CHAPITRE XIV
HOVTEMENT D'UN POIRT lUTÉRIEL SUB OHE SURFACE FŒ DORHÉE,
110. Avant de nous occuper du mouvement d'un point matériel sur une surface, nous allons donner une généralisation importante du piincipe des aires.
Considérons un point matériel libre, ou rendu tel par l'introduction de la résistance de la courbe ou de la surface sur lesquelles il pourrait êti"e assujetti à rester; soient X, Y, Z les projections sur trois axes rectangulaires de la résultante R des forces qui agissent sur le point matériel; on aura :
(1) "•ïii = X; •»i,. = ï; '»3iî=^-
On en déduit :
)ment de la force R pj t est nul, on aura :
d ( dy dx\ .
a; Y — î/X est le moment de la force R par rapport à l'axe des z; si ce moment est nul, on aura :
c'est à dire que le principe des aires aura lieu pour la projection du mouvement sur le plan des xij. Le moment de R par rapport à Os sera ntil, si R rencontre 0;;, ou lui est •paniUèle; on a donc ce théorème :
Quand la résultante des forces qui agissent sur un point matériel est toujours dans un même plan avec une droite fixe Oz, îea aires décrites par le rayon vecteur de la projection du mobile sur un plan xOy perpendiculaire d Or êont proportionnelles aux temps.
Réciproquement, si les aires sont proportionnelles aux temps, l'équation (3) a lieu et (2) donne ;
œY - yX = 0,
c'est à dire que le moment de la force R par rapport à Oz est nul, ou que R est toujours dans un même plan avec Or. On voit que dans ce cas on a une intégrale (3), c'est l'intégrale des aires.
114. MoQTemeQt d'un point matériel sur nne surface fixe donnée. — Soient x, y, z les coordonnées du point, qui se trouve constamment sur la surface. (*) f{x,y,z)=.0.
Nous supposerons que le point ne puisse pas sortir, dans son mouvement, de la surface (i), quelles que soient les combinaisons mécaniques employées pour obtenir ce résultat; par exemple, pour plus de simplicité, que la surface constitue un obstacle matériel sur lequel le mobile se trouve appuyé. Nous continuerons d'appeler réaction de la surface, la force, dirigée suivant la normale, capable de tenir lieu de la présence de la surface. Soit N cette réaction inconnue ; en l'introduisant, nous pourrons considérer le point comme
libre ; soient X, Y, Z les composantes de la force qui agit directement sur le mobile, nous aurons :
d'x „ „„ df ar dx
7; m'HB'^iïï
En éliminant NV entre les trois équations (2), on aura deux équations qui, combinées avec (1), permettront de déterminer x, y, 2, en fonction de (; l'une des équations (1) servira ensuite à déterminer NV, d'oii la valeur de N et le signe de V.
Assez souvent, on profite de l'équation de la surface pour exprimer x, y, z en fonction de deux variables indépendantes X et [A. Par exemple, si l'équation (1) est celle de l'ellipsoïde :
on pourra poser :
a! = ocosXcos[*; y
= & cos X sin
: = csw
Soit d'une manière générale :
(3) aî = ?(X, [.);' s
■=♦(>., ri;
On tirera de ces équations
ex dt'' en fonction de
de
df dt'
