COURS UE MÉCANIQUE

horizontal, un poûit matériel pesant mettra le même temps à parvenir d'un point à un autre de cette courbe, soit qu'on développe ce cylindre, soit qu'on Tenroule sur tout autre cylindre ayant ses arêtes verticales.

U ne s'agit donc ici que de déterminer s en fonction de- z , et nous ne considérerons que les eourbea qui peuvent donner pour s un développement procédant suivant les puissances de z. Gomme on doit avoir à la fois Z'= o et 5 = o, il ne saurait y avoir d'exposant négatif, ni de terme indépendant de z. Soit donc

a, 6, y, etc., étant des nombres positifs quelconques, et A, B, C, etc., des quantités entièrement indéterminées. Soit h le z du point de départ , on aura

= .,(.-.), d'Où T=-^jf ^^=

T désignant le temps employé pour parvenir à rôrigîne et qui doit être indépendant de /i.

Substituant à ds sa valeur tirée de la série, il vient

*.«-i^- nh^^-i^^

Jo Sjh — z Jo y h — z

Soit

z = hz\ d'où dz = h dz' ; les limites de z' seront o et i, et Ton aura

r^z^-' dz L r'z'^-^dz'

Jo \à — z Jo V I — z^

r^z^-'dz ^6,i r^z'^-'.dz'

Jo ■ sJh — z Jo y I — z'

ainsi des autres. Il en résultera , en posant

Jo V — ^ •/o yi — 2

T s[^ — AA'aA« - ? -h BB'êA

, pour que ce résultat soit indépendant de h et ne soit s zéro, il faut que tous les termes disparaissent, excepté , dans lequel l'exposant de h sera zéro. Donc la série i donne s se réduit à un seul terme , et l'exposant de z iîst égal à j 5 on a donc

j = Az* , ou j'=A'3.

Or, cette relation entre ^ et .zr ne convient qu'à une :loïde , dont le sommet est pris pour origine , et la perndiculaire à la tangente en ce point, pour axe des z, •ne il n'y a d'autre tautochrone dans le vide que la :loïde dans la position où nous l'avions considérée, du >îns parmi toutes les courbes pour lesquelles s est déoppable suivant les puissances de z, 313. Cette propriété de Visochronisme des oscillations in point qui se mouvrait sur une cycloïde avait fait user à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple nt l'extrémité décrirait des arcs de cycloïde. Il suffirait, ur obtenir un pareil mouvement , de suspendre un poids

moyen d'un fil flexible et inextensible, à un point qui pait l'origine de deux branches de cycloïde dont le cercle inérateur aurait pour diamètre la moitié de la longueur ifil. Ou voit, d'après la propriété de la développée de la ^cloïde , que lorsque le fil s'enroulerait sur ces courbes, ise déroulerait, son extrémité décrirait une cycloïde dont

sommet serait le point le plus bas ; les oscillations sefentdonc isochrones. Mais un pareil pendule serait loin

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d'offrir dans la pratique les mêmes avantages que le peu* dule circulaire, et l'on n'en fait aucun usage.