CHAPITRE VIL

TRAVAIL d'une FORCE. — FORCE VIVE.

321. Pour faire comprendre simplement l'origine de la dénomination de trav^aily supposons que Ton emploie des hommes à élever directement, d'un mouvement uniforme, du minerai du fond d'un puits à la surface du sol. Il est évident que chacun de ces hommes fera constamment un même effort égal au poids du corps qu'il élève; le temps pendant lequel il devra être employé sera évidemment proportionnel au poids total qu'on veut qu'il élève, et à la hauteur dont il aura été élevé. Ainsi , ce que Ton appelle vulgairement le travail de chacun de ces hommes, et, par suite, la dépense, sera une quantité proportionnelle à ce poid?et à la hauteur; c'est-à-dire à la force verticale qui agit , et à la quantité dont s'élève son point d'application.

C'est d'après des considérations de ce genre qu'on a été conduit à donner le nom de trax^ail (Tune force au produit de cette force par le chemin parcouru par son point d'application, lorsqu'il est déplacé suivant la direction de cette force.

En examinant le cas moins simple où le point d'application de la force ne se meut pas dans la direction de cette force , on a reconnu , comme nous le ferons voir plus tard , que l'utilité produite et la dépense occasionnée sont pro- I. 26

4o2 COURS D£ MÉCANIQUE.

portioiinelles au produit de la force par le cheiaiii parcouru par son point d'application dans le sens de la force; ou, en d'autres termes, par la projection de ce chemin sur la direction de la force. C'est à ce produit qu'on a donné gêné* ralement le nom de traitait de la force.

D'après cette définition, ]e travail sera mesuré par le nombre i lorsque la force sera égale à l'unité, et que son point d'application se déplacera d'une longueur égale â Tunité dans le sens de la force. Ainsi l'unité de travail esL le travail correspondant à un poids de i kilogramme élevfe verticalement de i mètre.

C'est dans le calcul de l'eiTet des machines que la consi dération du travail se présente le plus naturellement. Mais nous croyons devoir en parler dès à présent, parce que les remarques que nous ferons dans des cas simples , prépareront naturellement aux considérations plus générales que nous devons renvoyer après l'étude du mouvement des systèmes. La quantité de travail d'une force est regardée comme positive lorsque la projection du déplacement du point est dans la direction de la force , ou lorsque le déplacement fait un angle aigu avec cette direction. Il est négatif dans le cas contraire, qui est celui de Tangle obtus; il est soi si l'angle est droit, c'est-à-dire si le pointue se meut ni dans le sens de la force ni en sens contraire.

Si la force n'est pas constante, on est obligé, pouf calculer le travail produit d'après la définition précédente, de partager le mouvement en intervalles infiniment petits, pendant chacun desquels la force pourra être considérée comme constante -, et le travail total sera la somme des quantités élémentaires detrav^ail, c'est-à-dire l'intégrale ^Pdicos y prise entre les deux limites extrêmes ; P désignant la force variable, ds l'élément de la courbe décrite, et ç l'angle de la direction du mouvement avec celle de la force P.

Telle est la manière do^t nous entendrons toujours, tant

PREMIÈRE AlfN^E. — STATIQUE. ^o3

en signe qu'en grandeur, le travail , élémentaire ou fini , d'une force quelconque.

322. Nou^fel énoncé du principe des vitesses virtuelles. — On voit que le moment virtuel d'une force ne diffère pas de la quantité de travail élémentaire de cette force corres-^ pondante au déplacement virtuel de son point d'applic^tîon. On peut donc énoncer de cette manière le principe des vitesses virtuelles :

Lorsqu'un système quelconque de points est en équilibre, la somme algébrique des quantités de travail de toutes les forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit, compatible avec les liaisons du système.

Et, réciproquement, si cette somme est nulle pour tout déplacement possible , le système est en équilibre.

323 . Travail de la résultante de forces quelconques . — Lorsque des forces appliquées à un système rigide ont une résultante, elles se trouveraient en équilibre si l'on introduisait une force égale et opposée à cette dernière. La somme des quantités de travail virtuelles serait donc nulle , et , par conséquent, le travail virtuel de la force introduite est égal, au signe près, à la somme de ceux qui correspondent aux forces données. Et comme cette force et la résultante, étant égales et contraires, donnent des quantités de travail égales et de signes contraires , on arrive k cette conséquence :

Le travail de la résultante de forces appliquées à un système rigide quelconque est égal à la somme des travaux des composantes pour tout déplacement infiniment petit de ce système.

Dans cet énoncé , les forces sont considérées comme nécessairement positives. Or il est souvent utile d'introduire les composantes des forces parallèlement aux axes de- coordonnées , et l'on a alors à traiter des forces positives ou négatives. Nous avons discuté cette question (n" 89) pour les

^o4 * COURS DE MECANIQUE.

moments virtuels ; il est donc inutile d'y revenir pour les quantités de travail , qui n^en diffèrent pas, et la quantité élémentaire de travail , positive ou négative , d'une force qui a pour composantes X^ Y, Z, sera

dx^ dy^ dz étant les composantes, positives ou négatives, du déplacement du point d'application de cette force.

