THÉORIE DES MOMENTS D'WERTIE
20. Considérons un corps solide. Soient, relativement à trois axes rectangulaires fixes, x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de ce corps, dm un élément de masse dont M est le centre; on est conduit en Dynamique à la considération des intégrales suivantes, qui s'étendent à toute la masse du corps :
(1) Ixdm, jsdm, izdm,
(2) iyzdm, Izxdm, jxy dm,
(3) / »' dm, j y* dm, i 2' dm.
Soient x„ y„ z, les coordonnées du centre de gravité, M la masse totale du corps; on a :
jx dm:= M*,; i tj dm = My,; js dm = Mr,.
De sorte que, si l'origine est au centre de gravité du corps, les trois intégrales (i) seront nulles.
Nous montrerons que, l'origine O ayant une position déterminée par rapport au corps, on peut toujours déterminer la direction des trois axes Ox, Oy, Oz, de manière que les trois intégrales (2) soient nulles. Quant aux trois
intégrales (3), si l'on pose :
(4) A=r(y» + 2')(lm; S = f(t' + x')dm; C = f{x' + s*)dm,
on aura :
iCi:' dm = B +C
' ifz- dm = ln-B
On sera donc ramené au calcul des quantités A, B, C. On appelle, en général, moment d'inertie d'un corps par
rapport à une droite quelconque la somme / p'dm, p désignant la distance de l'élément dm à la droite considérée, et la somme s'étendant à toute la masse du corps. Ainsi, A est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe Ox, B et C par rapport â Oy et Oz.
21. Détermination des momenta d'inertie. — Cette détermination revient à un problème de calcul intégral.
i" Un des exemples les plus simples est celui du moment d'inertie d'un parallélipipède rectangle homogène, par rapport à l'une de ses arêtes.
Prenons pour axes Oa;, Oj/, Oz, trois arêtes contiguës, dont les longueurs soient a,b,c; on aura :
:')dm = pj / / iy' + z^) dx dg dz
= pa I I (y' -»- 3*) rfy di,
^ {y' + ^*)d3 = c(ff'-4-|)-
Dlgitize(l by ^lOOQ le
* k — fae£ (y* + 3) t'y.
A = p aftc- — ^ — »
ou en désignant par M la masse du parallélipipède :
2° Moment d'inertie d'nne sphère homogène par rapport à un de ses diamètrea. — Rapportons la sphère à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz passant par son centre. Nous aurons :
A = f{if* + 3*) dm; B =j{z^ + a;') dm; C = Aip' + y») dm,
d'où:
A + B + C = 2 Aai' 4- »' + 3') dm.
La symétrie montre que A = B ^ C; donc :
A = ^j{x* + y" + 1') dm = ^Jr' dm,
en posant :
Prenons pour élément de volume une couche sphérique comprise entre les rayons r elr + dr; nous aurons :
dm = 4icpr' dr,
p désignant la densité de la sphère ;
» 8xp n , . 8i:pR' 4 „. 2R»
OÙ R représente le rayon de la sphère. Donc k
30 Moments d'inertie d'un ellipsoïde homogène, par rapport à ses trois axes de figure.
(!) A = C{y* + j») dm = pjTTcy' + s') àx dy dz.
les intégrations s'étendent à tous les points intérieurs à la surface, qui a ici pour équation :
X, y, z désignant les coordonnées d'un point quelconque N, faisons-lui correspondre un point N' (x', y', z'), par les formules :
(3) X =: ax' ; y^by'; z ^cz';
à l'élément de volurae (lv=: dx dy dz, répondra l'élément de volume dv' =dx' dy' dz'\ les formules (3) donneront :
Av = abc dv';
à l'ellipsoïde (2) répondra la sphère :
flj" + y'» + 3" — j,
et nous aurons :
dm= prfc = pabcdo';
la formule (1) donnera :
Les intégrations s'étendent maintenant à tous les points intérieurs à la sphère :
a-' + y- + -« = l de rayon 1.
