MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE
302. Considérons maintenant un point mobile qui ne soit pas entièrement libre, mais qui soit assujetti à rester sur une courbe fixe donnée, dont les équations soient
F(a;, j, z)=:o, F, (j:,/, z)=ro.
Supposons " que le point n'éprouve aucun frottement sur cette courbe, et que, par conséquent, l'action qu'elle exerce se trouve comprise dans le plan normal. Soient N la force normale inconnue produite sur Tunité de masse par la résistance de la courbe, et X, a, v les angles qu'elle fait avec
368 COURS DK MÉCANIQUE.
les axes^ le seul effet de la courbe sur le poiiii étant de.produire celle force, on peut faire abstraction de la courbe si Ton introduit cette force -, en la réunissant à celles qui sont données , le point pourra donc être considéré comme libre, et les équations générales de son mouvement seront, eti désignant par X , Y, Z les composantes de la force accélératrice,
-7--=:X-4-Ncos>, -74 = Y-4-Ncosa, -r--- = Z + Ncosv. dt^ dt^ ^ dt^
La direction déterminée par les angles X , a , v étant perpendiculaire à la tangente, on aura
dx cos \-^ dy ces jx -h dz cos v = o ,
et j de plus ,
cos' \ -H cos' f* -4- cos' V = I .
On a donc sept équations entre les buil quantités x, j, z^ X, fjL, V, N, it^ et il sera toujours possible d'exprimer les sept premières en fonction fie t. Quand on y sera parvenu, tout ce qui se rapporte au mouvement du point sera déterminé.
Lorsque l'on a
ILdx '\-Ydy -\^Zdzz=z d,^ [x^ X^ ^)i les équations précédentes donnent
dxd^x ^ djrd*Y -h dzd^z
et, en intégrant j
dx^ -h dr^ -Jr dz^ , , ^
La constante C se déterminera par la valeur de la vitesse f
au point de départ. D'ailleurs, les équations de la courbe, résolues par rapport h x et y y donneront
L'équation précédente deviendra donc
J|i-^[/'W?-+-[/;(3}P| = 2y[/(3),/.(z), z]+C; d'où
^ (z) désignant une fonction connue de -z ; on tirera de là
C' étant déterminé par la valeur initiale de z. Ou connaîtra donc ainsi z en fonction de f, et, par suite ^ x elj le seï'ont d'après les équations de la courbe.
Ainsi , dans le cas où ^dx -hYdy -{-Zidz est une différentielle exacte, le problème est ramené aux quadratures.
303. Pression exercée sur la courbe. — Désignons parT la composante tangenlîelle de la force appliquée à Tunité de masse du mobile^ par Q sa composante normale. Le point pouvant être considéré comme libre, après l'intro-
duciion de la force N produite par la courbe , y ou — ^
sera égal à T^ et une force égale à - ? dirigée vers le centre
de courbure, ou la force centripète, sera la résultante des deux forces normales Q et N. Donc N , ou la force produite par la courbe, sera la résultante de la force centripète ^^ d'une force égale et contraire à Q. Et, par conséquent, ** force égale et contraire, ou la pression exercée sur la ^otirbcy et détruite par elle , est la résultante de la force Q ^'^de la force centrifuge. Elle se réduirait à la force centri- ^**ge si la force Q était nulle.
370 COURS DE MÊCAMQtIK.
Toutes CCS forces , que nous avons supposées rapportées à Tunité de masse, se rapporterai ent à la masse /w, en les multipliant par m,
La direction de la pression exercée sur la courbe se déterminera facilement, connaissant sa valeur et celle de ses composantes.
Application au cas d'un point matériel pesant. 304. Soient
les équations de la courbe fixe sur laquelle doit se mouvoir un point matériel soumis à l'action seule de la pesanteur. Désignons par N la force normale que produit à chaque instant la résistance de la courbe rapportée à Funité de masse ^ par ^, fji, v les angles que fait sa direction avec les axes, et supposons l'axe des ^vertical et en sens contraire de la pesanteur. Les équations du mouvement du point seront
^ = N cos>, -^ = N cos fx, -^= - ^ 4- Ncosv.
