SI
^' il J
On conn^tra à une époque donnée, pour les diverses planètes, les quantités %, r^, ;, et leurs dérivées; si donc les masses des planètes sont connues, les formules (20) feront connaître les valeurs de C, C, C à l'époque donnée, et relatives à un certain système d'axes. Si on fait le calcul à une autre époque très éloignée de la première, on aura des valeurs de C, C, C qui devraient être égales aux précé-
dentés, si on pouvait tes rapporter aux mêmes systèmes d'axes, ce qui ne peut se faire d'une manière absolument rigoureuse. Quoi qu'il en soit, les deux valeurs de C + C* + C" devront être égales entre elles, quels que soient les changements intérieurs survenus dans le système solaire, dans l'intervalle de temps écoulé, pourvu qu'il ne soit survenu aucune action extérieure.
Pour être entièrement rigoureux, il faudrait faire intervenir les satellites et les comètes dans les équations (20), mais leurs masses étant très petites, peuvent être négligées. On voit que, pour faire le calcul indiqué ci-dessus, il faudrait . connaître avec une grande précision les masses des planètes; on ne les connaît pas encore toutes avec toute l'exactitude que l'on pourrait désirer.
Remarque. — Dans les équations (20), les seconds termes des seconds membres sont très petits, relativement aux premiers, à cause du diviseur m -f 2m, qui est grand, à cause de la présence de la masse du Soleil m.
On peut concevoir, comme il Y suit, la possibilité d'obtenir dans notre système planétaire un système d'axes absolument fixes.
Le centre de gravité du système solaire décrit une droite d'un mouvement uniforme ; par on point arbitraire 0, menons une parallèle DP à cette droite, un plan NX parallèle au plan invariable, et conce-
DYNAMIOUE. i3&
vons une sphère de rayon 4 ayant pour centre le point 0. Supposons que nous sachions déterminer à chaque époque la position du plan invariable et de la droite OP relativement à UD système d'axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Soit OX la projection de la droite OP sur le plan invariable; prenons XY = XZ = 90". Notre système d'axes absolument fixes serait OX, OY, OZ. On peut, c'est notre hypothèse, déterminer la position des axes OX, OY, OZ, relativement aux axes Ox, Oy, Oz; on pourra donc aussi déterminer la position des axes Ox, Oy, Oz relativement aux axes absolument fixes.
Si xy est le plan de l'écliptique, on pourrait donc rappoi-ter la position de ce plan si important à des axes abi-olument fixes, et, par suite, suivre ses variations dans le eoui-s des siècles. Il faudrait toutefois que la droite OP ne fût pas perpendiculaire sur le plan invariable, car alors le point X ne serait pas déterminé.
Mm, si la position du plan invariable est difficile à
déterminer avec précision, il est infiniment plue difficile de
t/e'ierminer la position de la droite OP, de sorte que ce
que nous venons de dire ne présente qu'un intérêt pure-
"îent théorique.
®- Principe des torcea vives. — Considérons l'un . des points matériels du système dont la masse est m, et v la ^tesse à l'époque t; on a, en tenant compte de toutes les Mrces tant intérieures qu'extérieures qui agissent âur ce
point :
"7?--^' '«rfïï--^' •«dïî--^'
"f* eti déduit, en multipliant ces équations respectivement P*ï* dcc,dy,dz:
rf . ^ = 2 (Xrfa 4- \dy + Zdz).
Faisons la somme de toutes les équations semblables relatives à tous les points du système, et nous aurons en int^rant :
(1) Imv*
• = i'^fi'Kdx + Ydp + Zrfj),
V, est, d'une manière générale, la valeur initiale de v; Xdx + Ydy + Zdz est, comme on'sait, le travail élémentaire de la force F, aux composantes X, Y, Z, appliqué au
point X, y, z; j Qidx + \dy + Zdz), ou bien / (x ^
+ Y ^ + Z jT 1 d(, est le travail de cette force pendant le temps t ; l'équation (i) équivaut donc au théorème suivant :
Théorème général des forces vives. — La variation de la somme des forces vives de tous les points d'un système en mouvement, pendant un temps quelconque, est égale au double de îa somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qiii agissent sur tous les points du système, pendant le même temps.
Travail des forcée intérieDres. — Considérons deux points matériels M {x, y, z), M' {x', y', z') de masses m et m', posons :
MM' = r;
l'action mutuelle de ces deux points se compose de deux forces MA = M'A', dirigées suivant la droite MM', chacune de ces forces étant égale à mm' ç (r). Les composantes de la force MA sont :
Le travail élémentaire de cette force est égal à : Hdx+Ydy + ldz
= — mm' ^ [{x — x')dx + (y — y'>(iy.é-'(3 — z') dz].
