PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

326. Lorsqu'un point libre, ou assujetti à se mouvoir sur une surface fixe , est soumis à Faction de forces telles que Ton ait

\dx -h Ydf -j- Zdz = d,f (a*,/, z),

et, par suite,

la courbe qu'il décrit jouit de la propriété remarguable^ qu'en prenant pour p» cette valeur en a:, j-, z, l'intégrale f^ds^ prise entre deux points quelconques A et B ^ de cette courbe , est moindre qu'elle ne le serait pour toute autre courbe terminée aux deux points Aj B, et assujettie à rester sur la surface fixe , quand le point s'y trouve lui-même assujetti. Il s'agit donc de démontrer que

f^2<f [x^Yj Z) -hC ds est un minimum quand x, y, ^ satisfont aux équations de la trajectoire; et pour cela.il faut prouver que la variation à f^ds est nulle , v^ représentant V'sy (a:, y, ^) -f- C. Remarquons d'ailleurs que si l'on fi^it la courbe quelconque que l'on considère entre A et B, et qu'on assujettit le point matériel à y rester, en le soumettant à Faction des mêmes forces extérieures, sa vitesse serait toujours donnée par la même formule

sji(f[x^y^z) H- C. Or le calcul des variations donne

§fvds=zf§[vds) z=f(§vds H- vSds), toutes ces intégrales étant prises entre les deux points A

et B. Or

et réquatîon donne

p»= 2y(^, j,z)-hC

et il faut remarquer que dans X, Y, Z les valeurs de .X, j, 2 se rapportent aux points de la trajectoire, et que oc H- âx^ y H- $y^ z -hSz sont celles des points correspondants de la courbe infiniment voisine.

Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, on a à chaque instant

-^=X-^Ncos)i, -y~ = Y-f-Ncosfi, •— =Z4-Ncosv;

et s'il est libre, il suffira de supposer N = o dans ces équations , qui peuvent ainsi représenter les deux cas. On en déduit

•^ dt^ dt^ -^ dt*

— N{Sx cos \ H- Sjy cos fi + ^2 ces v ).

Or, la dernière partie du second membre est nulle si le point est libre, parce qu'alors N = o. Elle est nulle encore si le point étant assujetti à rester sur une surface fixe , la courbe infiniment voisine est aussi assujettie à s'y trouver, parce que la droite qui joint deux points correspondants étant perpendiculaire à la normale dont les angles avec les axes sont X, [i^ v, on a

Sx cos X 4- ^/ cos f* 4- ^5 cos V = o. On aura donc , dans ces deux cas ,

X(îa: 4- Y^J 4- Z.ÎZ r= ^ ^^ 4- -^ tîj 4- '^ ^2,

4lO COURS DE MÉCANIQUE.

et, par suite,

Maintenant de l'équation

ds^ = dx^ 4- dy -h dz^ on déduit

ds$ds=z dx§dx ^dyStlf -^ dzddz^

d'où, en divisant par dt^ et intervertissant les caractéristiques ô et d^

dx dy dz

ç8ds=i-- dSx -h -4- d^y -h-T d^z.

dt dt ^ dt

Réunissant les deux parties de la variation de J^ds^ on obtient

I dx ^ dy ^ dz ^ \

\dt ^ dt '^ dt J

et cette dei'nière expression doit être prise aux deux limites de Tintégrale. Or, elle y est nulle, puisque les deux points extrêmes étant fixes , ^ a: , Sy^ ^z y sont nuls \ et il suffirait même que le déplacement de ces deux points s'effectuât suivant une direction perpendiculaire à la trajectoire , pour que l'on eût , en chacun d'eux ,

dt dt -^ dt

La variation ôfi^ds étant nulle, l'intégrale f^ds sera, eu général , minimum ou maximum. La question ne comporte pas de maximum; mais il pourrait se faire qu'il n'y eût pas non plus minimum.

