DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE

m. désignant un nombre entier quelconque; on aura alors

tang 72 0 == — tang e = — n tang a.

La plus petite valeur de 9 qui satisfera à cette équation donnera la direction vers laquelle tendra le rayon vecteur en croissant indéfiniment; mais on ne l'obtiendra qu'après un temps infini , comme on le reconnaîtrait facilement en exprimant t en fonction de 0, d'après l'équation

r'f/Ô z=zcdt.

Z^. Supposons, en dernier lieu, . , . , ^ — i == /*'• ^^ ' ' rj pj sm' a

En intégrant l'équation différentielle de la trajectoire,

on trouvera d'abord

et en déterminant les constantes  et B d'après l'état initial, on obtiendra

On voit par là que, 0 croissant indéfiniment, r tendra vers zéro.

Si , pour plus de simplicité, on suppose a = -» on aura

^nB^^^ne

Cette spirale sera symétrique par rapport à l'axe polaire \ ses deux branches auront le pôle pour asymptote , et il est facile de voir que le mobile y parviendra après un temps fini. En effet, de l'équation

r^dr=zcdt

22 COUBS DE MECANIQUE. ^

on tire - • •. ■

nci I - •

Déterminons la constante Ci par la condition qu'on ait à la fois f = o, 0 = o, on trouvera

et , par suite ,'

net

Or, 9 croît indéfiniment à mesure que t s'approche de — ;

ainsi le mobile parvient au pôle au bout de ce temps.

Si l'on cherche le mouvement qui a précédie l'époque prise pour origine du temps, il faut supposer t négatif; Téquation précédente donnera alors 0 négatif, et l'on trou-

vera 0 = — oo lorsque Ton aura t = ^ > comme on pouvait le prévoir.

Il est un cas particulier qui mérite d'être remarqué : c'est celui où il n'entre qu'une seule exponentielle dans l'équation de la trajectoire, qui devijent alors une spirale logarithmique. Ce cas a lieu quand ou a

cot OL =:£:n.

Supposons , par exemple, cot a = — n. On a pour l'équation de la trajectoire

C'est ce qu'on aurait pu reconnaître immédiatement an

DEUXliME PAETIE. DYNAMIQUE. 23

moyen de rëquation (3) qui, dans le cas actuel , a la fomie

Or, lorsque les constantes données satisferont à la condition ^^J = ^ j il est évident que Féquation donnera une va-

leur constante pour le rapport -^ ^ qui est la tangente de

IHnclinaison du rayon vecteur sur la courbe; or, c'est là la propriété caractéristique de la spirale logarithmique. Dans ce cas , la valeur de «*, qui est

c* rj pj sin' a

devient

sin'a

I , ou cet' oc ;

ce qui ramène à la condition déjà trouvée.