COOaS DE MÉCANIQUE
de cet intervalle , il ne serait pas à égale distance de ces deux droites, et Ton aurait à cet instant
ce qui donne pour 9 une valeur plus grande que la moyenne
Il reste à connaître ^ en fonction de t. Or, on a
r'd^:s:cfdt, OU d^fz=z—^z=^ ^^
Remettant pour 0* sa valeur en f , il vient
(i5) ^^l^^aSl/f j=^ ^•
a» cos^ M /- ■+- 6^ sin\ r ^ ^^
Pour intégrer cette expression, nous poserons, d'après la méthode ordinaire, tang.f 4 /- = i^, et nous obtiendrons
d'où l'on déduit
>j^ = arc tan^ — •
11 n'y a pas de constante à ajouter, parce que l'on doit avoir en même temps
V =ZOy \|< = o.
Cette équation peut se mettre sous la forme
— = tang-j/,
PREMIÈRE ANNKP. — STATIQUE. 899
OU
(16) ^ang^j/= - eang.fi/ ^.
On voîl que l'angle ^ ne croît pas uniformément ; il prend successivement les valeurs tt, stt, Stt, . . ., wtt, pour les valeurs successives de t qui rendent le second membre nul ,
ces valeurs sont 7ri/-v> mii/ -» Aux milieux de ces di-
vers intervalles de temps , le second membre devient infini 5 le premier le devient donc aussi , et les valeurs de ^ sont jTT , TT -h 7 7r,...5 de sorte que le plan vertical qui contient le pendule se trouve perpendiculaire à sa position initiale. Ainsi , les quatre quarts de la révolution de ce plan sont
■parcourus dans des intervalles de temps égaux à- i/-*,
et, pendant chacun d'eux, le pendule accomplit dans son plan vertical une oscillation qui l'amène de Fune à l'autre des deux directions extrêmes qui font avec la verticale les angles a et 6.
On peut encore remarquer que le plan vertical du pendule met toujours le même temps à parcourir deux angles droits, à partir d'une quelconque de ses positions.
320. Si Ton veut connaître le mouvement de la projection du point sur le plan horizontal, il faut obtenir en fonction de f , soit r et t{/, soit xeij^.
D'abord l'équation (16) fait connaître ^|/ 5 et pour avoir r, il suffira de recourir à la formule
fit et de substituer à -77 sa valeur tirée de l'équation (i5)^on
trouvera ainsi
(17) r2 = flM a'cos'.f i/^-h ê'sin'.r i/^ V
Les équations (i6) et (17) résolvent la question. On obtiendra l'équation de la projection de la trajectoire sur le plan horizontal , en éliminant t entre ces équations , ce qui conduit à
a'sin'xp -h 6'cos'i|/
Il est facile d'y reconnaître Téquation d'une ellipse. Oi^ Taura en coordonnées rectangles en posant
xzzz r cos i|/ , / = r sin rj; ;
elle devient ainsi
a»j'-h 6'x»= a^oi}^\
Ses demi-axes sont aa^bZ\ ils sont renfermés dans deux plans verticaux rectangulaires, dont Tun passe par le point de départ.
Enfin , si Ton veut avoir a: et y en fonction de f , il suffira de substituer dans les formules
X =: r cos ^p , y "=■ r sin ^ ,
la valeur de r donnée par l'équation (17) et les valeurs de costf/, sin^p qu'on tirera de Téquation (16). On trouve ainsi
x' = rt'a'cos'
On peut faire ici une remarque qui se rapporte à un principe général dont nous parlerons plus tard. Elle tient à ce que la valeur de x ne dépend pas de S, ni celle de y de a. 11 suit de là que le mouvement projeté sur l'axe des x est le même que si ë était nul , et que le pendule écarté de la verticale d'un angle a fut abandonné sans vitesse initiale à l'action de la pesanteur. Semblablemcnt, le mouvement projeté sur
PREMIÈRE ANlfÉE. — STATIQUE. 4^^
L^axe des j' est le même que si ]e pendule partait de la verticale avec la vitesse initiale donnée , qui se trouvera dirigée suivant Taxe des y. Ainsi ces deux causes de mouvement, savoir, Técartement de la verticale et la vitesse initiale, produisent séparément leur effet; et Ton a la position du mobile à un instant quelconque, en composant les déplacements correspondants à ce même instant, dans les deux mouvements qui seraient produits respectivement par chacune des deux causes agissant isolément.
