Théorème des moments des quantités de mouvemeat
— Des deux premières équations (i) mullipliées respectivement par — y et H- x, on déduit :
A chaque point du système correspond une équation sem-
DYNAMIQUE, diO
blable; faisoQS la Romme de toutes ces équations, et nous
ou bien :
Or, icY — yX représente le moment de la force X, Y, Z appliquée au point jt, y, z relativement à l'axe des e. Les forces ihtérleures étant égales deux à deux et opposées^ il en est de même de leurs moments relativement â une même droite; ainsi le^i seconds membres des équations (dO) ne contiennent que les forces extérieures au système. Si l'on
remarque encore que m l-c ^ — y ^ 1 est le moment de la
quantité de mouvement du point x, y, z relativement à l'axe des s, on voit que les équations (10) sont la traduction du^ the'orème suivant :
Théorème. — La dérivée de la somme des moments, par rapport à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement des divers points du système, est égale à la somme des moments des forces 'extérieures, par rapport au même axe.
Nous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (10) sont nuls; cela aura lieu, d'abord si les forces extérieures sont nulles, ensuite si les forces extérieures se font constamment équilibre sur le système solidifié, ou bien si elles ont une résultante unique passant toujours par l'origine. On a alors, en désignant
■l'2() COl'RS DE MÉCANIQUE.
par C, C, C trois constantes arbitraires :
\ ^ / dx dz\ „,
Ce sont trois nouvelles intégrales du problème. Donc, dans ce cas :
La somme des moment3 des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe quelconque est constante.
C'est en cela que consiste le principe de ia conseruation des moments; ii subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viendraient à naître entre les divers points du système.
Ce principe peut être énoncé d'une manière difTérente en se servant de la considération des couples. Soient M l'un quelconque des points matériels du système, MP la direction de sa vitesse V, sur laquelle nous portons la quantité de mouvement MP=mv; considérons MP comme une force; ses projections
sur les axes seront ; w — .
dy d: ^ »(-v-' m --• Transportons
^ la force ftt P parallèlement
à elle-même au point 0, cequiintroduii-ale couple M P, OQ; ce couple pourra être décomposé en ti'ois autres, agissant dans les plans coordonnés, et dont lés moments seront représentés, en grandeur et en signe, d'après les principes
Fiq, 205
de la Statique, par :
/ dz ilv\ I ix- iz\ I dg dx\
•'{'di-=7iy "VT.-'dip "'{'d,^''dir
Si l'on fait de même pour tous les points du système, on verra que tous les couples pourront se ramener à trois agissant dans les pians coordonnés, et ayant pour moments :
■ ^ I II' i'l\ .. , M* l'A
ii = --«[':„ -y,,)-
Les équations (11) nous donneront donc :
En composant ces trois couples, on aura le couple résultant des quantités de mouvement, dont l'axe sera représenté par OG, et le moment par G, et l'on aura :
G = l^L' + M'+ N'; cosGOj — r;; cosGOy^^; cosGO;=-. On en conclut :
Ainsi, t'axe du couple, résultant des quantités de mouvement conserve pendant tout le mouvement une direction constante, et le moment de ce couple reste invariable.
Si on prenait d'autres axes passant par le point 0, on trouverait encore les équations (H); seulement les constantes G, C', C' n'auraient plus la même valeur; mais, quel que soit le système d'axes, l'origine restant au même poinl 0, la quantité
C + C" + C" = fl' restera invariable.
i22 COURS DE MËCAmQUE.
Le moment G du couple résultant varie quand on prend une auti-e origine 0.
5. Principe de la conservation des aires. — Prenons une origine détet-minée, et considérons l'équation :
^=^»Hf-'sf)='^''
Soient N la projection de M sur xOy, r et ô les cooi^ données polaires de ce point, de manièi-e que :
a;=rcosO, y=rs)nft.
On aura :
dt
"(tt-
dt
dt
en représentant par o' l'aire du secteur
N,ON décrit par le rayon vecteur ON depuis t = 0 jusqu'à
l'époque t. On aura donc :
y rfo' 0' "" dt~ s' et, en intégrant :
On aura de même, pour les autres plans coordonnés :
On a donc le théorème ftuivant :
Théorème. — Si les forces extérieures au systèrtie sont nulles, ou si elles se font constamment équilibre, sur le système solidifié, si Von considère un point quelconque 0, et les rayons vecteurs OM, OM'.,. menés de ce point aux divers points du système, la somme des aires décrites par les projections de ces rayons vecteurs, sur un plan quelconque, multipliées par lesmassesm, m'.., des divers points du système, sera proportionnelle au temps, pourvu que l'on considère comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles g«t sont décrites d'un mouvement rétrograde. (Cela résulte de ce que l'on a :
et que les parties de l'intégrale correspondantes aux valeurs négatives de 37 sont elles-mêmes négatives.)
Dans Je cas où toutes les forces extérieures composées, comme si le système était solide, auraient une résultante passant par le point fixe, le théorème aurait encore lieu en prenant l'origine des rayons vecteurs à ce point fixe.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.
