CHAPITRE VI

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE FIXE.

314. Soient F (jc, y, 3) = o Téquation de la surface fixe, N Tin ten site de la force qu'elle produit et que nous supposons normale; X, jtx, v les angles que sa direction fait avec les axes , et X , Y, Z les composantes totales des forces accélératrices extérieures; on aura le système d'équations,

— = X-f-Ncos>, -^=:Y + NcosfA, = Z4-Ncosv,

, ^rfF „i/F ^dF

COS A =: V -;- j COS tX = V -r- 5 COS V = V -7- >

dx ^ dy dz

V = zt

[dz)

Le double signe de V correspond aux deux sens de la normale , et le calcul fera connaître en chaque point le signe qui conviendra.

Si l'on substitue dans les premières équations les valeurs de cos X , cos yi , cos v , on aura

^'•^ V ^..rdY d^r „ dF

dt^ dx dt^ dy

^^^ »rf'z dF

— = Z -h NV — .

dt^ ^ dz

Eliminant N entre ces trois équations , on aura deux «jua* tions qui , jointes à F (x , j, 5; ) = o , détermineront J, Ji z en fonction de ^; et toutes les circonstances du mouvement en résulteront.

Ces calculs, en général impraticables, se simplifient quand on a

Xdx -hYdjr -hZdz = dtf(x, y^ «),

C désignant une constante arbitraire, déterminée par l'état initial .

En effet, les équations (i) donnent immédiatement les deux suivantes :

dt^ dv \dz dx ]

Or, en différentiant, par rapport à untî variable quelconque, l'identité

dy dt dx dx

on trouve

dt

da:'i;i^drp , dy df" ' dp

* dx I dx^

[Ht

d'où

, d^y j d^x fdxWdy dxY ,

dt^ dt^ \dt dx \ds )

dy

dx

et de même

. d^ z , d^x / dxX"^ , dz

de^ dt' \ds J dx

En substituant ces valeurs dans les équations (2), et rem

plaçant j^* par 2(f (x,/, «) -H C, puis éliminant entre elles NV, on aura une équation différentielle entre x^y^ a, où le temps n'entrera pas, et qui, conjointement avec F [x^y^ z) = o, déterminera la trajectoire. Connaissant j

ds

et z en fonction de x^ et -^ en fonction de a:, y, z, on par-

viendra facilement à une équation de la forme dt = ^ (x) dx^ d'où l'on déduira a: en fonction de t^ et, par suite, toutes les circonstances du mouvement.

315. Pression exercée sur la surface, — La composante normale de la résultante de toutes les forces appliquées au mobile , en y comprenant l'action de la surface, est dans le

plan osculateur de la trajectoire, et égale à - • Cette dernière

force est donc la résultante de la force produite par la surface, qui est normale à la surface et, par suite, à la trajectoire; et de la composante normale à la trajectoire, delà force extérieure qui agit sur le mobile. Si donc on désigne cette composante par Q , par 0 l'angle du plan osculateur avec la normale à la surface , et par ^ celui de la force Q avec la même normale , on aura la proportion

- : Q :: si^^I/ : sin 0.

Cette relation déterminera la direction du plan osculateur quand on connaîtra (^, R, Q, ^{;. Dans le cas particulier où l'on aurait Q = o, il en résulterait 0 == o, et le plan osculateur serait le plan normal à la surface. Ce cas est celui où la force extérieure est nulle, ou tangente à la trajectoire: il comprend donc celui où il y aurait frottement sur la surface, ou une résistance de milieu. Dans ces divers cas, le plan osculateur de la trajectoire étant constamment normal à la surface , cette ligne est la plus courte que Ton puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. SSt)

points. On peut reconnaître directement que lorsque la force extérieure est nulle ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, le plan osculateur de cette courbe est normal à la surface. En effet, ce plan doit renfermer la tangente à la trajectoire et la résultante totale, c'est-à-dire une des composantes et la résultante : il renferme donc Tautre composante, qui est la normale à la surface, et, par conséquent, il est lui-même normal à la surface.

Application au mouvement dun point pesant sur une

sp Itère.