Cas où aucune torce extérieure n'agit sur le mobile
— La seule force dont il y aura à tenir compte sera la i-éaction normale de la surface ; on sait que, pour un point libre, la résultante des forces est située dans le plan osculateur; ainsi, la normale à la surface est une normale à la courbe décrite par le mobile situé dans le plan osculateur, donc c'est la normale principale de la courbe, et le plan osculateur est normal à la surface en chacun des points de la trajectoire. Donc la ti'ajectoire est une ligne géodésique de la surface. On aura en outre :
p dt
Ainsi, la vitesse est constante, et la réaction de la surface est en raison invei-se du rayon de courbure.
SYNAUIQUE. 03
Heharque. — Les l^nea géodésiquea définies par la condition d'avoir leur plan osculateur normal à la surface en tous les points, jouissent donc des trois propriélôs suivantes :
1° Propriété géométrique. — EHles sont les plus courtes entre deux de leurs points.
- C'est la figure d'équilibre d'un
2° Propriété statique, fil tendu sur la surface.
3P Propriété dynamique. — C'est le chemin que suit sur la surface un mobile abandonné à sa propre vitesse.
Le moyen le plus commode de déterminer les lignes géodesiques d'une surface est souvent de les considérer comme les trajectoires décrites par un point matériel lancé sur la surface sans qu'aucune force extérieure n'agisse sur lui (').
113. HouTement d'au point matériel pesant sur un plan incliné. — Soit le plan FCD, faisant l'angle a avec le plan borizontal HCD. On peut décomposer ie poids MP XX mg du point matériel, en deux forces : l'une iS.B = mg cos a normale au plan, l'autre MA = mg sin a dirigée suivant la ligne de plus grande pente; il y aura aussi à considérer la réaction normale N du plan; en sorte que le point matériel sera soumis à l'action des forces N et mg cos a, normales au
(>) Voir : JicoBi, Vorleêungen uber Dynamik, pour li^es géodésiqoes de l'ellipsoïde.
1 (Iclermi nation dea
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64 COURS DE UËCÀNIQUE.
plan, et à la force mg sin « située dans le plan, et ayant dans ce plan une direction constante. On aura :
N = fflff cos a, et le mouvement sera produit exclusivement par la force mg sin a, de direction et d'intensité constantes. Donc, ce mouvement sera un mouvement parabolique, l'axe de la pai-abole étant parallèle à la ligne de plus gi-ande pente du plan. Si la vitesse initiale était nulle, le mouvement aurait lieu suivant la ligne de plus grande pente du plan ; on pourra appliquer les formules données pour le mouvement des corps pesants dans le vide, en y remplaçant g par g sin «.
114. HouTement d'un point matériel pesant sur nne sarface de révolution dont l'axe est vertical. — Prenons l'axe de révolution pour axe des z, et supposons-le vertical et dirigé vers le haut; soient a;, i/,z les coordonnées du mobile; au lieu de ic et y nous prendrons les coordonnées polaires r et 0, de manière que J, r et 0 Xseiont les coordonnées du mo ^ /^ bile ; l'équation de
la surface de l'évolution sei'a :
Fij,188
A la pesanteur.tng, il faudra joindre la réaction normale de la surface, laquelle sera située dans le plan méridien et rencontrera Oz; la résultante des deux forces qui agissent sur le mobile rencontrera cet axe, et le principe des aires aura lieu pour la projection sur le plan xOy; le' principe des forces vives a lieu aussi ; on aura donc :
dx'
+ dy'
if
ix'
+ dy'
= dr>
+ r' lis'
rfr' + r* rfe
' + iij'
ei en remplaçant dz par f'{r) dr :
,dr'\l +r'{r)\-i-r'd6\
si l'on met au lieu de di sa valeur r' — » il vient :
drMl+/"(r)i + r*do' «'='=' ^0.-^ = "o' + 2?2o - *ff /'C")'
et en résoh'ant par rapport kd^:
r Y r-\v.' + ïgz, - ig t(r) | ou, en intégrant ;
On aura donc l'équation de la projection de la trajectoire par
Despethocs. — Mécanique. II. 5
618 COURS De «ÉCAMQUE.
une quudi-ulure; on aura ensuite :
et en lemplaçanl (iO par hu valeur ci-dessus :
l + /"lrl
«.• + Jj:. - ig m 1 - c'
-^Tw,.!/
(^> - ^. ■ " r r- s c.' + igz, - igfir) | - c'
en désignant par )■„ i'„ z, et % les voleurs initiales de r, y, z et 9.
Il nous reste à déterminer la constante c, à t'aide des conditions initiales.
Désignons en général pur a l'angle que fait la vitesse au point M avec la tangente au parallèle en ce point ; soient M' un point infiniment voisin de M, M'N le méridien du point M', qui rencontre en N le méridien du point M; on a :
MN rdi cos. = ^ = -^;
d'où;
tJ cos a = ^- = -ï-tt; donc :
(i) c = r lî cos a.
En appliquant cette équation générale â l'Instant initial, on
aura:
Ko est l'une des données : c'est l'angle que fait la vitesse initiale avec ta tangente au parallèle du point de départ,
Reste enfin à fixer le signe qu'on doit prendre au départ, dans les formulei (A) et (B) ; on a :
âi^f (r) ir.
uïNAMiycic. 67
Si /■('■.) > 0, 3 augmente avec r; si ilont: en M, ie mobile est lancé au-dessus du parallèle du point M„ r devra commencer pai' croître ; il faudra prendre aloi-s le signe + dans les formules (A) et (B). Les formules (A), (B), (C) résolvent donc entièrement le problème.
115. Lignes géodésiqueB des surfaces de révolution. — Si, dans les formules ci-dessus, nous supposons 3 = 0, nous aurons la trajectoire suivie sur 'notre surface de révolution par un point matériel animé d'une vitesse initiale, sans qu'aucune force agisse sur lui; nous savons que cette trajectoire est une ligne géodésique de la surface; en faisant varier r„ 6,, f„ «,, on aura toutes les lignes géodésiques.
L'équation (A) donnera, en faisant — = r :
V étant constamment égal à v. dans ce cas, la formule (i),
donnera :
(3) ■ r cos a = - = i.
C'est la propriété caractéristique des lignes géodésiques des surfaces de révolution, et c'est d'elle qu'il faudra partir en général pour trouver les équations de ces lignes; elle exprime qu'en chacun des points d'une de ces lignes, le produit de la distance de ce point à l'axe de la surface, par le cosinus de l'angle que fait en ce point la ligne géodésique avec le parallèle, est constant.
Proposons-nous comme application de trouver les lignes géodésiques du cône de révolution. On aura pour l'équation tlinerentielle des lignes géodésiques du coue :
Soit 3 l'aiiy'c
uu sommet du cône, on a :
lionc :
et
par suite :
smf
; = r colg ?,
f{r) = r cotg 5,
d'où on déduit
arccos*=smM«-«.),
*=cos|(9-6.)smp(.
"cos[(9 — V sin M" On déterminera les constantes k et e„ en écrivant que la 1^8 géodésiqu» passe par deux points donnés.
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