Problême

~iS.etM' sont deux points matériels pesants, de masses m et m', assujettis le premier à rester sur le plan horizontal xOy, le second, sur la verticale Oz; ces deux

Desfetrous. — Mieaniqve. U. 11 ■

Digitizeû by ^lOOQ IC

points sont réunis par un fil inextensible de longueur l, gui passe sur une petite poulie placée en O. Étudier U mouvemenCde ces deux points.

Désignons par

», y, r, 0 les coordonnées rectangulaires et polaires de M. Posons :

En désignant encore par T Ja tension du fii, le point M sera soumis à la tension T, à la reaction normale du plan xOy et à son poids, et pourra être considéré comme libre; il en sera de iriême du point M' qui sera soumis aux forces M'A' = T et M'P = m'g\ on aura donc, pour déterminer le mouvement des points M et M', les équations suivantes :

dl' r'

rfC

On déduit de ces équations l'intégrale des forces vives :

dx* + rfw' , dz" , « , ,

m ^ . ■ . + m' -j-z- = consl. + îm az",

or ai

ou bien :

Le point M étant soumis à l'action d'une force centrale, on a l'intégrale des aires :

ÛYNAHlOUE. 163

(2) et (3) donnent la solution du problème. On en déduit sans peine :

(4) d6 = ± C ym + m' '^!.

(5) dt=± k^wi + m' -^^, en faisant :

(6) fir) = r'{G-im'9r)-mG\ On est conduit à des intégrales etlipti<iues.

Détennination des constantes G et G'. — Soient r, la rayon vecteur initial, v, la vitesse initiale, r„ l'angle que fait cette vitesse avec le prolongement de r,; on a :

f a COS »i.

i\ sin -r,.

Les formules

et (3) donneront :

= r,riSini[i„

= im'gi\ +

tij' (m + m

cos' r„)

On pourra écrire :

(8) /■(r) = r'jr,'(m + m' cos*j;„) +2»i'fl'(r,— r)}— mWsin*-fi,. Discussion. — On a :

Donc, l'équation /(»■) = 0, qui est du 3» degré, a ses trois racines réelles, deux a et P positives, une — y négative. On aura :

rdr

- / 2w'g r rdr

La courbe décrite par le point M est comprise tout entière entre les cercles r = p et r = a, qu'elle touche aux points où elle les rencontre.

Pour que le mobile M' ne passe pas par-dessus la poulie, on devra avoir l — a > 0; alors, z' restera compris entre ï — a et Z + p.

Coaditîoa poor que le mobile H décrive un cercle. — On devra avoir ;

a = p = r„ fir,) = 0, f (r.) = 0.

/(r,) = r,'v,' (m + m') cos' i],,

telles sont les conditions cherchées.

Calcul de T. — On déduit de (1) :

Trfr = mtï' =m -—. = C'

J "' r^ {m + m') ^ m -un' m +m'

r'db'

r* (m + m') imm'dr

d'où en difTérentiant :

- 2C' mm' 2 mm' g

mm' r Tj' «„* sin* »}, "1

18. 5" Problème. — Mouvement d'une chaîne pesante et homogène, su^endue sur le bord d'un plan horizontal. — B » f, Soit p la masse de l'unité de lon-

gueur de la ch^dne, l sa longueur.

Posons :

OA=:x, OB = i — iF.

A un moment donné, tous les points de la chaîne ont la même dx

fia 215

donc :

dx* .

.dx*

dt* * dt*

En désignant par X la force qui agit sur un élément de la chaîne, on aura par le principe de l'équivalence de la force vive et du travail l'équation :

-d.lmt

'='^Xdx.

Or on a ici :

X =^ gdm, 2 Xda; = dx Zgdm = gdx

'Ldm s'étend à la partie OA; donc :

2dm = px.

et l'on a :

pldx j^ = gpTdx, d'x g

iOd COURS DE MÉCANIQUE.

d'où, en intégrant, et désignant par A et B deux constantes arbitraires :

Supposons que, pour ( ;= 0, x = x„ et tt ^ 0, c'est à

dire que la chaîne soit abandonnée sans vitesse initiale; on déterminera aisément A et B, et on trouvera :

(2) . = '^{e'^Ue-y',).

