KG
la perpendiculaire à G A ; soit K le point de rencontre de ces droites; l'enveloppe demandée sera le lieu du point I, et IK sera la normale à cette courbe. Le triangle rectangle KIG donne :
IG 'sinHGA' ou, en tenant compte de (2) :
KG = fl.
OiTen conclut que le cercle décrit sur KG comme diamètre a un diamètre constant a, et l'enveloppe cherchée est la cycloïde décrite par un point de ce cercle roulant sans glisser sur la droite G, G.
13. 2" Problème. — On donne deux droites rectangulaires Ox et Oy; deux points matériels M et M' de masses m et-m'i réunis par un fil MM' de longueur invariable l;
le point M est assujetti à se mouvoir sur Ox; étudier le mouvement. — Le point M est soumis à la tension MA = T
et à la réaction normale N de la droite Ox; le point M' à la tension M' A' = T. Les équations du mouvement seront, en posant OM = x, et désignant par x' et y' les coordonnées du point M' :
if m T (X' — a:)
ie 1 •
lex' Tiif — x)
if 1
.=îf:
/•>■ Ty 77- — T'
P = {x' — xy + y"; puisque l'y du point M reste constamment nul, on a :
0 = T^ — N, d'où N = T^-
Mais ces équations ne nous sont pas nécessaires pour déterminer le mouvement.
Appliquons en effet le principe du mouvement du centre de gravité, seulement pour Ox; nous éliminerons les tensions; N n'intervient pas; donc on a :
d'où, en intégrant:
dx' , dx' (î) „ + „.. = C'.
Le principe des forces vives nous donne, en remarquant que la force N étant normale au déplacement du point M donne un travail égal à zéro, et qu'il en est de même de la somme des travaux des tensions T appliquées en M et M', parce que là distance MM'esl invariable :
154 COURS DE UËCANIQUE.
OU bien :
Ces équations (2) et (3) pourraient d'ailleurs être tirées des équations (i). Pour déduire de ces équations les lois du mouvement, remarquons que l'on a :
,,, i x' =x + Icm ft,
( y' = I sin ô,
(2) et (3) vont devenir :
dx
\ dt* [^dt* dt* dt dtj
On en tire :
. C + m'Jsin S —
(C + ni'Isin 0 -r-] dt/
,„(iÔ' Zm'fsinfldO / , ,, . ri8\
+ " '^ TS r T-, ( C + m' i SMl 6 — ) -
(//* m H- m rf( \ 'iï/
C" + (m"I' cos' 8 + mm' l*) j^ = ("• + *"') *^'
Ut'
/-r- k'm'^cos'O + mm' = k'(nt + m')C — C". Soit w la valeur initiale de j ' répondant S 6 = 6„ on aura :
-; lût Vm + m' cos' 6,
''* Vm -t- m' ços'9
= / Vm + m" cos* 6 dô;
l'expression de t en fonction de 8 dépend des intégrales elliptiques.
6 pourra prendre toutes les valeurs possibles, car le i-adica! k'm + m' cos' 6 est toujours réel.
Pour trouver x en fonction de (, remarquons qu'on déduit de (2) et de (4), en appelant G, une nouvelle constante
mm + m'x' ^ C f + C„ («1 + I»') * = C / + C, — m' / cos 9,
d'où l'on déduirait x en fonction de ( en remplaçant 6 par sa valeur en f, conclue de l'équation (6).
Courbe décrite par le point H'. — De (2) et (5) on tire : (m + m') -T-= — m/sin 0^ + C, d'où, en remplaçant dt par sa valeur tirée de (6) :
w Km + m' cos' fl, / (m -+- m') (aï' — x',) — m/ cos 0
) = — / Km + m' cos* fl dfl,
I M Km + m' cos' Oo-/
l y = f sin e.
Ces deux équations font connaître x' et y' en fonction de la variable auxiliaire e et par suite donnent la trajectoire cherchée.
Cas particulier : C = 0. — On a alors :
(m + m') (*' — a;,') = ml cos 6, mtj' = mf sin 6,
ce qui est l'équation d'une ellipse dont les axes sont paraJlèles aux axes de coordonnées.
On aurait pu voir à priori que le point M' doit décrire une ellipse; soit en effet G le centre de gravité du système des deux points M et M' ; désignons son abscisse par x,» on aura :
(m 4- m') X, = mx + m' x' , " dx, ix
-— i = 0, x,=i Const.
dt
Ainsi le centre de gravité G ne doit pas sortir de 0,y, parallèle à Oy; donc la droite MM' a deux de ses points Cl et M assujettis à se mouvoir sur deux droites rectangulaires 0,a; et 0,y,\ donc un quelconque de ses points, M' par exemple, décrit une ellipse.
14. Même problème en supposant le point H' pesant. — On aura encore :
dx , dx' „,
Le principe des forces vives nous donnera :
dx' , dx'* •+■ dtf" „ ^ . , "ÏF*" jjr-- = C + 2«'s».
On a d'ailleurs :
x' =x-t- Icos %
y' = / sin ft.
On tirera de là :
,dx
■■.iSc
On en déduit :
+ înj' (m + ra')s/sinO; pour ( := 0, on aura :
m' P (m -¥■ m' cos' 8,1 o>* = (m + m') G — C"
+ 2ffl' (m + m') gl (sin 6 — sin %),
. V^m + m' cos' 8 dO
ai = ± -
1/ (m 4- f»' cos' 6,) w' -I- 2 (nu- m') ? (sin 6 — sin %)
EIn posant :
(m + m' cos' 6o) w' — 2 (m H- m') ^ sin 8, = 2 (w + m') | H,
ou bien :
„ . „ m -I- m' cos'O. w*/
H = — sin 8, 4- —s- ~ — •
iJ viendra :
Vm + m' cos* 8 de d( = ±
l/« (m + m') I KH + sin 8 ïl/2(m+m')^= / — dfl-
On ne peut pas intégi"er sous forme finie.
Si H > i, 9 pourra prendre toutes les valeurs possibles,
car le radical Kh + sin 6 sera toujours réel.
Si H ■< 1, on fera H = sin p, et 8 ne pourra prendre que les valeurs pour lesquelles on a :
sin 3 + sin 8 > 0. Le mouvement sera oscillatoire.
Resterait à examiner le cas de H = 1 ; le pendule ne pourra atteindre la verticale qu'au bout d'un temps infini.
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Ici encore pour C = 0, la courbe décrite par le point M' est une ellipse. On a comme un pendule elliptique.
