Soit l'équation de la sphère
les équations du mouvement seront
^^ dt' a dr a dt' ^ a
Taxe des z étant supposé dans le sens de la pesanteur. La vitesse sera donnée par Téquation
(3) ,;'=^J^y=c4-2gz;
la constante c étant déterminée parla hauteur et la vitesse initiales du mobile.
L'équation des aires n'a plus lieu pour tous les plans \ mais , comme la résultante des forces qui agissent sur le point, coupe toujours Taxe des z^ elle aura lieu pour le plan des x et y^ comme nous l'avons dit précédemment. On aura donc, en désignant par c' une constante arbitraire,
(4 ) xdf — y dx :=:z c dt ',
SgO COURS DE MECANIQUE.
Téquation (3) peut se mettre sous la forme
£/x' -4- r/r' -4- dz^
Les équations (i), (4), (5) suffisent pour déterminer x, /, j en fonction de t, DifTérentiant d'abord Féquation de la sphère, nous
aurons
(6) xdx-^ydy:=z — zdz', ajoutant les carrés des équations (4) et (6), il vient
et en tirant x' -l-j^' et dx* + dy^ des équations (i) et (5), on obtiendra entre zet t Téquation
(a' — z')[(c-h 2gz)de^--'dz'] = z^ dz" -j- e'* dt^ ;
d'où Ton déduit
/ X . Zizadz
yj[a} -^z") (c -+- %gz) — c'«
Le signe — correspond au cas où le mobile monte , et k signe -H à celui où il descend.
De là on tirerait , en intégrant ,
/==F(z) ou a=F,(r).
Il reste à déterminer la projection horizontale du mobile, soit par les coordonnées a: et y, soit par des coordonnées polaires ; nous nous arrêterons à ce dernier moyen.
L'équation or <i^' — jdx=c'dt devient, en désignant par r le rayon vecteur de la projection, et par ^ l'angle qu'il fait avec l'axe des jc,
(8) f-^d']^=:t'dt et A-^=:rtt' — z';
PREMIÈRE ANNKK. — STATIQUE. Sgl
donc 9 en se bornant au signe supérieur, c' dt ac' dz
Si Ton substitue à dt sa valeur en z et^z, ou si l'on suppose z exprimé au moyen de t par Tintégration précédente, une nouvelle quadrature fera connaître ^ en fonction de z ou de t *, et comme on a
toutes les coordonnées du mobile seront connues en fonction de t. Mais ces diverses intégrations ne peuvent être calculées que par approximation.
Si l'on veut connaître l'angle que forme, avec la verticale, le rayon mené du centre de la sphère au point mobile, on aura , en le désignant par 0,
z ces ô = - ; a
il sera donc connu quand z le sera.
317. Déterminons maintenant la constante c^ Pour cela, décomposons la vitesse initiale du point en deux autres , dont l'une soit perpendiculaire au plan vertical passant par ce point et le centre de la sphère , et l'autre soit comprise dans ce plan. La première sera la composante de la vitesse de la projection horizontale du point , suivant la perpendiculaire au rayon vecteur r de la courbe décrite pâi* cette projection 5 car cette perpendiculaire est normale au plan vertical dans lequel se trouve la seconde composante totale de la vitesse absolue du point, et par conséquent cette composante donne une projection nulle sur la perpendiculaire au rayon vecteur de la projection horizontale.
Soient, dans la position initiale du point, d la valeur ie Zy k la vitesse, qui est nécessairement tangente à la
sphère, et a l'angle que. fait sa direction avec la perpendiculaire au plan vertical qui passe par le point et le centre de la sphère ; on aura , d'après ce qui vient d'être dit,
r -^=L k cos gi. , dt
et, substituant à -^ sa valeur tirée de l'équation (8),
— = A- ces a ;
comme on a, au point de départ, r= sja^ — d*^ la valeur de c' sera
(10) c' ^zhsla^ — d
cos a.
Si la vitesse initiale est nulle, ou dirigée dans le plan ver^ tical passant par le centre, on a c*' = o, et l'on retrouve les équations du mouvement du pendule simple dans un plan vertical.
318. Il reste à calculer à chaque instant la grandeur et le sens de la force N que produit la surface. Pour obtenir sa valeur de la manière la plus simple , nous multiplierons les équations (2), la première par x^ la deuxième par j,Ia troisième par z, et nous les ajouterons; il en résultera
(II) -^ = ±Nfl -h gz.
Or, on a
xdx-^ydjr -f- zdz -f- o,
et , en différentiant ,
xd^x -{-yd^y + zd^z=^ — dx^ — dy"^ —- dz* =z — riy'j
l'équation (11) devient donc
d*OÙ
(12) rtN =
et comme N est essentiellement posîtîf, on verra, d'après les valeurs de ^ et ^ à chaque instant , lequel des deux signes du premier membre on doit prendre pour que cette équation ne soit pas absurde \ on saura ainsi quels signes il faut prendre à cet instant dans les équations (3), et, par conséquent , quel est le sens de la force produite par la surface.
Si ^est positif, le second membre de l'équation (la) est négatif , et l'on doit prendre le signe inférieur dans le premier membre \ d'où il résulte que la surface produit sur le point une force dirigée de la surface vers le centre , toutes les fois qu'il est situé au-dessous du plan horizontal mené par le centre de la sphère.