Si l'on mujtiplie la première par 2^X5 la seconde par idy. la troisième par arfz, et qu'on les ajoute, il vient
d,v^=: — ^gdz; d*0Ù v^= ligz -^ C.
La constante C se déterminera d'après la valeur k de la vitesse, pour z = h^ et l'on aura
p' — /-' == ig(h — z).
Si l'on remplace p'* par sa valeur
PKEMliRK AWWÉE. — STATIQUE.
dz^
dt
rh^-[F'W?^-[/'(3)p|,
Vant par rapport à f , el supposant que le
dz
. . ^ue, par conséquent, — soît négatif,
dt
'»-MF'(3)]'-h[/'(3)p
2gh — ^gz
, ^ *?« fonction de z *, si Ton peut
• aura , pour cbaque valeur
de j: et j^ : le problème
-,jais lors même que l'on
,aion précédente, on connaîtrait
^omt , par suite la force centrifuge, et
.on exercée sur la courbe, qui est la résul-
force centrifuge et de la composante normale de
ir.
arquera que si s reste la même fonction de z, i courbe change, rf^', et, par suite r', est exla même fonction de i:, et le mouvement sur la le même. Ainsi , en enveloppant sur un cylindre elconque, le cylindre projetant d'une courbe , le nt passera , aux mêmes époques , par les points lants.
fectuons ces calculs dans le cas où la courbe Un cercle vertical. Prenons Taxe des x dans ce igent au point le plus bas du cercle , il en résulles équations de cette courbe ,
^ = 0, .r'H-z' — 2az = Oy
1 rayon. On en tirera
ds* dx" H- dz"
dz
dt
2az — z* dt '
el Téquation
devient
2az —
ciz'
d'où l'on tire
dt=:-
"+" aftz
\7,az — z' sjk* -I- 7,gh — 7,gz
on prendra le signe — quand le point descendra, et le signe H- quand il montera.
Le carré de la vitesse ayant pour expression
sera maximum pour z = o, c'est-à-dire au point le plus bas, et cette valeur sera
igh.
La vitesse deviendra nulle quand on aura
k^ -{- 7.gh — 1gzz=iO^ ou z =r A -I 7
pourvu que Ton ait
car z ne peut surpasser le diamètre du cercle. Dans cette hypothèse , le point parvenu à cette hauteur redescendra , sa vitesse deviendra nulle de l'autre côté pour la' même valeur de z, et ce mouvement d'oscillation se continuera indéfiniment. Si, au contraire, on a
la vitesse sera minimum au point le plus élevé du cercle?
mais elle n'y sera pas nulle, et le mouvement aura lieu constamment dans le même sens.
Enfin , si Ton a
la vitesse serait nulle au point le plus élevé, et le mobile y resterait en équilibre, s'il pouvait y parvenir-, mais nous allons voir que cette position est une limite vers laquelle il tend sans pouvoir l'atteindre jamais. Ce cas est le seul où l'intégration puisse s'effectuer sous forme finie ; on a alors
On pourrait intégrer cette expression en la rendant rationnelle par les méthodes ordinaires 5 mais on peut y parvenir
plus simplement en observant que — p est la différentielle
Je ^z , et que la fraction peut être décomposée de
a manière suivante :
^2 a — y/zy
2a-^z 2\/2a\ s/Ta •+- y^ v'^
Dn aura ainsi , pour le mouvement descendant ,
dz dz
-i /al 2 ^z 2 s/z
"" 2\. g\\/2a-h s/^ s/Tâ — ^
d'où l'on tire
^y g sJTTi — y/z • La constante se déterminera par la condition que Ton ait
en même temps f = o , z = A , et il en résultera
^\ s ' >J^-fz '^y g' sfTa — v^* Lorsque le mobile arrive au point le plus bas , on a
dz A partir de 4:et instant, — étant positif, on doit <rIiaD-
ger de signe la première partie de la valeur de t , ce qui donne
A mesure que t augmente, z augmente nécessairement, mais il est toujours plus petit que 2.a\ et l'on trouverait ^ = 00 si l'on faisait z = 2a. Le mobile n'arrive donc jamais au point le plus élevé du cercle, mais il s'en approche indéfiniment.