On aura :
fx" dv'
i«' = Ur" dr',
•de',
donc :
[)■• d^ =p' it' =
La formule (4) donnera ensuite :
A = o*c(l.' + e')j^ip = | =
aficp-
ou bien,
en désignant par M la masse
: de l'ellipsoïde ;
B=M.ii^,
22. Cnps homogène terminé par une surface de révolution. — Le moment d'inertie d'un corps homogène se réduit à une seule quadrature, quand ce corps est terminé par une surface de révolution, et qu'on prend le moment par rapport à l'axe de figure.
Ckinsidérons un corps terminé par la, surface engendrée par la révolution de la ligne CD autour de Ox. Posons ;
OP = aî, OP' —x-vix, AP = r, BP =r + iir.
Le volume engendré par le rectangle ABA'R' tournant autour de Oac est :
Digltlzcil by ^tOOQ IC
176 COURS DE SÉCANIQUE.
son moment d'inertie relativement à Ox est :
2îcp dx.r drxr' = 2xp dx r* dr.
Il faut intégrer de P en M, c'est-à-dire de r ^ 0 à r = i/, y désignant l'ordonnée PM ; on aura ainsi :
■^ dx !,\
On aura donc :
3' où y doit être remplacé pat
l'ordonnée f{x} de la courbe méridienne et où « et g désignent les limites entre lesquelles x est compris.
23. Comparaison des moments d'inertie d'un même corps par rapport à deux axes parallèles. — 1" L'un passe par le centre de gravité du corps.
On connaît le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe Gz passant par son centre de gravité G. On demande le moment d'inertie du même corps par rapport à un axe AB parallèle au premier.
Soient «, g, 0 les coordonnées du point A où la droite AB perce le plan xGy;
DÏNAMIQUE. 177
Soient M un point quelconque du corps, x ety ses coordonnées, MI ^ p sa distance à l'axe AB; MH = g sa distance à Oz; on aura ;
p' = (aî-a)' + (p-g)", p*7=x^ -h îf' — 2aa: — 23y + «' + g*,
'S.mp* = Z mq* — 2a S ma! — î& 2 my + (a* + ?>*) Xm,
ou, en posant GA = a et remarquant que
Lma! = 0, Zmp = 0, parce que l'origine coïncide avec le centre de gravité :
a' = a' + ^', Sm ^ M (masse du coi'ps).
Li«jï' =: Zmq* -j- Ma*.
De là ce théorème : Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelcoîique est égal au, moment d'inertie par rapport à l'axe parallèle mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.
On en conclut que si l'on prend les moments d'inertie d'un corps par rapport à une série d'axes parallèles, on obtient le moment minimum lorsque l'axe passe par le centre de gravité.
2" Les axes sont quelconques à des distances a et a' du centre de gravité. — On a, d'après le théorème précédent :
. Srap* = '^mg* + Ma*,
lmp"~ Zmq^ + Ma",
Zmp'* = Imp* -+• M {a" — o').
Telle est la relation qui existe entre les moments d'inertie,
DlSPEYROUS. — Mécanique. II. 12
Smj)' et Hmp" relatifs à deux axes parallèles distants de a et a' du ceatre de gravité.
Nous sommes ainsi ramenés à comparer les moments relatifs à deux axes qui passent par un même point, et pour cela nous allons «l'abord cliercher l'expression du moment d'inertie d'un corps, par rapport à un axe passant par l'or^ine.
24. Soient M un point quelconque du corps, x, y, z ses coordonnées, MI sadisp tanc« à l'axe OP qui fait avec les axes coordonnées les angles a, vy P, Y- Nous aurons :
Mi =p' = a;' + y*
+ 2' - Ôï', 0I = itco8a -J- y cosp Fig. 219 -l-îcosY,
p' = 3t' + y' + s* — (a: cos » + y cos g + 3 cos y)', p' = (a;* + y* + z') (cos' a + cos' ^ + cos* f)
— (;ï! cos a + y cos 3 4- 3 cos y)',
p' = cos* a (j' + z') + cos' g (2* + X*) + cos* Y (*' + y*)
— 2 cos p cos Y yz — 2 cos Y cos a aia: — 2 cos « cos g a;y,
d'où :
Smp* = cos* a Zm (y* + s') + cos' p 2m (z* + a;') + ces' Y 2in{a;' +y') — 2 cos ^cosf'Zmyz — 2cosYCosaïma!2 — 2cos p cos %Zmxy.
