on fait le même calcul pour les forces R', R'', etc. , relatives aux autres centres fixes , on trouvera

ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes x^y^ z^ puisque R est une fonction der, R'de r', etc.

On aura donc

(»;'-/t')=qp: r KdrZfZ r R'rfr'ip...^

Tq, r[ , etc., étant les valeurs de /', r', etc. , correspondantes à la première position. D'où l'on voit que l'accroissement du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile, pendant qu'il passe de l'une des positions à l'autre.

301 . Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce -plan, les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est , à proprement parler, que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.

L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la

366 COURS DK MÉCANIQUE.

forme

X cos a -H r cos 6 -h « cos 7 — /j = o ,

a, S, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de Forigine sur le plan, et p la longueur de cette perpendiculaire. Soit u la perpendiculaire abaissée sur ce plan , du point dont les coordonnées sont x^ y^ z^ow. aura

u = X cos ct-\- X cos 6 -h z cos 7 — p.

Les composantes de la force U qui agit sur ce point seront Ucosa, Ucosê, UC0S7, ou — Ucosa, — -UcosS, — Ucosy.

Les termes que cette force introduira dans l'expression ^dx -{-Y dj -^Tjdz seront, dans le premier cas,

U [dx cos a -h r(y cos ^ -\- dz cos 7) , ou Xidu ;

et, dans le second, — \]du\ ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de a:, y, z, puisque U n'est fonction que de u seulement.

Si la force était toujours dirigée vers le plan, elle changerait de sens lorsque le point changerait de côté par rapport à ce plan \ les cosinus de a , S , y changeraient alors de signes, et il faudrait y avoir égard. U faut encore observer que la valeur de u est positive quand le point n'est pas du même côté que l'origine, et négative quand il est du même côté, de sorte que les accroissements de u sont toujours positifs dans le même sens.

Quand il s'agira de la pesanteur, et que les espaces parcourus seront très -petits par rapport au rayon de la terre, la force peut être considérée comme perpendiculaire à un plan horizontal; mais elle est constante de grandeur et de direction, de quelque côté que soit situé le point par rapport à ce plan. Eu le prenant pour plan des x et r. et pn--

nant l'axe des z en sens contraire do la pesanteur, on a

L'équation (i) devient

d.v^ dz

dt ~" ^ dt'

d'où

en désignant par h la hauteur de z correspondante a la vitesse h. Les surfaces, dont l'équation générale était F (a:, y, z)=o, sont ici des plans horizontaux, et l'on voit qu'un point matériel libre, ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe , et qui part d'un point quelconque d'un plan horizontal donné, avec une certaine vitesse , parviendra à un plan horizontal quelconque avec une vitesse qui ne dépendra nullement de la courbe qu'il aura suivie pour y arriver, mais seulement de la distance de son point de départ à ce plan.