On aura de même, pour le travail élémentaire de la force M'A', dont les composantes X', Y', Z' sont égales et opposées à X, Y, Z :
X'dx'+Y'dy' + Z'dz'
= mm' -î-^ [(x~x')dx' + (y — y') dy' + (s — z')dï'].
En ajoutant, on aura pour le travail élémentaire de l'action mutuelle des deux points matériels :
-<lî%
ce qui, en vertu des relations :
rdr = (« — «') idx -
-dx')+{s-y)idy-âs')
+ (i-i')idi
- ds').
se réduit à :
— mm'^(r)dr.
ou à:
+ mm' d.tji (r).
En posant :
la somme des travaux élémentaires des forces intérieures sera donc :
2 mm' d.-Sfir) =:rf. ^ mm' 4(0, et la somme des travaux des mêmes forces, pendant le
temps f, sera :
en désignant par r, la valeur initiale de r. L'équation (i) s'écrira donc ;
= S [2 mm' -KO - 2 ""»' 'K'"*^]
-+- 2 V Ç(s.dx + Ydfj + Zrfî).
où X, Y, Z ne doivent plus représenter que les composantes des forces extérieures.
On voit la différence entre ce théorème des forces vives et le principe du mouvement du centre de gravité ou celui des aires; il n'élimine pas les forces intérieures. Ces forces intérieure); disparaîtront dans le cas où les distances mutuelles des divers points du système vérifieront l'équation :
2 mm' 4 (r) — V mm' it (r,) = 0,
pendant If; temps considéré. Cela aura lieu, en particulier pour les corps solides, dans lesquels on considère les distances i3ntre les molécules comme constantes, quand on néglige leis déformations. Dans ce cas, on voit qu'on a ce théorème :
La variation, pendant un temp» donné, de la somme des forces vives des divers points matériels du système est égale à la sommn des travaux des forces extérieures qui agissent sur les diviirs points du système, pendant le même temps.
Ce théor'ème trouve son application dans les machiner, où les circcnstances qui permettent son emploi sont à peu près réalisées.
Dans le cas où les forces extérieures sont nulles, l'équation (3) donine ;
Im«' — ïme,' = i [^mm' ^ (r) — "^mm' ^ (r,)].
Ce que l'on peut écrire, en remarquant que a^mwt' -ji(r)e3t une fonction des coordonnées des divers points du système, et désignant par C une constante arbitraire :
fax' rfy' d?'\ , . , , , „
C'est là une int^rale du problème, — Ce cas est réalisé dans le système planétaire. En réduisant chaque corps céleste à son centi-e de gravité, on a :
la somme des travaux des forces, qui sont toutes intérieures, sera:/.-- ' '' en faisant abstraction d'une constante,
r,rj
et l'on aura, en considérant les vitesses absolues des centres de gravité du Soleil et des diverses planètes :
Revenons au cas général, où les forces extérieures ne sont pas nulles^ supposons que l'expression
soit la différentielle d'une fonction de x, y, z, x', y', z', ,,., c'est ce qui arrivera lorsque les forces extérieui-es seront constamment dirigées vers des centres fixes, leurs intensités étant fonction seulement de la distance, ou quand ce seront des forces perpendiculaires à un plan fixe, ou à une droite fixe, les intensités ne dépendant que des distances des points d'application à ce plan, ou à cette droite. On aura alors :
22 Axrfaj + ïdy -.- Zdz) = Cd.f (a;, y, z, »', y', z\ ...) ^*(!c, y, z, x', y', i', ...) — *(«„ y„ z„ ;»'„ y\,z\, ...),
140 COURS DE MÉCAKIQUE.
et au lieu de l'équation (3) :
2m(j* — SmtV = 2 [2) »»»»' "t W — ^mm' 4] (rj
+ 2 [* {X, y, z, ...) - * (or,, y,. 2,, ...)], ou bien, en faisant :
2 m»»' 'KO "t-^Car, y, 2, ...) = W {x,y.s, 3^', y', z', ...),
(5) 2mi)' — Smi','
ou bien :
(6) Smp' = 2 W (x, y, z, x', y', z' , ...) + C.
Dans ce cas, qui se présente souvent, le théorème des forces vives donne donc une intégrale, l'intégrale des forces vives.
Quand la-somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, est constamment nulle, la force vive reste constante pendant toute la durée du mouvement; le système conserve sa force vive, et on a, dans ce cas particulier, le principe de la conservation des forces vives.