306. Considérons maintenant le cas où le mobile oscille de part et d'autre du point le plus bas du cercle. Nous pouvons supposer nulle la vitesse initiale \ car cela revient à prendre pour point de départ un point plus élevé du cercle. On aura alors, pendant que le mobile descend ,
a dz \ fa dz f z\^
"" ^v^2^ïz — z'v/Â^"" '^y g slhz — z\ 2/1/
et comme — est plus petit que l'unité, on peut développer
PREMIÈBE ANNÉE. — STATIQUE. 3'j5
le dernier facteur de la manièrç suivante :
2 4«6* -2/1 \2fl
Or on a , d'après une formule donnée dans le calcul intégral ,
r z'^riz z»-' \/hz — z' (2/1^— i)/t r^^^Jz__ Jv^— "? "" « ^ 2/i J slhz — z' '
et, par conséquent , on pourra intégrer, entre des limites quelconques , autant de termes que Ton voudra de la série qui exprime la valeur de dt.
Bornons-nous à calculer le temps que met le mobile à arriver au point le plus bas, et qui est le même que celui qu'il mettrait à remonter à la hauteur h où se termine Toscillation , puisque ces intervalles sont exprimes parla même intégrale prise entre les mêmes limites o et /i.
La formule de réduction que nous venons de rappeler, devient
Jq ^hz — 3' "~ 2 // Jo yjJiz — z' '
- par A„,
o ^hz — z^
in
Cette formule conduit à la suivante, eu observant que
Ao=7r,
2 4 t) .in
Cela posé , pour la demi-oscillation descendante , les limites des intégrales sont dans Tordre inverse de celui que nous venons de prendre; il faudra donc changer le signe du second membre , si Ton veut faire usage de la formule que nous venons de trouver pour les intégrales qui composent la valeur de t. Si donc on désigne par T la durée de Foscillation entière , on aura d^abord
ou
r..3. (3.-.)y/MV...
Cette série sera très-couvergente si — est très-petit , .et
l'on calculera facilement Terreur commise en s'arrêtant à un terme quelconque. Si l'angle au centre 2 a , qui mesure Famplitude des oscillations, ne se compose que d'un petit nombre de degrés, on peut le plus ordinairement se borner au premier terme -, et l'on a
cette durée est indépendante de la hauteur h. Si l'on prend les deux premiers , la durée dépendra de A , et l'on aura
-/îi
Le rapport - étant le sinus-verse de l'angle a, on a
- = I — COS cii= 1 Sin'7 a.
Ainsi , cette deriiière».valeur de T n'est en erreur que d'une quantité du quatrième ordre par rapport à Fangle a ^ la précédente était en erreur d'une quantité du second ordre.
307. Le raoyen que Ton emploie pour réaliser ce mouvement consiste à suspendre un poids à un fil très-délié et d'une longueur invariable, dont une extrémité est fixe. Si ce fil inextensible était dépourvu de toute masse et que le mobile fût réduit à un seul point, on aurait ce que l'on appelle un pendule simple. Mais il est beaucoup plus avantageux d'employer un appareil solide au lieu d'un fil , et le mouvement de ce pendule composé ne peut plus être calculé par la théorie précédente. Dans ce dernier cas, on appelle longueur du pendule , celle du pendule simple qui aurait ses oscillations de même durée.
Au moyen d'une formule que nous démontrerons plus tard, on peut déterminer cette longueur d'après la forme du corps oscillant, et la durée de l'oscillation sera donnée par la formule
"Vi'
dans laquelle a représente la longueur connue de ce pendule. Si Ton désigne par n le nombre des oscillations qui auront lieu dans un temps 0, on aura
=: nT, dou Ô=:r/l7ri/-5 et i* -=: ,
équation qui fera connaître la valeur de la pesanteur. C'est ainsi que, d'après les expériences faites à l'Observatoire de Paris , on a trouvé
En faisant des expériences semblables en ditlérenls lieux
de la terre, on déterminera la loi suivant laquelle varie la pesanteur.