324. Force vwe, — Considérons d'abord le mouvement rectiligne d'un point ayant pour masse m , et soumis à l'action d'une force motrice F. On aura l'équation

d'^x dt^

Le travail élémentaire de cette force correspondant à l'espace parcouru dx est F dx : et l'équation précédente donne

(i) Ydx = m —--da: =:z^d,mp\

\ / dt^ *

dx v^ désignant toujours la vitesse, ou -j- On voit donc que

l'accroissement infiniment petit du travail de la force est égal à la moitié de l'accroissement de la quantité m*'*. On a donné à cette quantité mp* le nom de force vwe du mobile. Cette dénomination est impropre, puisque le produit d'une masse par le carré d'une vitesse n'a aucun rapport avec la mesure d'une force; mais nous la conserverons pour éviter les inconvénients attachés au changement de nom 5 et parce que d'ailleurs elle ne peut induire en erreur, dès qu'on s'est bien entendu sur sa signification.

L'équation (i) peut s'énoncer de la manière suivante : Dans le mouvement rectiligne d'un point librcy le trai^ail élémentaire de la force qui agit sur luiy est égal à la moitié de V accroissement correspondant de la force vive de ce mobile.

Si la force F varie d'une manière quelconque avec la

position du point , et même avec le temps , la proposition précédente aura toujours lieu pour les intervalles infiniment petits , dans lesquels on pourra décomposer, soit un temps ^ soit un espace fini. Désignons par Uq et i^ les valeurs de la vitesse au commencement et à la fin de cet intervalle , on aura, en faisant la somme des équations (i) relatives à tous les éléments qui le composent^

(2) JWP'— |w('J=/F£/a:.

La somme y pourra s'effectuer si F ne dépend que de a:, et si, dans ce cas, on désigne par (f (x) la fonction dont la dérivée par rapport à x est F, et par Xq et x les valeurs extrêmes de l'abscisse, l'équation précédente devient

Mais dans tous les cas possibles , comme le second membre fFdx est la somme des quantités de travail, positives ou négatives produites, dans tous les intervalles infiniment petits, et, par conséquent, le travail total produit dans l'intervalle fini, l'équation (2) peut s'énoncer ainsi :

Dans le mouv^ement rectiligne d'un point matériel libre, le travail de la force dans un intervalle quelconque est égal à la moitié de F accroissement correspondant de la force viv^e du mobile,

325. Relation entre la force vive et le travail, dans le mouvement général d'un point. — 1°, Supposons d'abord le point libre et sollicité par une force motrice F dont les composantes parallèles aux axes soient X, Y, Z-, les équations de son mouvement seront, en désignant par m sa masse ,

^ ^ dt^ ^ dt^ ' dr

Or, d'après ce que nous avons avons démontré (n'* 323) , le travail de la force F, pour uu déplacement ayant pour

4o6 GOUUS DE MECANIQUE.

composantes dx^ dy^ dz , est

expression que Ton obtiendra en ajoutant les équations (i) , après avoirmultiplié la première par dx^ la seconde par£^ et la troisième par dz. Ou trouve ainsi

fd^x d^Y d^z \

Xdx ^Y dx -hZdz^ m [— dx '\' -^dy -^ — dzU

ou

Le premier membre est le travail de la force F, ou la somme algébrique des quantités de travail des forces dont F serait la résultante. L'équation (2) exprime donc le théorème suivant :

Dans le moui^ement d'un point libre, la somme des

quantités élémentaires de traitait, relcttiues aux différentes

forces qui y sont appliquées, est égale à la moitié de

l'accroissement correspondant de la force viv^e du mobile.

Cette égalité ayant lieu pour tout intervalle infiniment petit, a lieu pour une somme quelconque d'intervalles, et, par conséquent, pour un intervalle fini ] ce qui donne la proposition suivante :

La somme des quantités de trai^ail des différentes forces appliquées à un point matériel libre, pendant un temps fini quelconque , est égale à la moitié de l'accroissement de la force viv^e de ce point, dans ce même interv^alle.

Lorsque les composantes totales X, Y, Z seront les dérivées partielles d'une même fonction ^ ( x , / , -s) , l'expression Xrfx -f- Y e/y H- Zt/2 sera égale à d,(f[x^y^z)^ et l'équation (2) pourra être intégrée. En désignant pas Xq-, /05 -^o) ^0 les valeurs de x^ y^ z^ u relatives au commencement de l'intervalle arbitraire que l'on considère, l'équation (2), intégrée jusqu'à une limite quelconque, corrcsr

PREMIERE ANNÛE. — STATIQUK. 4^7

pondante aux coordonnées x^ y^ z ^ donnera

2^. Supposons maintenant le point assujetti à rester sur une courbe ou une surface fixe, qui n'exerce sur lui aucun frottement, et qui ne produit, par conséquent, qu'une force normale à la trajectoire. Soient encore X, Y, Z les composantes totales des forces extérieures qui agissent sur le point.

En joignant à ces dernières forces, celle que produit la courbe ou la surface, le point peut être considéré comme libre, et Téquation (2) s'appliquera , en comprenant la force normale parmi toutes celles qui entrent dans le premier membre. Mais le travail élémentaire d'une force normale à la trajectoire est nul , puisque la projection de l'arc infiniment petit sur la normale est nul. Il ne reste donc dans le premier membre que le travail des forces extérieures •, et l'on a encore , dans ce cas ,

(4) X«fx + Ydy -h Zr/z= -i-rf./wp»,

et si

Xrfr -h Ydy -f- Zdz = r/.ç (jc, /, z) ,

il s'ensuivra

On voit donc que la relation entre le trav^ail des forces extérieures et la force vive d\in point matériel, est la même , soit que ce point^soit libre, soit quil se meuve sur une courbe ou une surface fixe, sans frottement. Si la pesanteur est la seule force extérieure , on a

Xt=o, Y = o, Z = — mg,

et l'équation ( 5) devient

1 ,7tp' — f /woj = mg{Zf, — z).