Il existe une relation très simple entre la force vive du mouvement d'un système par rapport à des axes fixes, et celle de son mouvement relatif par rapport à son centre de gravité. Menons en effet par ce centre de gravité des axes parallèles aux axes fixes; soient x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M du système par rapport aux axes fixes, Ç, 1), ç les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes qui sont mobiles, a:,, j/,, z, les coordonnées du centre de gravité du système par rapport aux axes fixes. On aura :
ar = a!,4-5; y = y, + r,; z = 2, 4- C,
dx dx, rf| dy dy, dr„ dz dz, rf;
rf7~rf7'^rf7' di~Ti'^l,ï' Tt~Tt'*'dt' , dx* -H dy* + rfa' dx* ■+■ rfy,' + di,'
dt
lil, di dy, dr, dt dl dt dl
df d:, dl\ *lidl)*
, Idx, d%
DYSAMIQCE. 141
On en conclut, en désignant par V la vitesse du centre de gravité, par « la vitesse du point M dans le mouvement relatif, autour du centre de gravité :
dy, rfr, rfa, rfï\ ~ dt di "^ dt dt)
En multipliant par m, et faisant la somme des équations
anal(^es qui correspondent à tous les points du système,
, . ,, dx, on aura, en remarquant qua un moment donne, V, -^i
■jj> -^' sont les mêmes pour tous les points du système :
at at at dt
■>-^Tt-"di- Or, l'origine des coordonnées ï, >;, ï, étant au centre de gravité du système, on a constamment :
d'où ;
dt dt at
Il en résulte donc :
(7) ïmc*=: V 2m + 2mH'.
Ainsi, on a le théorème suivant :
La force vive totale d'un système est égale à la force vive de la masse eiitière concentrée au centre de gravité, plus la force vive de ce système, dans son mouvement relatif autour du centre de gravité.
10. Application de l'intégrale des forces vives au sys-. tème planétaire. — Nous réduirons le Soleil et les planètes à leurs centres de gravité, négligeant ainsi les forces vives provenant de la rotation de ces corps sur eux-mêmes (ou
i42 COURS DE MÉCANIQUE.
plutôt, les variations de ces forces vives) ; nous auroas, en désignant d'une manière générale par v la vitesse absolue du point M dont la masse est m, par Xj la distance mutuelle des points M^ et Mj, dont les masses sont m, et m :
(t) 2mr* = 2/-2^ + Const.
Considérons maintenant le mouvement relatif du système autour de son centre de gravité ; soient V la vitesse absolue du centre de gravie, u la vitesse relative du point M, M la masse totale du système; on aura :
Zmv* =MV' + Iwm', et l'équation (1) deviendra :
(«) MV + ïwju» = ifl -p + Const.
Or, la vitesse V est constante; si donc, on pose
(3) V=fz"
l'équation (2) donnera, en désignant par C une constante
arbitraire :
(4) Ziau> = iV + C.
Convenons maintenant que M désigne le Soleil, dont les cooi-données rajiportées aux axes mobiles, de directions invariables passant par le centre de gravité, soient x,y,z; soient x,, (/;, z^ les coordonnées correspondantes d'une planète quelconque. L'équation (4) deviendra, en mettant à part ce qui^se rapporte au Soleil :
(5, „ ''^• + V + '>=' + ,,„, teii^^M^' ^ ,„ ^ c
En opérant comme au n" (7), nous poserons :
(6) X =x + lr, fi=Lf + iu; t, = : + ^.
On voit que %, r^, ?< seront lea coordonnées de la planète M,, rapportées à des axes parallèles aux axes fixés, et ayant leur origine au centre du Soleil. On trouvera aisément que l'équation (5) devient, en ayant ^ard à (6) :
-rr""dt ' -"■' dt' — ■ "■
Or on a :
(m + Swi) J> = — -m,^!, (m + Inti) y = — -"'■Tn (m + 2m;) 2 = — SWii.
On portera ces valeurs de x, y, z, et les valeurs correspondantes de j-' -7-< ~ dans le premier membre de l'équation (7) qui deviendra :
dV -t- dr,? + dl^* I„,
j» + ïfii((\ dt/ \ dt) àt) s
en mettant à part dans l'expression (3) de U les distances des planètes an Soleil, on aurj, en désignant par r, la distance de la planète au Soleil :
M^fml- +fZ
mmj
où les signes D s'étendent seulement aux planètes, et â leurs combinaisons deux à deux, le Soleil étant mis à part ; iinalement, l'équation (7) deviendra :
d%* ■+ dr,? + dÇi*
2/mï;
Telle est la forme qui prend l'intégrale des forces vives dans le système planétaire, quand on rapporte les mouvements des planètes au centre du Soleil.
On peut transformer cette équation (A) en multipliant ses deux membres par m + Soij; le premier membre devient, comme on s'en assure aisément :
On trouve finalement, au lieu de la forme (A), la suivante :
(B) + Immj j^,
, = %f{m ■*• 2m,) (ml — H ^-^1 + G.