327. Quand le mobile est assujetti à rester sur une surface fixe et n'est sollicité par aucune force extérieure,

PREMlÈaE ANHIÂE. — STATIQUE. 4^ '

sa Vitesse est constante, et fi^ds==i^s'^ donc l'arc parcouru est un minimum entre deux quelconques de ses points, et, par conséquent, le temps employé à le parcourir est aussi minimum.

328. application au mouvement d*un point. — La trajectoire décrite par un point libre, ou assujetti à rester sur une surface, satisfaisant à la condition de minimum pour Tintégrale f^ds^ lorsque Ton a

X/ù?-f- Y^^^H- Zt/»= c?.ç(x,^, »),

^n peut, en exprimant cette condition, parvenir aux équations de cette ligne. Considérons d'abord le cas d'un point libre.

En mettant pour t> sa valeur tirée de l'équation

il faudra écrire les conditions de minimum de l'intégrale

Les règles du calcul des variations conduisent aux équations suivantes :

X^^ ,/ dx\ Yds J dr\ Zds [ dz\

- — =^i^^j' — =^i^^)' —^^['dsy

On sait que ces trois équations se réduisent à deux, et ce sont celles de la trajectoire , en remplaçant f^ par sa valeur en X, j-, z. Si l'on effectue les différentiations, en prenant s pour variable indépendante , on obtient

„ j d^y dy / dx dy „ dz\

ds^ ds \ ds ds ds )

^d^z dz f dx dy dz

ds^ ds \ ds ds ds

4l2 COURS DE MECANIQUE.

Si l'on multiplie la première par — ? la seconde par —»

et qu'on les retranche^ qu'ensuite on multiplie la première^

par — et la troisième par — j et qu'on les retranche , oc:^

aura les deux équations suivantes, qu'on pourra encore Cût^ sidérer comme celles de la trajectoire:

as as \"^/ "*

dz dx dz / dx\ * dx

Z — — X— =:pM--| — — •

ds ds \ds I ds

Si l'on veut prendre x pour variable indépendante, etqu'on multiplie les deux membres de ces équations par ^»

on aura

dy fdxYd^Y

dx \ds J dx^

dx \ds I dx^

Ces équations rentrent dans celles que nous avions déjà obtenues en partant des équations du mouvement d'un point sur une surface*, il suffira, pour les en déduire, de supposer nulle la force provenant de la surface. On les intégrera après avoir remplacé v'* par 2 (p (x, j-, z) H- C, etX, Y, Z par leurs valeurs données en fonction de a: , y, z.

Le principe de la moindre action donnerait de même les équations de la trajectoire quand le point est assujetti à se mouvoir sur une surface fixe.

329. Si l'on considère un point libre sollicité vers un centre fixe par une force dépendante seulement de la distance, la courbe est plane , et l'on peut se borner à deux

PREMIÀRB ANNIÊE. — STATIQUK. 4^3

Dordonnées x, j^; de plus , Xcfa: -f- Yc?^ est une diffërenelle exacte , de sorte que le principe de la moindre action lieu j et on peut l'appliquer à la détermination de la traîctoîre. Mais, dans ce cas, il sera plus simple d'employer n système de coordonnées polaires r, 0 en prenant pour 51e le centre d'action.

Soit (f la force dirigée vers le centre, on aura , en suppo- Lnt la constante renfermée dans l'intégrale indéfinie,

t l'intégrale qu'il faudra rendre minimum sera

/ ^dr^-hr^dB' sj-^iff^dr.

aQ calcul des variations conduit à l'équation

, r^dOJ — 2 f9dr ^' , -Ji-I- = o,

^dr^ -^ r'dQ^

' désignant une constante arbitraire.

On tire de là

ïtt

'^=-Hr.+ vwJ-

La force f élant.donnée en fonction de r , f<fdr sera une onction connue de r, et l'on aura ainsi l'équation polaire ela trajectoire, que nous retrouverons plus tard par une utre méthode.

4l4 COURS DE MÉCANIQUE.