6. Plan du maximum des aires. — Les constantes C, C , C représentent les doubles des aires décrites dans l'unité de temps sur les plans coordonnés (ces aires étant multipliées par les masses); pour comparer ces aires, qui croissent proportionnellement au temps, il suffît donc de comparer C, C, C La quantité C qui repond à la somme des aires décrites sur le plan xOy a pour expression :
C = G cos (GOz).
G est constant; si l'on prend un autre plan des xy, C
l'24 • COURS DE MÉCANIQUE.
variera proportionnellement à cos GOz; C sera donc le plus grand possible, quand on aura cos (GOî) — 1 ou quand Or se confondra avec OG; alors le plan xOy se confondra avec le plan du couple résultant des quantités de mouvement; donc, ce plan jouit de la propriété que la somme des aires décrites dans l'unité de temps par les projections, sur ce plan, des rayons vecteurs, est la plus grande possible. C'est le plan <lu maximum des aires; il conserve, comme on voit, une direction invariable pendant toute la durée du mouvement; c'est le plan que Laplace a nommé le plan invariable.
Lorsque le plan des xy est perpendiculaire sur celui du couple résultant, on a
GOz = 90«; cos GO: = 0, C = 0.
Donc, la somme des aires décrites pendant un temps quelconque sur un plan perpendiculaire au plan invariable est nulle.
Enfip, si l'on suppose que le plan xOy se déplace de manière à iaire un angle constant avec le plan du couple résultant, on aura GOr = const. et C ^ const. Donc, la somme des aires décrites, pendant le même temps, par les projections des rayons vecteurs est la même pour tous les * plans qui font un même angle avec le plan du couple résultant.
Reuarque I. — Si l'on prend le plan invariable pour plan des xy, on a C ^ 0, C = 0, par conséquent :
-'"{''Ti-'r,}--
\ lit lit}
On a là des formules simples, qui peuvent être très utiles dans certaines recherches; J^acobi en a tiré un grand parti dans son beau Mémoire sur l'élimination des nœuds dans le problème des trois corps (Journal de Ltouville, t. IX).
Remarque II. — Si la somme des moments des forces extéiieures n'est nulle que par rapport à l'axe 0 z, on aura seulement :
De là ce théorème :
Théorème. — Si la somme des moments des forces extérieures, par rapport à un axe fixe, est constamment égale à zéro, si l'on fait la somme des aires décrites, dans un temps donné t, par les projections, sur «n plan perpendiculaire à l'axe, des droites qui joignent un point de l'axe fixe aux différents point matériels, ces aires étant multipliées par les masses de ces points, on obtient une somme proportionnelle au temps t employé à les décrire.
C'est la généralisation d'un théorème que nous avons démontré antérieurement dans le cas d'un seul point matériel.
7. Du principe des aires dans te mouvement relatif. — Il arrive fréquemment que l'on décompose le mouvement d'un système matériel en deux mouvements composants, dont l'un est le mouvement du système par rapport à des axes de direction constante, menés par son centre de gravité, et l'autre est le mouvement de ces axes eux-mêmes; ce dernier mouvement est un mouvement de translation identique à celui du centre de gravité du système; en désignant par x„ y„ z, les coordonnées du centre de gravité 0„ on
aura, par le théorème du mouvement du centre de gravité :
Menons pur le point 0, des axes 0,x„ 0,y„ 0,z.
parallèles aux axes lises Oic, Oy, Oz\ soient Ç, »■„ Ç les coordonnées d'un point quelconque, par rapport aux nouveaux axes ; ■*" nous aurons :
(2) x — Xi + i; y = ii, + r,; j = *, + ;.
Voyons ce que deviendront les équations des moments, quand nous remplacerons x, y, z, par leurs valeurs (2) :
nous îtui'ons
de
d'où l'on déduit, en ' remarquant qu'à urî moment donné, x„ ^„ z, sont les mômes pour tous les points du corps : „ / rf'tf rf*jï\ „ d'y „ d*x
/, rf'V *PiF\.
d'ailleui-8 :
xy — j,X = a;,Y — y,X + gY - r,X,
Les équations (3) pourront s'écrire :
U.(-g-2v)-v,(-^:-Ix)
Or on a :
U eu résulte donc :
Remplaçons maintenant 3-7 • ^t? ^^371 P^f leurs valeurs, déduites de (2), et nous trouverons :
î^'ous n'avons encore rien supposé relalivement à l'origine 0, ;
si nous admettons qu'elle roïnciile avec le centre de gi-avité,
nnua aurons :
(7) 2»»; — 0; :Lmr, = 0; ^m'i = 0.
Donc les équations (G) vont uouh donner :
i28 COURS DE MÉCANIQUE.
De manière que ces équations (8) des moments ont ]a môme forme, quand on rapporte le mouvement à des axes mobiles, mais de direction fixe, passant par le centre de gravité, que quand on les rappoile à des axes absolument (ixes. Ce sont ces équations (8) que l'on emploie, pour déterminer les mouvements des corps célestes autour de leurs centres de gravité, tandis que les équations (i) font connaître les mouvements de ces centres de gravité.
