Mouvement relatif d'un point pesant assujetti à se
moovoir sur on plan horizontal. — En désignant par N la
réaction du plan borizontal, les équations du mouvement
seront :
d'j; „ ■ . dy
— - = — 2u sin ï, -ï7 .
1 dt' dt
\ d*y ^ { . ^dx ^ dz\
-'; = 2(1» ( sm X -^ — cos X -r- Il
I dt* \ dt dt)
I d*s „ ^ . dy
■ Or, on doit avoir constamment c = 0, d'où ^ = 0, -^s". = 0 ; il en résulte donc :
•il' (Il
, L'équation (7) donnera laréaction N ; les deux autres peuvent être intégrées rigoureusement, d'une manière très simple; on en déduit d'abord :
(te'
Ainsi, la vitesse est constante; en intégrant ensuite les équations (8) et (9), et désignant par a, l'angle que fait
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avec Ox la vitesse initiale v„ il vient f dx
f ^ =;f. sin «n + 2u sin à.:e; \ dt
et en portant ces'valeurs dans (10), on trouve ;
2w8inX/ ~r 2MsinxJ "^ ^* îwsinX/' ce qui est l'équation d'un cercle, dont le rayon est s — ^r^' à la latitude de 30", ce rayon a pour valeur — = 13698 v, ; ainsi, le mobile devrait décrire un cercle d'un très grand rayon, et le décrire d'un mouvement uniforme.
On peut arriver au même résultat d'une manière un peu différente. Les trois forces qui agissent sur le mobile, la pesanteur, la réaction du plan, la force centrifuge composée, étant normales à la trajectoire, leur travail est nul, et le principe des forces vives nous montre que la vitesse est constante; ainsi v :=; v,; les composantes X, et Y, de la projection de la force centrifuge composée ont pour expressions :
X, = — SmusinX-:?: Y, = 2musin X -j-- Ut' dt
Soit X l'angle de la vitesse avec Ox; on a :
dx dy
— = fn cos s: :ît = »» sm a..
dt at
I) en résulte :
i X, = 2fB(i) lî, sin X cos (a + 5))
I Y, = 2mu p, sin X sin la + xj- Ce qui montre que la force motrice fait avec Ox l'angle
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103 COURS DE «ËCAniQUE.
a+ "-et que l'intensité de cette force est égale à 2mw, sin Xv, ; elle est donc normale à la courbe, et constante; mais on sait que la composante normale a pour expression générale — » p désignant le rayon dé courbure ; on a donc : ■•
— - =2m<D r, sin X, doti :
'' ~ a^iïTx' Ainsi, le rayon de courbure est constant; la courbe décrite est donc un cercle. Le temps T employé par le mobile à décrire son cercle sera :
Soit T' la durée de la rotation de la Terre sur elle-même;
on a :
«Tt
il en résulte :
2 sm A
quantité indépendante de v,. ,
Rkmarque. — Soient OA la direction de la vitesse à un moment quelconque , 0 B Fig 201 peiie de la force centnfu<îe composée; l'angle AOB est yi " droit, et OB est situé à droite
/■^^ deUA; donc, un corps quel-
\^-'' conque en mouvement dan^
■" un plan horizontal tend, en
vertu de la rotation de la Terre, à dévier vers la droite ; l'intensité de la force déviatrice 2»tùi v, ein ï. varie de
DYNAMtOUE. 103
zdro, à réijtuteur, à 2mu v, qui eat son maximum au pâle. Ainsi, un goi^b en mouvement dans un plan horizontal silué sur l'hémisphère nord a une tendance à dévier à droite de sa vitesse. Les fleuves rjui coulent dans l'hémisphère nord, sous des latitudes élevées, exercent en moyenne une plus grande pression sur leur rive droite que sur leur rive gauche; la force qui tend à dévier le fleuve à droite, est 2mùi V sin X; elle peut être grande à cause de ïh; la rive droite sera entamée peu à peu.
■tSl .' Pendule de Foucault. — Nous allons étudier les petits mouvements du pendule simple à, la surface de la Terre, en tenant compte du mouvement de rotation de la Terre.
Prenons le point de suspension pour origine : soient Ox la portion nord de la méridienne, Oy la perpendiculaire à Oar, dans le plan horizontal, dirigée vers l'est, Or vertical et dirigé vers le has. Nous, représenterons la tension MA du fil par mN, m désignant la masse du point M; les forces réellement appliquées au point M sont : la pesanteur MP =: mg et ia force mN; il faut y joindre la force centrifuge composée, dont les composantes seront X„ Y„ Z,; nous aurons ainsi, pour les équations du mouvement, en représentant OM par l :
(Px „ » X.
dt* l m
dU „ z Z,
04 COURS DE MÉGANIQUE.
On déduira les expressions de X„ Y,, Z„ de celles données récédemment, en y changeant z en — z, et Z, en — Z„ ce ui donnera :
si„xg + î
w cos).