308. On peut encore déterminer le mouvement du pendule au moyen de la formule qui donne rexpression de la force langentîelle. Soient OB {Jig* 64) le rayon vçrticaldu cercle sur lequel se meut le point pesant, A la position d'où il part avec la vitesse A, et M sa position après le temps t. Faisons
08 = /, BOA=:a, BOM=:G, AM = ^.
La composante tangeutielle de la force accélératrice est exprimée généralement par y^ en grandeur et en signe, le
signe -I- se rapportant au cas où elle est dirigée du côté où s croît , et le signe — au sens contraire. Si l'on considère 5 comme négatif quand le rayon OM passe de l'autre cQlé de la verticale , on aura généralement
, , ds d9 d^s d^O
^ ' dt dt dt^ dt^
La composante tangeutielle de la pesanteur étant d'ailleurs g sin Q , on trouvera , en l'égalant à l'expression précédente,
d'où , eu multipliant par 2 dO et intégrant ,
(^)=fcosO-f-C.
La constante C se déterminera par la condition que l'on
ait en même temps 0 = a, — l — = h ^ ce qui donne
PREMli&E ANNÉE. — STATIQUE. 879
Cl 5 par suite ,
— \ =~-f.-il(cos0— cosa).
On tirera de là, en observant que dQ est de signe contraire à dt tant que le mouvement reste dans le même sens,
dtzn
^ A^-^ 2 gl [cosB — cosaj
On rentrerait dans le calcul précédent en exprimant 9 au moyen de l'ordonnée du cercle comptée à partir du point B. Si l'on suppose que les angles a et 9 soient assez, petits pour qu'on puisse négliger leurs quatrièmes puissances, et que, de plus , la vitesse initiale soit nulle, la formule précédente se simplifie beaucoup , et devient
__ /l de d'où
arc cos — a
11 n^y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir à la fo'S f = o , 9 = a,
La vitesse devient nulle lorsque 9 = — a. Il en résulte
Wi
Telle est la durée de l'oscillation . Le mouvement recommence ensuite en sens contraire d'une manière identique 5 le point revient en A avec une vitesse nulle, après le même
intervalle de temps ^ \/ -'- il se trouve alors dans les
mêmes
38o COURS DE MiCANlQUE. .
circonstances qu'au commencement, et cette double oscillation se reproduit indéfiniment, si l'on fait abstraction d( toutes les résistances extérieures.
309. Dans tout ce qui précède, nous avons pu fain abstraction de la résistance de Tair. Cette action modifie très -peu Jes résultats et n'exige que de très-petites corrections dans les formules. Nous n'entrerons ici dans aucuo détail sur ce sujet, et nous nous contenterons de montrer comment une résistance quelconque modifierait les équations générales du mouvement d'un point sur une courbe.
Soit ¥ (^) une fonction donnée quelconque fle la vitesse du mobile, qui exprime la résistance produite par un milieu oIl un frottement. Les équations du mouvement du point matériel pesant seront
— = Ncos^-FH-,
d^z ^, ^, ^ dz
-— ■ = N CCS V — F ( t' ) — g\
d'où Ton tire
d,tf^= — 2 gdz — 2F (v) ds.
Or, au moyen des équations de la counbe on peut exprim ds au moyen dezeidz-^i^ s'exprimera de même en fonctî de z j dz et dt : de sorte que l'on aura une équation di^ rentielle entre z et t seulement. Si on peut Tintégrerj connaîtra z ^ x ^ y en fonction de ï , et le mouvement complètement déterminé.
L'équation précédente donne , en Tîntégrant,
PREMIÈRE ANNtK. STATIQUE. 38 1
F (m) ds exprime la
perte éprouvée dans le carré de la vitesse par la résistance représentée par F ( f').