On trouverait encore que les équations (8) ont lieu, si le point O, origine des axes mobiles parallèles aux axes fixes, au lieu d'être le centre de gravité, était simplement un point animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. En elTet, jusqu'à l'équation (G), nous n'avons pas tenu compte précédemment de ce que le point G était le centre de gravité; les équations (6) ont donc lieu quel que soit le point O,; or ici, dans notre nouvelle hypotbése :
rfC ' (i(* ' dt'
Les équations (6) coïncident donc bien avec (8). Il en serait encore de même si l'on avait constamment :
d*x, (Py, d*2,
. ^dF ^ J^
ïm; Smi] ïmï
Or, en désignant les coordonnées du centre de gravité, relativement aux axes mobiles, par Ç„ >]„ ;„ on a :
Les équations (9) peuvent donc s'écrire ;
__ df dl
1 signifient que la force accélératrice qu'il faudrait
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appliquer au point 0, pour lui donner le mouvement qu'il a réellement, doit être constamment dirigée vers le centre de gravité du système.
Ces deux dernières manières d'obtenir la même forme (8) pour les équations des moments ne sont guère employées; tandis que la première l'est constamment.
Si les forces extérieures sont nulles, ou si elles se font équilibre sur le système solidifié, les sommes de leurs moments par rapport aux axes mobiles seront égales à zéro; on aura donc :
et on déduira encore des équations (8) ;
en désignant par C, C, C trois constantes arbitraires.
Et l'on aura, relativement aux axes mobiles menés pjir le centre de gravité, toutes les conséquences données précédemment relativement aux axes Hxes : somme des aires décrites en projection, sur un plan quelconque, proportionnelle au temps; plan du couple résultant des quantités de mouvement invariable; invariabilité du moment de ce couple, et enfln ce plan invariable sera encore le plan du maximum des aires.
Il faut remarquer que ai les forces extérieures avaient une résultante unique passant par un point fixe O, les équations (10) n'auraient pas lieu relativement aux axes mobiles menés par le centre de gravité, et pîu- suite, non plus les
DOPEVKOi.'S. — 3Iicani^ne. U, 9
équations (H). On ne peut appliquer le théorème des aire» que pour les rayons vecteurs issus du centre fixe.
Dans le cas où les forces extérieures au système consisteraient cependant en des attractions dirigées vers un centre fixe, et proportionnelles à la distance, on sait que ta résultante de toutes ces attractions passerait toujours par le centre de gravité du système; donc, dans ce cas particulier, les équations (il) aui-aient encore lieu.
8. Application an syBtèine planétaire. — En négligeant les actions des étoiles, ce système n'est soumis qu'à des forces intérieures ; on aura donc, en désignant par x, y, z les coordonnées d'une molécule quelconque m du système, rapportées à des axes de direction invariable, menés par le centi'e de gravité :
' , I du àx\
Le plan du couple. résultant des quantités de mouvement aura une direction invariable, et si l'on dési^^e par x, x, x' les angles que fait l'axe de ce plan avec les axes des coordonnées, on aura :
I^C'-f-C' + C" KG»
k'c' + C'-f-c" L'équation du plan invariable sera :
(14) Cx'hC'i/ + C'z = 0.
ï^oui' calculer C, C, C par les formules (12), Laplace
DTNAMiQtlE. 131
réduit les corps célestes, y compris le Soleil, à de simples points matériels, ce qui n'est pas rigoureux ; car, le signe }i2 s'étendant à toutes les molécules du système planétaire, il y a lieu, comme l'a montré Poinsot, de tenir compte des parties provenant des molécules du Soleil, et de leurs vitesses dues à leur mouvement de rotation autour de l'axe du Soleil; il faudrait faire la même chose pour toutes les planètes.
On- peut montrer toutefois que les parties ainsi négligées dans tes équations (12) sont très petites (') par rapport à celles que l'on conserve.
il reste encore à introduire dans les équations (12), au lieu des coordonnées rapportées au centre de gravité, les coordonnées rapportées au centre du Soleil, qui sont celles que nous pouvons déduire des observations.
Soient x, y, z, m les coor4onnées et la masse du Soleil, Xi, j/i, Zi, m, les mêmes éléments pour une planète quelconque; on a :
(iS)
, / dy dx\ „ / dyt ix'\
et l'origine étant au centre de gravité, on a :
(16) mx + "LtiiiX, — 0; my + Im^y, — 0; mz + 1 miî. = 0.
Soient ï, r,i, Xi les coordonnées de la planète, relatives au Soleil ; on aura :
(17) Xi = x +\i; yi = y -§- Tj, ; 2; = z + ;^. Les équations (16) donnent alors :
(i8) î yZm = — 2wi.7](,
i32 COURS DE MÉCANIQUE.
A cause de (17), (15) devient :
(du dx\ rfv „ , àx
rf« dp , On remplacera, dans celte équation, x, y, ^- -^^ pai- leurs
valeurs déduites de (18), savoir :
,!(- Zm-^ lit
2lM.Tl(.
dt 1 , *:i
ff = — et l'on trouvera après réductions :
■H^4-^'r)-^^n.ic
Nous avons remplacé dans ces équations Stn par m ~\- S»ii. On peut transformer ces équations comme il suit ;
