CHAPITRE PREMIER

PROPRifiTt StHtRALB DV HOnTEHEIlT DES 8T8TÊ1IES.

1 . Tout corps est considéré comme un système de pointa matériels agissant les uns sur les autres; l'action qui s'exerce entre deux points matériels M et M' de masses m et m' agissant à la distance r, consiste en deux forces égales et opposées dirigées suivant MM' et M'M, appliquées la première au point M, la seconde au point M'; la valeur de cIiHCune d'elles i)eut être représeiitée pur mm' sir), ç(r) êlatit une certaine Ibniitioii dti la dÏKlunce rlos deux pointu. Quand cette double force tend à rajuu-oclier les deux points, on dit qu'il y a attraction; quand elle tend à les éloi(ïner, i) y a répulsion. Outre ces forces intérieures qui s'exercent entre les divers points matériels composant le système considéré, .des forces extérieui'es peuvent encore être appliquées à divers points de ce «ystème; ces forces extérieures proviennent des actions exercées sur lex points

du premier système par les divers points d'un ou de plusieurs autres systèmes situés à de certaines distances ■ du premier.

Soient m la masse d'un point matériel quelconque du système, x, y, z les coordonnées par rapport à trois axes rectangulaires fixes. Il est clair que le mouvement de chaque point matériel est produit par l'ensemble des forces, tant extérieures qu'intérieures qui agissent sur ce point. Si donc on désigne pai' F l'une quelconque de ces forces et par X, Y, Z ses composantes, on aura les trois équations :

le signe S s'étendant à toutes les forces qui agissent sur le point considéré. On aura trois équations semblables pour chacun des autres points du système; si n est le nombre des points, on aura donc 3n équations simultanées à 3» inconnues; les seconds membres contiennent toutes les inconnues mêlées; la détermination des mouvements des divers points du système dépendra donc de l'intégration de 3n équations diffërentieltes simultanées du second ordre, problème généralement très difficile, et qu'où ne parviendra à résoudre que dans un nombre de cas très restreint. On peut faire avec ces équations certaines combinaisons éliminant les forces intérieures, ce qui donne des équations ou des lois générales du mouvement des systèmes.

2. , Mouvement du centre de gravité. — Ajoutons membre à membre toutes les équations (1) relatives à l'axe des x; faisons de même pour celles lelatives à l'axe des i/ et à celui

des z et nous aurons les trois équations suivantes :

^ rf'-C V Y

Le signe S dans le premier membre s'étend à tous les points du système. Or, les actions mutuelles que les divers points du système exercent les uns sur les autres étant deux à deux égales et opposées, leurs projections sont aussi deux à deux égales et opposées, et par conséquent se détruisent dans tes seconds membres des équations (2).

Ainsi, les équations (2) soiit indépendantes des forces intérieures et ne dépendent que des forces extérieures. On peut donner à ces équations une forme un peu dilîérente et les écrire :

1 dt" dt^'^ *

Soit V la vitesse de l'un quelconque M des points du système, dont la masse est m; le produit mv se nomme la quantité de mouvement du point. Il convient de considérer ce produit comme une grandeur géométrique portée sur la tangente à la trajectoire du point considéré dans le sens de

la vitesse de ce point; ses projections seront m jT' "" j?' d2

dans les premiers membres des équations (3), et la première I>£aPEïiU)t;i>. — Uècaniqite. II. S

■Ji* COURS DE MÉCANIQUE.

de ces équations donne le théorème aulvant (en l'emarquant que l'axe des x peut être une droite quelconque) ;

Théorème. — La dérivée par rapport av. temps de la somme des projection», sur un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement des divers points du système, est égale à la somme des projections des forces extérieures au système sur ce même axe.

Lorsque lea points du système ne sont sollicités par aucune force extérieure, lea seconds membres des âquations (3) Ront nuls, et les sommes des projections des quantités de mouvement ayant leurs dérivées nulles Kont constantes. Ainsi :

Lorsque les divers pointa du système ne sont soumis qu'A leurs actions mtituelles, la somme des projections des quantités de mouvement, sur un axe fixe quelconque, est constante.

Le théorème précédent acquiert une si^rnillcution très simple, quand on fuit intervenir le centre de gravité du système des points matériels donnés. Soient x„ y,, z, les coordonnées de ce point. Elles seront définies par les équations ;

■ M-p, = -/«J^, (4) My, - 2»»y,

où

On en déduit, par différentialion :

dx, dx

Ces équations font connaiti-e à chaque instant la vitesse du

D,g,tizccbyG00gIc

DY.XAMIQUE. 415

centre de gravité en grandeur et en direction ; en fonction des vitesses des divers points du système. En dilTérentiant de nouveau, nous aurons l'accélération du même point par les formules :

M '''■"i V ^'^ ^ IF '"'Jt''

En vertu de ces dernières équations, les équations (2) peuvent s'écrire :

Ces équations sont celles du mouvement d'un point matériel de niasBe M sollicité par une force dont les projections sur les axes eont égales respectivement aux sommes des projections de toutes les forces du système. On a donc ce théorème.

