NM,; N'M;=NM
»; = »„ «,' = iid
donc (6) deviendra, en y remplaçant en outre dy' dz' par S'«' , ,
Pour les limites de y' et z', l'équation (7) donne :
ou :
comme pour les limites définies par (5) ; donc :
d'où:
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Donc, les composantes A, B, C de l'attraction exercée par le premier ellipsoïde sur le point extérieur N se ramènent à celles A', B', C de l'attraction exercée par le second ellipsoïde sur le point intérieur N' ; or, nous savons calculer A', B', C; nous en déduirons donc A, B, C. On aura, par les formules relatives au point intérieur :
sin Q cos'Udfl
A'=~i~fv.p3.'b'c' I •-
Ja I
k'(a"sin'6+ &"cos'6){o'*sin'9-t En vertu de (8) et de :
k'a' -i-X*^ " (/(>.+ a'sin'9+i*'cos'eX).-i-a'sin'e+c*cos'8) Reste à déterminer X, ce qui se fera au moyen de l'équation :
a" fr" c" '
qui exprime que le second ellipsoïde passe par le point N (a, 0, y). On peut l'écrire :
(10) -y^ + tJ^ + -,^~ - i = 0.
' a' + X ft* + X c' + X
Cette équation du troisième degré en X admet une racine comprise entre zéro et -|~ oo, une autre entre — b' et — c% et une troisième entre — a' et — 6', (a* < &' < c'). I^ seule valeur qui donne un ellipsoïde est la première racine.
Résumons nos formules, et introduisons la masse M de l'ellipsoïde :
M — A r.abcf.
et nouf! aurons :
1' Pour un point intérieur (a, p, y) :
(a) k = -3f^a'-n jinocc-erf.
'^J " y (à' sln' 9 + ft' cos' 0) (fl' sin* 9 + c' cos' 9j
et pour B et C des expressions qu'on déduit de la précédente en permutant abc, aPY.
2" Pour un point extérieur (a, g, y) :
(b) A— — 3/}tM ! f
k'a'+ V * K(>.+a'sin'9+ fr'cos'S) (î,+ a'sin*6 + c' C08*6)
et pour B et C des expressions semblables; X désigne la racine positive de l'équation :
Dans les deux cas, on est ramené à des intégrales elliptiques. Lorsque le point attiré est sur la surface même de l'ellipsoïde, on a :
il en résulte >. = 0, et les deux] formules (a) et (&) donnent bien la même valeur pour A, B, C.
96. Remarques sur le théorème d'Ivory. — Ce théorème, démontré précédemment, peut s'énoncer ainsi :
Les attractions que deux ellipsoïdes homofocaux exercent, parallèlement à chaque axe, sur deux points coiTespoTidants, placés sur leurs surfaces respectives, sont entre elles comme les produits des deux axes perpendiculaires à chaque composante.
Soient A, B, C les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde E aux axes 2a, 26, 2c sur le point extérieui- M (a, g, y) ;
A', B', C les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde E' aux axes 2a', 2b', 2c' sur le point intérieur M' (a', p', y') ; A', B', G' les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde E' sur le point M de ta surface. On aura, par te théorème d'Ivory :
A' &V B^ Ca'. C a'b' k~' bc' B ~ co ' t~ ab
Mais on a aussi, d'après ce qui Fm180 a été démontré relativement à l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur :
^ b' C ' De (11) et (12) on déduit :
a'b'cf abc
D'où ce théorème :
L'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur a la même direction que celle qu'exercerait sur lui un ellipsoïde homofocal passant par ce point, et leurs intensités sont entre elles comme les volumes de ces deux corps.
Soient maintenant deux ellipsoïdes homofocaux E, E„ aux axes 2a, 26, 2c, 2a„ 2&„ 2c,; et A, B, C, A„ B„ C, les composantes des attractions exercées par ces deux ellipsoïdes sur un même point extérieur M; E' un ellipsoïde homofocal aux deux premiers, dont ia surface passe par M, 2a', 2&', 2c' ses axes, A', B', C les composantes de l'attraction qu'il
exerce sur le point M;^ on aura, p:ir le théorème précédent :
A/ B' G^ a'h'c' A "" B ~ C ~ abc' A, B, C. fl|6,c.
d'où :
Cj o,6,c, 3 ' ' " G "" abc ~~ï ~
D'où ce théorème dû à Maclaurin :
Deux ellipsoïdes homofocaux homogènes exercent sur un même point extérieur auxdetix, des attractions de même direction et dont les intensités sont proportionnelles aux volumes de ces corps.
Remarquons que le théorème d'Ivory a lieu quelle que soit la loi d'attraction. En effet, supposons l'attraction proportionnelle à une fonction quelconque de la distance r (u), on aura;
A = fv-?jjTf {") ^^ da: dp d: = fi^pffj (?«) ^ ''" <*y '*-•
(M)dl* = F(M),
A = fr pjjl F {»,) - F (»,) j dy dz, A'=frpj[jf|F(«:)-PM|iyiV;
r ; î «lotie : p , . ^ , ;
k~ bc'
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