MC
la force F, est diiigée suivant le prolongement du rayon G M, et elle a pour valeur F, = miù'r; on lui donne le nom de force centrifuge, à cause de sa direction; mais- c'est une force purement fictive. L'axe instantané de la rotation, pour un point quelconque, est parallèle à l'axe fixe, et la vitesse " angulaire de la rotation est égale à w.
125. Problèsie. — Déterminer le mouvement d'un point pesant placé dans l'intérieur d'un tube rectiligne, qui décrit un cône droit autour de la verticale d'un mouvement uniforme.
Soit OB le tube, M la position du mobile à l'époque t, OM = s; comme nous étudions le mouvement relatif du point matériel, il faut introduire les forces fictives F,=mw' MA = m(D* a. sin «; la force F, perpendiculaire à la vitesse relative est normale au tube; les autres forces sont : le poids MP = mg et la réaction du tube qui lui est normale; projetons ces forces sur la droite OM, nous aurons :
dt ' = Tt'
^ = y CO8 a + w' sm' :
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DTNASnQUE. 91
La réaction du tube et la force centrifuge composée n'inter- Tïennent pas dans cette équation; on peut écrire :
„ / 0 cos « \
\ lu'sm' a./ , . , / ff cos a \,
■— ^^ —z =w'siD'ii(» + \ . , ]>
dl' \ u* sin' a/
en intégrant, il vient :
w' sin' a
(2) . ^ = usins[Ae'— ^"-Bc— ••^«].
Pour déterminer les constantes arbitraires, nous supposerons qu'à l'époque initiale t^O,ie mobile soit placé en 0 sans vitesse initiale; nous devrons avoir pour t = 0 :
les équations (1) et (2) donnent ; •
2id* sin* a et il en résuite :
gCOSi
Le mouvement est entièrement connu par ces formules.
On peut avoir aisément l'équation de !a projecfion sur le plan horizontal de la courbe décrite dans le mouvement absolu du point matériel; soient en effet r et 6 les coordonnées polaires d'un point quelconque de cette projection ; on a:
raisin», ftBi»^
l'équation clierchée est donc :
C'est l'équation d'une spimle.
i26. Remarque sur l'exteasion des théorèmes généraux de la Dynamique aux mouvements relatifs. — On pourra appliquer ces théorèmes, en ayant soin d'avoir égai-d aux deux forces fictives ; on peut remarquer toutpfois que dans l'établissement de l'équation des forces vives, il n'y aura pas à s'inquiéter de la force centrifuge composée, dont le travail est nul, puisqu'elle est constamment normale à la trajectoire relative.
i27. Mouvements relatifs à la surface de la Terre. — Considéi-ons d'a- Hg.13/ ^^P___ ^„ bord le repos rela-
tif à la surface de la Terre; soitOP l'axe de rotation . de la Terre, ta la j vitesse' angulaire / de rotation, AM un pendule, A le point fixe, M le point matériel. Les forces physiques qui agissent "sur ce point sont: la tension MT du fil, dirigée suivant MA, et l'attraction MB. Pour avoh' le repos relatif, il faut introduire la force fictive MF, dirigée suivant le prolongement du rayon MQ du paralliilo du point M. Ou a :
MF, r^MwM«Q = mù)V.
Les trois forces MT, MF,, MB doivent se faire équilibre;
donc MT sera égale et opposée à la résultante MG de l'attraction et de la force centrifuge. Ainsi, la direction du fil ne sera pas celle de l'attraction; la pesanteur apparente sera représentée en grandeur et en direction par MG; toutefuis, cette pesanteur apparente différera peu de l'attraction, parce que w est petit; en effet, la Terre tourne sur elle-même en un jour sidéral, c'est-à-dire en 86 \Gi secondes de temps moyen; on a donc :
La plus grande valeur de l'accélération due à la force centrifuge, wr, a lieu à l'équateur, où on la trouve égale à 0° ,033 852; si on compare cette* accélération à celle qui est due au poids du corps, et que nous avons représentée par jy, on trouve qu'elle est environ 289 fois plus petite que cette dernière accélération. Ainsi, la force centrifuge est très petite, par rapport à la pesanteur apparente et par suite par rapport à l'attraction. La rotation de la Terre sur elle-même n'a donc qu'une influence assez faible sur l'intensité de la pesanteur, et sur la direcliori de la verticale. On a : 289 := 17*, de sorte que, si la Terre tournait 17 fois plus vite, la force centrifuge à l'équateur serait égale à l'attraction et, par suite, à l'équateur le poids apparent d'un corps se réduirait à zéro.
Dans les mouvements relatifs terrestres, nous avons à considérer trois forces : l'attraction G et les forces fictives F, et F, ; dans les limites des petits mouvements terrestres G et F, sont constantes en grandeur et en direction. On pourra remplacer G et F, par leur résultante, qui sera constante en grandeur et en direction; cette direction sera celle de la verticale; nous n'aurons donc plus qu'à considérer la force centrifuge composée.