TiltonÈiiE. — Le mouvement da centre de gravité d'unsystème est le même que si toute sa masse y était concentrée, et que si toutes les forces extérieures y étaient transportées ■ parallèlement à elles-^nêmes.

On voit que le mouvement du centre de gravité ne dépend nullement des forces intérieures, et, par conséquent, qu'il n'est influencé en rien par les changements qui peuvent se produire dans la constitution physique du système, tels que 'des chocs, des explosions, des ruptures de liens, ..., entant que ces phénomènes se passent exclusivement entre des corpa faisant partie du système considéré.

116 courts DE MÉCAXIQUE.

Cette proposition importante est connue sous le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. En particulier, si le système n'est soumis à aucune force extérieure, le mou^■ement du centre de gravité est rectiligne et unifoiroe; si sa vitesse initiale est nulle, il reste forcément en repos.

3. Exemples de l'application de ce principe. — i" Notre système planétaire étant extrêmement éloigné des étoiles, on peut admettre que ses divers points n'en éprouvent aucune action sensible; ce système n'est donc soumis qu'à des actions intérieures, et dès lors le mouvement du centre de gravité du système solaire doit être rectil^ne et uniforme; les observations ont mis ce mouvement en évidence.

2° Recal des bouches à feu. — Supposons un canon placé sur un plan de glace parfaitement poli; soient M la masse du canon et de son affût, m celle du boulet; le canon et le boulet forment un système dont le centre de gravité G est primitivement immobile. L'explosion de la poudre ne développant que des forces intérieures, le centre de gravité doit rester au repos; si donc, au bout d'un certain temps, la projection sur l'horizon, de l'espace parcouru par le boulet, est X, le centre de gravité du canon et de son afTùt aura dû parcourir en sans contraire un espace x' tel que l'on ait :

Ma;' — »iir = 0, d'où :

On aura aussi pour les vitesses :

La vitesse de recul du canon v' est très petite devant celle

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du boulet V parce que m est très petit devant M. L'équation précédente n'est toutefois exacte qu'en négligeant la masse de la poudre devant m.

3" Ascension des fusées. — L'inflammation progressive de la poudre qui entre dans la composition d'une fusée, projette en dehors des quantités de matière de plus en plus grandes, par un orifice situé à la partie inférieure du corps de la fusée; celui-ci doit donc reculer, c'est-à-dire prendre un mouvement ascensionnel ; il est vrai que la pesanteur est une force extérieure qui doit influer sur le phénomène ; mais elle ne fait que diminuer la vitesse de la fusée,

4° Explosion des bombes. — Quand une bombe fait explosion avant d'avoir touché le sol, le centre de gravité des divers éclats continue à parcourir la parabole suivant laquelle se mouvait le centre de gravité de la bombe entière jusqu'à ce que l'un des éclats vienne toucher le sol. Alors une nouvelle force intervient, la réaction du sol sur le fragment, et cette force modifie nécessairement le mouvement du centre de gravité du système. Il faut toutefois remarquer que le centre de gravité d'une bombe ne décrit pas en réalité une parabole à cause de la résistance de l'air. ^

5° Marche de rhomme et des animaus. — Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité s'étend aux êtres vivants. La volonté fait naître des actions mutuelles entre les diverses parties de l'oi^'anisme; elle met en jeu des actions musculaires; mais ces forces, comme toutes celles de la nature, sont deux à deux égales et opposées, et par conséquent n'ont pas d'influence sur le mouvement du centre de gravité. Aussi n'est-ce qu'en réagissant sur les corps extérieurs qu'un être vivant peut modifier le mouvement de son centre de gravité. Quand un homme veut

us COURS DE MÉCANIQUE.

commencer à marcher, et qu'il porte une jambe en avant, l'autre jambe tend à reculer d'après le principe en question; elle le ferait, si rien ne s'y opposait, et le centre de gravité du corps n'avancerait pas. Mais la seconde jambe ne peut reculer qu'en glissant sur le sol, et c'est alors que se développe le frottement qui détermine le mouvement en avant du centre de gravité. Un homme placé sur un plan de glace paifaitement poli ne pourrait ni avancer ni reculer.

Remarque. — Lorsque les points du système ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, on a les équations :

I dz .-"'rfl^f'

K, 3, Y désignant trois constantes arbitraires; ce sont là trois intégrales du problème.

On peut intégrer les équations (8), après les avoir multipliées par di; en désignant par a', p', y' trois nouvelles constantes, on aura :

I lmx=at + a'.

On a donc ainsi, dans (8) et (9), six intégrales du problème.