11. DigressioQ sttr l'applicatioD du principe deB forces vives au système du monde. — Commençons par donner, sous une forme simple, les équations des mouvements des divers points qui remplacent le Soleil et les planètes; nous aurons, en conservant les notations précédentes, et traitant le Soleil comme l'une quelconque des planètes, afin de ne pas altérer la symétrie :
et deux autres équations analogues, en remplaçant x par y, puis par z ; voilà pour le mouvement du point M,. Or, on a :
à\j = {xi - xjf + (y. - yj)' + (Zi - sj)*,
Digitizeû by ^lOOQ IC
d'où, en prenant, ies dérivées partielles, par rapport à Xi : ce qui permettra tl'écrire l'équation (1) comme il suit ;
di* dxi
ou encore :
w '^i^-^d^rv'^:^)'
Dans le second membre de cette équation, sous le signe S, i doit rester constant, et j prendre les valeurs qui correspondent à tous les autres points, M,„i, Mi^,> ...; M. + i, M,+ , ...; on peut, si l'on veut, faire varier aussi l'indice i, car les termes ainsi introduits dans le signe 2 ne contiendront pas la coordonnée Xi de la planète considérée spécialement; si donc on pose
OÙ i et j prennent chacun, et indépendamment l'un de l'autre, les valeurs 1, 2, ... n, n désignant le nombre des corps, sans que l'on ait jamais i =; y, on déduira de (1) les équations suivantes, pour le mouvement de la planète Mi :
( d'Xi rfU 1 dr dxi
J rfi' dy^
J éPzi dU
I df dz.
DESPEvnors. — Mécanique. II. 10
146 COUHS DK MfiCAKIQUE.
En donnant à i dans ces équations (4) les valeurs i, 2, ..., n, U étant une fonction de a:,, x„ ..., x^; y„ y,, ..., j/„; z„ :„ ..., z„ définie par l'équation (3), on obtiendra les 3n équations différentielles du mouvement des n corps considérés; U est la fonction des forces.
On déduit de (4) la combinaison suivante :
, /dxt* -h dy? + dz?\ ^ /dV , dU . dM ^ \.
en donnant à i les valeurs 4, 2, ..., n, et faisant la somme des équations ainsi obtenues, on trouvera :
Or, la fonction U ne contenant pas le temps explicitement, on a :
^ /dU ^ dU ^ dM , \
On déduira donc de (5) en intégrant, et désignant par h. une constante arbitraire :
1MJ1^' = 2(U..»).
Or, on tiré des équations (4), et des autres qui correspondent aux autres corps du système :
/ d'ic, (fw, d'îA ,/ dU dD d\i\
ction U est, en vertu de sa i homogène de degré — 1 dei connu, relatif aux fonctions
/ dU dU dU\
Mais la fonction U est, en vertu de sa définition même (3), une fonction homogène de degré — 1 des quantités as*, yt, zr, un théorème connu, relatif aux fonctions homogènes, donne :
et l'équation (7) devient :
/ (P*, iPyi rf*zA • „
En combinant cette équation avec (6), on trouve :
Soit r, la distance du point M, à l'origine des coordonnées, on a:
r(' = iri' + y,' + z,', l d (ri*) dxi dvi dxi ,
1 d' fn') dXi* + dV(* + dZi* d*Xi d't/i (fj,
et l'équation (8) peut s'écrire ,:
On peut transformer cette équation de manière à y introduire les distances mutuelles Aj,j au lieu des distances r,^; on a les identités :
: StUi IniiOs* — (IniiXi)* = ^vi,m} {xt* + x/ — iXiXj),
(10) I Zmt ï-viipi* — (Iniiy. y =I.m,mj{gi* + y j* —iy,jfj),
[imi'S.miZi* — (ÏMiZ,/ =lmimj{Zi* + z/ —iZtZf);
\',j=iXi'' + xj* •~iXiXj) + (ii,* + 9/ —iy^yj) + {z,* + z/—23iZj). En ajoutant les trois équations (10), on aura donc en faisant
<H) M2i%r,* — l(2m.3;.)' + (Zm^y.)' + (£m.2.)'] = Sm^fflj i'..;. Soient Ç, ir;, C les coordonnées du centre de gravité du
Digitizeû by ^lOOQ IC
système; on a :
On sait qu'en désignant par a, p, y, »', p', y' six constantes arbitraires, on a :
d'où :
(2m.a;.)' -H {tmiy.y + (2m.î.)' = M' [a* + P* + y*
4- 2 (m' + pp' + yt') ' + (*" + P" + ï") '']■ En portant dans (11), el prenant deux fois la dérivée par rapport à (, on trouve :
en tirant de là — j^~ ' pour le porter dans (9), et désignant par /(' une nouvelle constante arbitraire, il viendra :
M— !/—="' + "• ou bien :
(12) i^»jA'y = 8;'="'+U',
équation remarquable dont Jacobi a tire des conséquences intéressantes relativement i- la stabilité du système, planétaire; voir .lacobi : Vorlesungen ûber Dynamik, p. 27-30.