94 COUHS DE MÉCANIQUE.
128. Calcul des composantee de la force centrifage composée. — Soient 0 un point de la surface de la Terre, OP la parallèle menée par ce point à la partie nord de l'axe de rotation, OA la parallèle à la vitesse relative v, OB la direction de la force centrifuge composée, perpendiculaire sur le plan AOP, et en sens contniire de celui où la rotation directe autour de O P entraîne la vitesse relative OA; soit 9 l'angle AOP. Prenons trois axes rectangulaires 0 X , Fi<) 198 Oy, Oz, liés à la Terre, et tels que, pourj un observateur couché le long de 0 z, les pieds en 0, et la tète en z, et regardant 0 x, l'axe Oy soit à la droite de cet observateur. Soient :
a, b, c les cosinus des angle» de OP avec les axes, fl'.fc'fc' — — OA -
a',b',cr — '— OB —
On aura :
aa' + bb' 4- ce' =0, a' a' + b'b' + c' c' = 0,
' — cb' ca' — ac' ab' — ba'
k'((»c' — cb')' + {ca' — ac'Y ■+■ (ab' — ba')'
S(fcc' — c6')'=(o* + 6' + c*) {a'*
il viendi-a donc :
. fcc' - eb' . ,,, ^
Hc'') — {««'+ 66' + ce')* = ! — cos' ô = siti' 6,
Reste ù savoir le signQ qu'il faut prendre, et qui est du reste le même dans les trois formules.
Considérons pour le moment un nouveau système d'axes rectangulaires Ox„ Oy„ Oz„ disposé comme le précédent, pouvant par conséquent coïncider avec lui; faisons coïncider Or, avec OP, et le plan z, Ox, avec le plan AOP;la rotation ayant lieu de y, vere z„ entraîne la vitesse relative OA du côté du plan z, Ox, opposé à Oy,; donc la force centrifuge composée OB sera dirigée suivant Oy,; on aura dans ce cas :
fl„ = 0,
La deconUe des formules (1) donnei'a :
/ a\ = sin 8, . a\ — 0, ' h'.=0, b\ = -h I,
cos 0, ' c\ = 0.
il faut donc, dans ce cas, prendre les signes supérieurs, et
l'on a :
~fab'„ , , Cjfl'o — a,c'j
a.fr'.
Je dis que le signe, une fois choisi, se coiiseiTe et qu'on aura, dans tous les cas :
sin 0 ' sin â ' sin 6
En effet, si nous déplaçons d'une manière continue notre nouveau système d'axes, les cosinus abc, a'b'c', a'b'c' des angles qu'ils forment avec les directions OP, OA, OB, varieront d'une manière continue; si le signe commun des seconds membi-es des équations (3) venait à changer, c'est que a'b'c' se seraient annulés tous les trois, ce qui est impossible, puisque l'on a a'' + b" + c" = 1. On pouira ainsi amener le nouveau système d'axes à coïncider avec l'ancien. Donc, les formules (3) ont toujours lieu.
Soient maintenant p, g, r les projections de la rotation a sur Ox, Oij, Oz. On aura :
' V dt' V dt
Il en résulte que l'on a, sans ambiguité :
1 / dz dy\
" '=:;Fsi^nVdi~''rir h' — * / ^ îi\
""wusinô \ dt ^ dt}'
i ( dtf dx\
'='^v-sï^^Vdi'^Tt)'
Nous choish'ons de la manière suivante les axes Ox, Oy, Oz : Oz vertical, et dirigé vers le haut; Ox horizontal, dirigé vers le nord; Oy horizontal, dirigé vers l'oBt.
Ces axes auront bien la disposition que nous /y avons supposée. L'angle POx, ou la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon du lieu, sera égid à la latitude '
On aura :
j) := w cos X; 5=0; et par conséquent :
du lieu î,.
Z, = 3mu CCS
'' dt'
129. Application an monvemeiit relatif des projectiles en négligeant la résistance de l'air. — Les équations du
D^a-EVnous. — Jfe'caBtf/ne, II, 7
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mouvement seront :
On peut intégrer une première fois; nous supposerons qu'on ait pris pour origine la position initiale du projectile, et nous
désignerons par o, b, c les valeurs initiales àe-rj' j:' ^;
nous avirons :
On a là un système de trois équations linéaires simultanées, avec seconds membres; on pourrait les int^rer aisément; mais les formules que l'on obtiendrait ainsi seraient assez compliquées, et d'un'emploi peu commode. Il est préférable d'effectuer les intégi'ations par approximation, en partant de ce que w est très petit ; dans une première i approximation, en négligeant u, nous aurons :
/ ar, = al,
(i) ) y. = fr',
Nous BuronR la eeconde approximation en remplaçant dans les aecondç membres dei équations (3) x, y, z par «„ y„ x„
ce qui donnera :
-7- = a — 8(0 frsin X.l, al
~ — b + 2(1) (a smî..( — ccos >,.( + ^gcQsX.Vy
j2 = c — gl-i-ïm fecosX.ï.
On en déduira, pour la seconde approiimation : / X, = aï — 6ù) sin X.(*, \ y, = 6ï + M {a sin X — c cos >.) ï' + ^ ga cos X. C,
On pourrait obtenir aussi facilement l'approximation suivante.
Cas de la chute libre. — On n'aura qu'à faire dans les formules (5) a =; 0, b =; 0, c = 0. On en déduira :
(6) a-, = 0; il, —~\S<^ cosX-C; -, — — 5?''-
Soit h la liauteur de cfiute; on aura :
y, étant positif, il y a une petite déviation vei-s l'est. Appliquons cette formule à des expériences qui ont été faites par - M. Reech, dans un puits de mine à Freyboi^; on avait : h = ISS^jO; X = M"; en remplaçant X et h par ces valeure, et mettant aussi pour t» et ^ leui's valeurs^ on trouve
iOO COURS DE MÉCANIQUE.
y, = O^jOSTd pour la déviation à l'est. L'expérience, répétée un grand nombre de fois, a donné pour cette déviation le nombre 0™,0283, nombre qui diffère très peu du
