Problème

On donne, dans un même plan vertical, deux courbes C et C ; deux points ■nuttériels pesants M et M', de masses m et m', sont astreints à se mouvoir sur ces deîix courbes; Us sont réunis par une tige rigide et inflexible, dont on néglige la masse.

Trouver leur mouvement. — Prenons,

dans le plan vertical donné, deux axes, Ox horizontal, Oy vertical et dirigé vers le haut. Les équations des deux courbes seront :

avec la relation

(«■ — *)' + (y' — yy

Les forces qui agissent sur M sont la force MP = mg, a réaction normale N et la tension T = MA.

Sur M' la force M' P' ^ m' g, la réaction N' normale à C et la tension T = M'A'.

Le principe des forces vives est applicable; il élimine les réactions et les tensions, parce que la distance MM' est invariable ; on a donc ; ■

wir' + m't'* =: C — ig {my + m'y').

ou bien :

,,, dx* + dp' , rfj!" +■ rfy" n a ,

(4) tu — ;ïir-^+"* ^^r^=C-2ff(»itf + ».>')■

Des équations (1), (2) et (3) on peut tirer les valeurs de y, y', x' en fonction de x; l'équation (4) donnera ensuite une équation de la forme

il'

1^ problème sera ramené aux quadratures, on aura ;

^fjWd^y

t = On trouvera ensuite aisément N, N' et T. Posons :

Viëhm

et nous aurons ;

dt' dx l

dt' dy " l

d'où :

ax dx dV

dy

'dy-

- mg + m' g -h m -r

dC

En remplaçant dans ces équations x, y, x', y' par leurs valeurs en fonction de t, déduites de (1), (2), (3), (5), on en conclura N, et N'„ et par suite Net N', par les équations (6); l'une des équations (7) donnera ensuite T.

■16. Application. — La courbe C se réduit à l'axe Oa: etC à l'axe Oy; les coordonnées du point M sont :

a; = /cosfl; y = 0, celles de M' :

x' =0; y' =«isin 6.

Les vitesses v et v' des points M et M' sont respec-

tivement :

- i sin fl

»'=:+( COS

Le principe des forces vives donnera ici :

mv* + m'c" = C — 2m'jy' =C — 2m'jisin 6, p ~{m&in' 6 -I- ffl' cos' 0) ^ C — 2m' jcisinO;

d'où on tire.:

de

dt

im' glsin 6

r". /m sin' 0 + t«' cos*6 ' ~ je. V ^ -'S^TiTn 0

Supposons 0, = 0 et lançons le point M' suivant Oy avec la vitesse a. Nous aurons :

a* m' = C, et par conséquent :

j. ij. ■ ■/«•sin'e + m' cos'8 y m' («■ — igl 8in 6)

ou, en posant :

= igh.

,,„ a /nisin'6 + m cos'O

at =; (a8 1/ •= rrr ;—■ — 7:7*

Y 23 m' {A — isin 6)

v?-xv'

Si l'on a h > i, le radical sera réel pour toutes les valeurs

de 6; 6 ira en croissant de 0 à s» et la barre arrivera à

coïncider avec Oy. Pour h < i, on pourra faire 7= sin P;

0 ira en croissant -y de 0 à g, puis décroîtra de p à 0.