Si z est négatif, c'est-à-dire si le point est au-dessus de ce même plan horizontal , les deux termes du second membre de l'équation (12) sont de signes contraires , et le résultat peut être négatif, nul ou positif. On prendra encore le signe inférieur de N si l'on a
la force N sera nulle quand on aura
et l'on devra prendre le signe supérieur lorsque l'on aura
dans ce dernier cas , la surface produit sur le point une force dirigée vers l'extérieur de la sphère , et, par consécpient , le point fait effort pour s'approcher du centre. On peut se rendre compte directement de ces diverses
394 GOUaS DE MECANIQUE.
conditions relatives au sens de la force N , il suffit, pour cela , de se rappeler que la résistance de la surface sur laquelle un point est en mouvement détruit la composante suivant la normale à cette surface , tant des forces appliquées au point que de la force centrifuge.
Cela posé, soit R le rayon du cercle suivant lequel le plan osculateur en un point quelconque de la trajectoire coupe la sphère, et qui n'est autre chose que le cercle
osculateur de cette courbe: la force centrifuge sera ^> et
il faudra la multiplier par — pour avoir sa composante suivant le rayon de la sphère, qui passe au même point. On a ainsi - » et cette force est dirigée suivant la partie extérieure de la normale à la sphère. Quant à la composante normale de la pesanteur, elle est dirigée suivant la partie extérieure de la normale lorsque le point est dans l'hémisphère inférieur, et vers le centre lorsque le point est dans l'hémisphère supérieur. Donc, en la considérant comme positive quand elle est dirigée à l'extérieur, et comme négative dans la direction contraire , elle sera exprimée par
— •, de sorte que — sera la pression détruite par la surface , et le signe de cette expression indiquera le sens de cette force comme nous venons de l'expliquer. Il suit delà que la surface remplace une force égale et opposée , et, par
conséquent, représentée par 2, le signe étant entendu de la même manière. Ainsi , dans Thémisphère inférieur, cette expression étant évidemment négative, la force produite par la surface est dirigée vers le centre. Dans l'autre hémisphère , elle sera encore dirigée vers le centre si l'on a
PREMIÀBE ANNBI. — STATIQUE. SgS
elle aura la directiou contraire lorsque i^* H- gz sera <!<>. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
319. Mouvement d^un pendule qui s'écarte très^peu de la verticale. — Le mouvement du point sur la sphère peut être réalisé en supposant ce point lié au centre par une ligne inflexible et sans masse. Ainsi, le problème que nous venons de traiter est celui du pendule simple , considéré de la manière la plus générale. Les calculs peuvent s'exécuter complètement lorsque le pendule fait toujours un très- petit angle avec la verticale menée par le point de suspension.
Soient 6 Fanglc variable que forme la direction du pendule avec celle de la pesanteur, a sa valeur initiale correspondante à £ = ^, et supposons que la vitesse initiale Al ait une direction horizontale, auquel cas la valeur c' devient
En négligeant les quantités très-petites du troisième ordn.' et des ordres supérieurs, devant celles du second, nous aurons
— z=^icosO=:a j — ^ = acosa = a 7
c=zk'^^ga-h gaa}f c»''= /»rt»8in»a = /'«'a*.
La formule (7) deviendra
dt
OdO
et posant — = 6*, ^ ga
396 COURS DE HÉCAViQUE.
d^où l'on voit déjà que Q restera constamment compris entre a et 6. Il en résulte que si l'on a 6 = a , on aura constamment d = a ; le pendule décrira donc un cône de révolution autour de la verticale, et le point matériel décrira un cercle horizontal. Quant à l'angle ^, la formule générale
r^d'^ = c'dt devient d^ = — dt^ et comme 0 == a = o , elle se réduit à
d'où Ton tire , en faisant commencer Tangle ^ en mème^
temps que « , t|; = f i/-. Ainsi, dans ce cas, le mouvement du pendule est uniforme , et il décrit la surface conique entière dans un temps égal à 2 7r 4 /-.
Revenons à Féquation (i3) qui est évidemment integrable^ mettons-la sous la forme
0^0 dt
et posons
il en résultera
, , /a du
d'où
.=±iv/|-
^ -I- C; = dt T i / - . arc cos u.
La constante c^ se déterminera en exprimant que £ = o donne 6 = a , et par suite a: = 1 5 il en résultera
o, et f = ±-5ri/-.arc costt,
ou
U z= ces
d'où Ton conclura pour 6* la valeur suivante :
6' = ! cos
ou
(i4) 0'=:a'cos^^i/^^-6'sin^ri/^.
On reconnaît immédiatement que 9* est périodique, cl que la durée de la période est tt i/— Pour î = o, on a
pour ^ = ^TT i /-5 c'est-à-dire au milieu de la période, on a
et lorsque t = Tii/-yOii retrouve
De sorte qu'un observateur qui se mouvrait avec le plan vertical qui contient le pendule, verrait osciller ce dernier entre les deux directions faisant avec la verticale, et d'un même côté, les angles a, 6. Le temps qu'il mettrait pour
arriver de Tune à l'autre serait jTt \/ -\ mais, au milieu
