M'— LN

DYNASriQUE. 9

La deuxième intégrale qui figure dans l'expression de A est nulle; car, si l'on décompose cette intégitile en éléments, et que l'on associe les éléments qui répondent à :

on voit que L et N sont les mêmes dans les deux cas; M se

un X. |/M'— LN . ^

change en — M, mais M* ne change pas ; — - — est donc

le même, et sin 9 cos 0 change de signe ; les éléments sont donc deux à deux égaux et de signes contraires ; donc :

( - sin 6 cos 0 dtl dip,

ou, en remplaçant L et M par leurs expressions (4) : acos9 psinflcos';! ysinOsiin]!

Az= — /jj.o I / — :-- — :-■:. . , .sindcosOdOdit,

V" Jt ces' 6 sin'flcos'';j sin'Osin'tl< ''

—A a C* /""sinôcos'ô „ ., 0 /*« /•■«8in»aco3eco«i|ij, .,

les deux dernières intégrales sont nulles, comme on le voit en groupant les éléments deux à deux comme il suit :

On a donc :

. __ Aipa r" p" sin Ocos'OrfOd'

fl' Jn Jv COS*0 si

4 sin'O sin' ij»

COURS DE UËCAMIQUE.

COS*0

par —^ (cos* <{i + ain' -t), nou3 aurons à évaluer l'int^ale :

rf*

P cos' 1^1 + Q sin'-Ji OÙ)'

-, cos' ft sin' 6

sont des quantités essentiellement positives ; /p cos' ^ + Q sin' ^ = Wq''^^{V%^'^)-^ '='!"^-

r? d'il ic

Ji p cos'tl' + Q sin'']' ~ 2 KPQ n en résulte :

I /cos'e sin'fl - /cQs'8 r a' 6' V <*' "

On peut remarquer que les coordonnées du point attiré ne figurent pas dans l'intégrale définie; A est seulement proportionnel à a; ainsi, si le point attiré se déplace dans un plan perpendiculaire à Ox, la composante de l'attraction para]lèle à 0^ ne change pas.

Remarquons en outre que A est une fonction hpmogène et de degré zéro de &,b,c; il en serait de même de B et C; si donc on considère deux ellipsoïdes liomothétiques de même densité, leurs attractions sur un point intérieur à chacun d'eux seront les mêmes ; il en résulte qu'une couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques n'exerce aucune action sur un. point de son intérieur; il est très

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facile de s'en rendre compte géométriquement. Tout plan passant par le centre commun de deux ellipsoïdes homothétiques les coupera suivant deux ellipses homothétiques. Considérons un angle solide

**3 ^^---' r~---.o infiniment petit ayant

son sommet en K; il cjétacheradansla couche deux éléments MNPQ, M'N'P'Q'. L'attraction de MNPQ sur K sera (voir l'article 89) :

o./'l.p MP;

l'attraction de M'N'P'Q' sera :

«/-ixpM'P'.