310. Mouy^ement sur la cycloïde, — Si Ton prend pour axe des .r la tangente au sommet, et pour axe des z la perpendiculaire à la base, Téqualion différentielle de la cycloïde est
dz / z
dx y 2fl —
a étant le rayon du cercle générateur. Supposons que le plan de cette courbe soit vertical et que l'axe des z soit dans la direction contraire à celle de la pesanteur. On aura l'équation trouvée précédemment dans le cas d'une courbe quelconque
p' — k^=zig[h — z ) OU
dt^ -T- 6 b
On peut supposer k nul en élevant convenablement le point de départ sur la cycloïde, pourvu que Ton n'ait pas A* -f- 2,gh ^ ^gc^'-j c'est le cas que nous supposerons. Ou a donc réquation aussi générale
dt^ 6 \ /
Or, d'après l'équation de la cycloïde , on a
ds^ 2 a dz^ dt^ "~ 2 dt' "^ donc
dz
\ hz — z*
on prendra le sign(i — quand le mobile descendra, et le signe -{-quand il montera.
On trouve en intégrant , dans le ras du mouvement descendant,
arc cos
La constante est nulle, parc e qu'on doit avoir à la fois f = 0, z z=.h\ si Ton fait z = o, on trouve
Ainsi, de quelque point que Ic^mobile parte , 11 arrivera au point le plus bas de la cycloïde dans le ^ème temps; c'est ce qui a fait donner à cette courbe le nom de tautochrone. Si Ton intègre la valeur de dt à partir du point le plus bas , dans un sens ou dans Tautre , on aura des éléments égaux; ce qui montre qu'à des intervalles de temps égaux, à partir de cet instant , la position du mobile correspond à des valeurs égales de ^ . II remontera donc à la hauteur A, où sa vitesse sera nulle , dans le même temps qu'il a mis à descendre, et la durée de l'oscillation sera
/a I La li: Kf - on Tri/
Or, 4 CL est le rayon de courbure de la cycloïde au point le plus bas. La durée de l'oscillation sur la cycloïde, quelle que soit son amplitude, est donc la même qu'elle serait sur le cercle osculateur au point le plus bas , mais pour des amplitudes infiniment petites.
3H. Si maintenant on considère une courbe quelconque dont le plan osculateur au point le plus bas soit vertical, on pourra la considérer dans une étendue infiniment petite de part et d'autre de ce point , comme se confondant avec le
PREMIÈRE ANNKE. — STATIQUE. 383
cercle osculateur, et la durée de roscillatioii sur cette
courbe sera tt i/-? a étant le rayon du cercle, et rampH-
tude étant supposée inilniment petite.
Si le plan osculateur faisait avec la verticale un angle a , la pesanteur pourrait se décomposer en deux forces: Tune normale au plan et détruite par sa résistance -, l'autre dans le plan et parallèle à la projection d'une verticale sur ce plan. Cette dernière sera égale à g cos a, et, par conséquent,
la durée de l'oscillation sera tt \/ Elle est donc la
V g cos a
même que sur une courbe dont le plan serait vertical et
dont le rayon de courbure serait » ou aurait pourpro-
•^ cos a ^ *
jectîon sur le plan de la courbe donnée, celui de cette courbe même. Elle sera donc enfin la même que sur la courbe située dans un plan vertical passant par la tangente au point le plus bas de la courbe donnée, et qui serait la projection de cette courbe sur ce plan vertical.
312. Cherchons maintenant si la cycloïde est la seule courbe tautochrone , quand on fait abstraction de toute résistance.
Prenons pour origine le point où le mobile doit parvenir dans un temps constant, quel que soit le point de la courbe d'où il parte sans vitesse. Nous considérerons Téquation de la courbe entre s et z seulement 5 car l'équation
V^=z1g[h^z), ou — = 2g{h—z),
ne renfermant que 5, z et / , il s'ensuit que, pourvu qu'on ait la même relation entre s et z^ on en tirera toujours la même valeur de t en fonction de z. De sorte que, si Ion conçoit le cylindre qui projette une courbe sur un plan
