A + B — OO; B + C — A>0; C + A — B
Remarque II. — Un ellipsoïde quelconque ne peut pas être considéré comme l'ellipsoïde central d'un corps. Soit l'ellipsoïde :
-T + ïi + -i = *; a* 0* c'
supposons :
l'écjuation de l'ellipsoïde central est :
Ax' + By' + Cz' = i.
On devra avoir :
en résultera ;
mais on
devra avoir aussi :
ou
bien
Ainsi, a désignant le grand axe, b l'axe moyen, le petit axe doit vérifier l'inégalité ci-dessus.
Soient 0 M et ON deux droites rectangulaires, OM = a, ON = b; OH perpendiculaire sur MN; on devra avoir c > OH, Supposons que l'ellipsoïde soit de révolution autour de Fig. 220 son petit axe, on aura :
l'inégalité ci-dessus donnera :
Ainsi, pour qu'un ellipsoïde de révolution autour de son petit axe puisse être considéré comme l'ellipsoïde central d'un corps, il faut que son aplatissement soit inférieur à 0,293.
26! Questions diverses relatives aos momeats d'inertie.
— i" Soient Gx, Gy, Gz les axes principaux relatif» au
centre de gravité G, on demande de trouver les axes principaux relatifs à un point quelconque 0 de Gz.
I! est facile (ie vérifier que les axes principaux en O sont ■ parallèles aux axes principaux en G.
En effet, puisque Gx, Gy, . Gz sont les axes principaux d'inertie relatifs au point G,
i, Zm
= 0; Zmzx = Zmxy = 0,
et en outre, puisque le point G est le centre de gravité :
(2) Imx — d; :£ray = 0; ^mz = 0.
Posons OG = I; menons Ox' et Oy' respectivement parallèles à Gx et Gy; désignons par x', y', z' les coordonnées correspondantes à x,y,z et relatives aux nouveaux axes; nou^ aurons :
x' =x; y' = y; ï — z — l, d'où ;
Smy'z' = Smy (z — 0 = Smyz — / Smy, Imz'x" = Zmx (z — /) ^Zmzx — IZmx, Imx's' = Zmxy.
Kn tenant compte de (i) et (2), ces relations deviennent ;
2mj('z'— 0; Zmz'j^=0; Zmx'y' ==0,
ce qui prouve que Oz' ou Oz, et 0.r', Oy' sont les axes principaux d'inertie du corps relativement au point O.
2* Soient Ox, Oy, Oz les axes principaux relatifs à un point quelconque 0 du corps; prenons un second point 0'
sur Oz; O'z est-il un axe prinàpal relativement att point 0'9 Menons O'x', O'y' parallèles à Ox, Oy. On a:
(3) 2my2— 0; I.mxz = (i.
On doit avoir : ,
Imy'i' =0; Zmx' z' =0,
Smy(2
Znne (? — /) =
Smyz — I Imy = 0; Zmzx — l Zmx = 0;
d'où, en tenant compte de
lmy = 0; Sma; = 0.
^. Donc, Oz doit passer par le
centre de gravité ; dans ce
cas, cette droiJ,e est un p axe principal pour tous ses
points.
Donc, ai par un point
de l'espace on mène une
Fg.222
droite quelconque, il pourra se faire que cette droite ne soit un axe principal relativement à aucun de ses points, ou qu'elle le soit pour un de ses points, ou enfin qu'elle le soit pour deux de ses points, et alors elle passera nécessairement par le centre de gravité, et sera un axe principal d'inertie pour tous ses points.
Il n'existe' donc en général que trois droites qui soient des axes principaux relativement à deux points de leur direction ; ces trois droites sont les axea principaux d'inertie relatifs au centre de gravité.
3" Un corps étant donné, peut-on trouver un point de ce corps relativement auquel les trois moments d'inertie principaux soient égaux?
Soient 0 le point cherché, G le centre de gravité du corps; l'ellipsoïde principal pour le point O doit être une sphère; une droite .quelconque passant par le point 0, OG par exemple, sera un axe principal d'inertie, relativement au point 0 et, par suite, relativement au point G; soient Gx et Gy les deux autres axes principaux d'inertie relativement à ce point G. Les axes principaux d'inertie par le point 0 seront Oz, Ox' parallèle à Gx et Oy' parallèle à Gy.
Soient A, B, C les moments d'inertie par rapport à Gx, Gy, Gz, les moments d'inertie relatifs à Ox', Oy' et Oz seront ;
A + Mf, B+MP, G,
en désignant la distance OG par l.
On devra donc avoir :
d'où :
Donc l'ellipsoide central relatif au point G doit être de révolution, et de plus il doit être aplati, auquel cas C — A est positif, et l réel. Il y aura donc dans ce cas deux points O et G' répondant à la question; ces points seront situés sur l'axe de révolution de l'ellipsoïde central relatif au centre de gi'avité, de part et d'autre de ce point, et à des distances égales à l.
27. Trouver les directions des axes principaux d'inertie en un point quelconque, et les grandeurs des moments d'inertie principaux. — Soient G le centre de gravité du
corps, A le point de "ce corps pour lequel on cherche les axes principaux, AB l'un de ces axes, d sa distance au point G, a, p, Y les angles que fait AB avec les axes principaux relatifs au point G, X, y, z les coordonnées du point A rapportées à ces axes, H le lf*.^'/J moment d'inertie correspondant au point A, relativemeiit à la droite AB.