Posons :
A = SiM (y* + z'), D = Zmyz, B — 2ra (-' + x'), E = Smxj, C = 2m (.C + y'), F = 2miry,
et nous aurons :
(i) Zmp* = A cos' a + B cos' p + G cos' y — 2 D cos p cos ^
— 2 E cos ï cos 7 — 2 F cos a cos g.
Donc, pour trouver le moment d'inertie relativement à une droite quelconque passant par l'origine, il suffira de connaître les six constantes A, B, C, D, E, F. Remarquons que A, B, C sont les moments d'inertie du corps relativement aux axes Ox, Oy, Os.
25. Représentation géométrique de la vanation dn moment d'inertie, quand la droite tonrne autour du point 0. — Sur OP portons une longueur :
et soient 5, i^, Ç les coordonnées du point P ; on aura : cos a cos g
En tirant de là les valeui-s de cos a, cos g, cos y, et les portant dans (-1), il vient :
AÇ' + Bi)' + Gï* - 2 D15I; - 2Ei;5 - 2F 513 = ï.
Le lieu des points P est donc une surface du second degré ayant le point 0 pour centre. Tous les rayons vecteurs de Ja surface sont finis ; cette surface est donc un eUipsoïde, Poinsot l'a nommé ellipsoïde central (les moments.
Si l'on avait pris pour axes de coordonnées les axes principaux de cet ellipsoïde, son équation eût été :
AS' + Br,' + Gi;* = l, et on aurait eu :
Digitizeû by ^lOOQ IC
Ainsi, relativement à ces axes :
Intf/z = 0; Ijuxz :=0; ^mxy = 0.
Réciproquement, si ces quantités sont nulles, les axes Ox, Oy, Os sont les axes de l'ellipsoïcie . Si l'on a seulement :
Imys = 0; Imxz = 0,
il en résulte D r= 0, E = 0 ; dans ce cas, Oz est un axe principal de l'ellipsoïde.
Définition. — " Les axes principaux d'inertie sont les axes de l'ellipsoïde central. Les quantités A, B, C, moments d'inertie relativement aux axes de cet ellipsoïde, sont dites les momenta principaux d'inertie relativement au point 0.
En général, l'ellipsoïde admet un système d'axes principaux et un seul ; dojic, en généi'al en un point donné 0, il existe' un système d'axes rectangulaires Ox,Oy, Oz et un seul, tel que, relativement à ces trois axes, on ait :
2;my3 = 0; 2nia:i = 0; :^mxy=0.
Si l'ellipsoïde central est de révolution autour de Oz, il y a une infinité de systèmes d'axes principaux d'inertie; tous ces' systèmes ont un axe commun Oz; deux droites rectangulaires quelconques OA et OB dans le plan a:Oi/, complètent l'un quelconque des systèmes.
Si l'ellipsoïde devient une sphère, un système d'axes rectangulaires quelconque OA, OB, OC est un système d'axes principaux.
Soit r la longueur interceptée sur une droite quelconque OA, entre le centre de l'ellipsoïde et sa surface; soit t». le moment d'inertie du corps par rapport à la droite 0 A ; on a, comme on l'a vu plus liaut :
Vil. '
la variation du moment d'inertie est donc très nettement indiquée par la variation de r, lorsque la droite 0 A tourae autour du point 0.
Si l'ellipsoïde est à trois axes inégaux, au plus petit axe répond le plus grand moment ; au plus grand axe répond le plus petit moment.
Quand l'ellipsoïde est de révolution autour de Oz, et aplati dans le sens de Oz, le moment C correspondant à Oz est un maximum; tous les moments relatifs aux droites OA, OA' ... situées dans le plan xOy sont égaux entre eux, et leur valeur commune est le minimum des moments d'inertie relatifs au point 0.
Remarque I. — Les coefficients A, B, C ne peuvent pas être pris au hasard; en effet, des formules :
on tire :
A ■+■ B--C = 22mï».
Donc on doit avoir :