,es
équations (1) (le\iendront donc :
fr'-
...■Jl.
il'
- ï» sin À
cos X $^ + N Al
a d'ailleurs :
Le problème est ramené à la détermination des quatre nconnues x, y, s, N, à l'aide des équations (3), (4), (5) !t (6) ; on ne sait pas int^rer rigoureusement ces équations, 'tous nous bornerons au cas des petites oscillations; on ire de (6) :
>n aura, en série convei^ente
Dans le cas des petites oscillations, -j et ^ sont des quan-
tités petites; y diffère de 1 d'une quantité petite du second
ordre; il en sera de même de ^ qui ne différera de zéro
. que de petites quantités du second ordre, 7 et ^ étant considérés comme étant du premier ordre; l'équation (5) donnera donc :
et cette valeur sera exacte, aux quantités près du second ordi'e ; les équations (3) et (4) deviendront :
I,es quantités négligées dans (7) et (8) Bont de l'ordre i-.)
et f .1 : dans ces mêmes équations, les termes en w^ jT'
Mff rfi' " Tt' ^*^^*- ^^ l'ordre de u (-ri J u (tJ ; négligeons encore ces quantités et les équations (7) et (8) vont devenir simplement :
en posant, pour abr^er,
lù' = 0) sin X.
Pour intégrer, nous déduirons des- équations (A) et (B),
multipliées respectivement par 1 el V — i et ajoutées :
et cette équation, à elle neule, tiendra Heu des équations (A) et (H). C'est une équation linéaire, à coefficients constants, dont l'intégrale générale sera :
(») x+ij V^i — Ac-'v^i + Be"' v'=n.
A. et B désignant deux constantes arbitraires, r' et r' étant les racines de l'équation :
donc :
en posant :
il en résulte :
(10) 1» -+- y k!^ = Ac"*'+«'v'^ + Bp'"'-*" V^,
Pour déterminer les constantes arbitraires, nous supposerons que le pendule ait été amené en 0M„ et abandonné à lui-même sans vitesse initiale apparente; soit m, la projection de M, sur le plan a'Oy. Posons :
on devia avoir pour f ^ 0 :
rfj „ dti « = a cos «, y = a sin a: — - = 0, -t^ = 0 ai at
OïNAMIQOt.
Los éqtiatioDfl (10) «t (H) donneront :
Faisons un changement de variables, en posant, %tt r, étant de nouvelles variables réelles :
(«) x + tf 1^^ := e-<->'' + »> V~' (s + T, y^),
il en résultei'a :
ç + ïi l/^ = (?(cos Ar — ^ K^ sin Am-
(D) ^ — a coi ht,
(E) '^ ~ ^ " T *'" *'■ On déduit, du reste, de (12) :
» =ï: Ç C08 (w' ( + a) — ii lia (w' 1 + a), y i±Ê ( siD (w' f + a) + 1) cgs (w' ( + «).
La solution générale, dans le cas des petites oscillations, est donc fournie par les équations (D), (E), (F), (G).
SigoificatiOQ géométrique des variables Ç et y;. — Concevons un système d'axes rectangulaires 0?, Oij mobiles, l'axe 0; faisant avec Om, l'angle ta't, et Ot; faisant avec Om, l'angle 90° + w'(; 5 et i) seront les coordonnées ■j de la projection du mobile M sur le plan horizontal, coordonnées rapportées aux axes mobiles 0? et Oy;. Des équations (D) et (E), on tire :
Bonc, le jjendule décrit une ellipse, et le grand axe de cette ellipse tourne, d'un mouvement uniforme, de x vers y, c'est-à-dire du nord vers l'est, avec la vitesse angulaire u' = id sin X'. Reste à examiner dans quel sens l'ellipse est parcourue. En désignant par r et 8 les coordonnées polaires du point m de l'ellipse, rapportées à 0; et Oi;, on tire de (D)et(E):
donc ô décroit sans cesse, et le mouvement sur l'ellipse se fait dans le sens indiqué par la flèche ; donc le mouvement du pendule et le mouvement du grand axe de l'ellipse sont de sens contraires. Dans le cas des petites oscillations du. pendule conique, au contraire, le grand axe de l'ellipse tourne dans le sens même du mouvement du pendule. L'ellipse est très aplatie; en effet, son grand axe est 2a,
son petit axe,
2a o)' 2a(i>sin^
le rapport du petit axe au grand axe est ^ ■
Dans l'expérience faite par Foucault au Panthéon, on avait :
X = 48"50'49'; / = 67'"; a = 3'". On trouve :
= u 1/ ~ sin X = 0,0
le petit axe où
2aM'y/] = 0-»",86.
Ainsi le petit axe avait moins d'un millimètre; le pendule paraissait donc décrire un plan, et ce plan tournait d'un
mouvement uniforme. La durée d'une oscillation est r. .,
y 9 = 8* environ. La durée de la révolution du plan d'oscillation est égale à
u sin X
Pendant une double oscillation de IG», l'extrémité de la course du pendule se déplaçait de 2 """,3, en vertu du mouvement de rotation du plan d'oscillation; les observations pouvaient donc s'étendre à 5 ou 6 heures, alors la • déviation était de 60" à 70".
A l'ëquateur, la déviation serait nulle ; dans l'hémisphère austral, elle changerait de sens.
