CHAPITRE II

APPUCATIOHS DES THÉORÈMES QEHERADX.

12. l^' Problème. — Deux points matérieh M et M', de masses m et m', réunis par xtne lige rigide, de longueur . invariable, dont on néglige la masse, sont assujettis à se mouvoir dans un plan horizontal; on demande d'étudier leur mouvement.

Le principe du mouvement du centre de gravité montre que le centre de gravité est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

Prenons pour axe des x la position de la tige pour t = 0, pour origine la position Gj du centre de gravité à cette éporfue.

Puisqu'il n'y a pas de forces extérieures au système, le centre de gravité décrira une droite GjG, d'un mouvement uniforme :

Soit G sa position à l'époque t; soient G,x et G,i/ deux axes rectangulaires situés dans le plan du mouvement, GÇ et Gr, deux axes parallèles aux précédents, M et M' les positions des deux points à l'époque t, s l'angle MG5.

fig.209

Le principe des aires aura lieu dans le mouvement relatif, autour du centre de gravité; soient sur G5, M, et M', les positions initiales des deux points; le rayon vecteur du point M aura décrit le secteur circulaire M,GM, d'aire a; de même celui du point M' aura décrit le secteur M'.GM', d'aire o' ; en posant

f = GM; r'=GM', on aura :

Soit C une constante arbitraire ; l'application du principe des aires donnera :

ffl3 + m'c' ^ C(, ou bien,

âi^''^ + m'r'*) ç =C/,

r et r' sont constants; soit donc p une nouvelle constante arbitraire; on aura :

Ainsi, le centre de gravité G des deux points M et M' se ■ meut sur la droite G,G d'un mouvement uniforme, et cette droite MM' tourne d'un mouvement uniforme autour du point G; par là, le mouvement de la droite MM' est entièrement déterminé; on aura ensuite les positions des points M et M' eux-mêmes, en tenant compte des formules

dans lesquelles l désigne la longueur de la tige, enveloppe de la droite MM'.

Soient (fig. 210) G et G, les positions du point G aux époques ( et i + Ai, G M et G, M, les positions correspondantes de la tige; l'angle MGA varie proportionnellement au temps; on aura donc, en désignant par «, w et u, trois constantes :

G.G = at.

Soit H le point d'intei-section de GM et G,M„ on aura:

GG, = a(( + AO.

d'où:

GG. = « iï.

Le triangle G G, H donne :

Soit I la limite du point H lorsque Xt tend vers zéro, l'équation précédente donne :

IG = lim. HG, =■ sin (uf + w,) lim,