Remarque. — Pour la partie OB, les réactions du plan et les poids ne donnent pas de travail.

Tension de la chaîne. — Proposons-nous de calculer la tension T en un point N de la partie AO; posons AN -= a. Si l'on coupe la chaîne en N, on pourra remplacer ta partie supérieure par la tension T; on peut alors appliquer le principe des forces vives à la portion AN, ce qui donne l'équation :

ïdx— Idx,

En remplaçant -^ par sa valeur (1), il vient ;

Pour calculer la tension en un point M de la partie OB, posons :

Si l'on coupe la chaîne en M, on pourra remplacer l'action

rdbyGoOgle

de la partie inférieure par la tension T', et appliquer le principe des forces vives à la partie MB; on aura :

(») r = ,fj.(i-f)-

Les formules (2) et (3) s'aceonient à donner :

pour la tension en 0; cette tension est maxima pour x = â' elle a aloi-s pour valeur 3PT-

19. 6° PftOBLftME. — Deux points matériels M et M', de masses m et m' sont attirés, proportionnellement à la distance, par un point fixe 0; ils sont réunis par une tige rigide et inflexible, de longueur l, dont on néglige la masse. Le point M e.st assujetti à se mouvoir sur une droite fixe Ox. — Étudier le mouvement supposé avoir lieu dans un plan.

Désignons par n' la constante d'attraction; soient T la tension de la tige, N la réaction normale de la droite Ox; le point M sera soumis à l'action des forces MA = mn'. OM, MB := T et N; le point M' sera soumis à l'action des forces M'A' = m'n\ OM' et M'B' =T'; soient OM = j;, et x' et y' les coordonnées de M', les équations du mouvement des deux points seront :

, d*^ , , , m («' — iP)

\ df l'

\ ix' - X)' -h y'' = /'.

(ma; -i-m'a^) a -j-j =: — n (ïBœ + m se).

ou, en faisant :

(2) m(B •+■ m'x' = (m + «') X, rf'X ,„

Xest, comme on voit, l'abscisse du centre de gravité de M et M' .

Le théorème des forces vives donne ensuite, en remarquant fin. 216 <^>i^ Is travail de N est nul, et qu'il en est de même de la

somme des travaux des tensions appliquées en M et M',

parce que la longueur MM' est invariable :

àx*

,daf'

■ dy"

- n» [mx* + m' (»** + y")].

où C désigne une constante arbitraire; nous ferons : (8) œ' — a; + tt.

De (2) et (5) on tire :

r 3/=xh i ».

L'équation (4) donnera :

du)' ,(dX m

jdX

{ dt m + m' dt

— C + fl'i» i X -

( dt

duy ,d^*

En réduisant, on trouve :

, , „ /((X' ,„,\ mm' idu*

. ( if"

L'équation (3) donne en intégrant, et désignant par A et B deux constantes arbitraires :

(8) X = A cos «< + B sin nt, on a aussi :

(9) «=:/cos8, y'=(sin9;

en tenant compte de (8) et de (9), (7) devient :

n' (M + m') {A' + B') + -, /■ sm* 0 j-; + »■ cos' 6

m + m [ ai )

+ mT î cos* 8 Tiï + »' sin* 6 j = G,

d'où ;

j^lmsiD*6 + (n

+ m') ce

m cos' fi

jsin'fij

n'ta

dô»

C, 1» - I»' sin" »

tt" dt' "

cos'»

et par

conséque

nt :

* — IJA

/m' cos'

~cW

H désignant une nouvelle constante arbitraire. On aura ensuite :

170 COUn^ DE HËQAMIQUE.

(12) x' = \ eos nï + B sin.B( + : l sin 0,

(13) y' = l sin 6.

I^es formules (iO), (11), (12), (13) résolvent com[)lètenient le problème, qui dépend, dans le cas général, d'intégrales elliptiques ; lorsque H ^ 0, on peut effectuer la quadrature (10) sous forme finie.