Nous aurons :
H = Acos'ix + Bcos*g4-Ccos*f + Mrf*, où A,B,Csont les moments d'inertie principaux du corps relativement au point G; en posant :
H^M?'; A = Ma'; B = M6*; G = Me*.
p, a, b, c sont ce que l'on nomme les rayons de gyration correspondant aux moments d'inertie H, A, B, C; il en résulte :
l^ = 0,* cos* a + (>' ces' p + c* cos' y + d*; or, on a :
d* x: GA — GE = »' + y* + s' — (œ cos a + y cos & + 3 cos y)*.
Posons encore :
r* = x* + y* + ï*, et nous aurons :
p* = a* cos' a + 6' cos' & + c' ces' y + r'
— (a; cos a + y cos p + T cos -,■)*. ou bien :
(1). p' := (a* + r') cos' a 4- (b' -h r') cos' 3 + (c' + r') cos' y
— (« cos a + y cos p + z cos y)'-
Nous allons chercher les valeui-s de a, g, y qui rendent p* et par suite H un maximum ou un minimum, propriété
DYNAMIQUE. iSl
cantctérislique des axes principaux relatifs au point À; nous obtiendrons ainsi les directions en  des axes principaux d'inertie. Avec (i) nous avons la relation :
(2) cos' a -I- cos' §t ■+■ cos* Y = 1- L'expression (i) de p' qui doit être maxima ou minima, est une fonction de trois variables a, g, i, liées entre elles par la relation (2); éci-ivons que dp'=;0, et différentions en même temps (2) ; il viendra :
(3) 0 = (a' + r*) cos a d.cos »+(&' + r') cos 0 d.cos ^
+ (c* + O cos Yf^-COS V — (atcos a + jfcos^ + ZCDS y) (x d.cos h -t- 1/ .d cos ^ + zdcosi),
(4) 0 := cos a d.cos a + cos 3 d.cos P + cos y d. cos y-
Formons la combinaison (3) — î,(4), X désignant un facteur indéterminé, et annulons dans cette combinaison les coefficients de d cos x, d cos p, d cos y; nous aurons :
|(a* + r' — X) cos a -=: a; (a; cos a + y cos ^ + a cos y)> ((,* ^- r' — X) cos 3 ■= y (* cos a + y cos g + 2 cos y), (c* + r' — X) cos Y = 3 (ic cos a + y cos g + 3 cos y). Multipliant les équations (5) respectivement par cos a, cos ^, cos Y et ajoutant, on trouve :
(a' + r*) cos* a + (6* + r') cos* g + (c* + r*) cos* f — 'k
= (b cos a + y cos g + 2 cos y)'.
ou bien, en tenant compte de (1) :
Les équations (5) donneront ensuite :
cos g := .-j j j {a; cos a + y cos g + z cos y)»
cos Y = "i ^ j (x cos a + y cos g + 2 cos y).
Je mulliplie ces dernières équations respectivement par X, y, z, en les ajoutant, et supprimant le facteur x cos x + y cos g + z cos Y) j'obtiens :
a' + r* — p* D* H- r' — p* r + r* — p' Nous avons aussi, en vertu lies équations (3**) : , cos a cos g cosf
U' + r' — pV \b* + r' — pV yC + r* — pV
L'équation (6) est du troisième degré en p', à chaciune de ses racines correspondra un axe principal dont la direction sera déterminée par les équations (7). Soit a' < b' < c'.
Les trois valeui-s de p* sont réelles et comprises entre a' + r' et 6' + r', entre 6* + r' et c* + r*, et enfin entre c' 4- r* et 4- 00 . Les trois valeurs de r' — p' sont les trois paramètres X, ji, v des trois surfaces du second degré :
; a' + V 6' + V c* + V* ~ * qui sont homofocales avec l'ellipsoïde (<)-
et passent toutes les trois par le point donné X(x, y, z); l'équation (9) peut s'écrire du reste :
C) Clebsch a proposé d'appeler cette surface le tecond etlipeoide central.
L'une de ces trois surfaces est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloîde à une nappe, et la troisième un hyperboloîde à deux nappes. *
Les équations (7) montrent que les directions des axes principaux d'inertie au point A sont les normales aux trois surfaces (8), ou bien, d'après un théorème connu, les tangentes à leurs intersections mutuelles.
On a en désignant par pj, p\, p] les trois racines de l'équation (6) ;
>. = r* — pî; (ji = r* — pj; fl = r" — pj.
= KiC" + ff' + 2* — X; p, = \^x* -+- y* + 3' ■
p, = Vx* + J* + z' — V.
On arrive donc à ce théorème remarquable dû à Binet :
Étant donnés les axes principaux et les moments d'inei'tie prijicipaux relatifs au centre de gravité, on obtiendra les axes principaux et les moments d'inertie principaux relativement à un autre point quelconque A, de la manière suivante : On construira le second ellipsoïde central, et les trois surfaces du second degré qui lui sont komofocales et passent par le point donné A ; les normales â ces surfaces seront les axes principaux du point A ; soient X, i*,, v les paramètres de ces trois surfaces, les rayons de gyration principaux en A seront respectivement :
i/fi^Tx, i/»^rr7, i/?'^:^.
Supposons pour fixer les idées : a > b > c; supposons en outre que :
X réponde à l'ellipsoïde ;
1* à l'hyperbololde à une nappe ;
V à l'hyperboloîde à deux nappes.
COORS DE MÉCANIQUE.
On a:
a*-i-\>0; fc' + X>0; c' + X>0,
rt' + H>0; fi*-t-ij,>0; c' + ii<0,
— \ < c* < — V < b* < — V < a*; or :
p\=r' — 'ki p; = r' — [*; p*=r* — v,
il en résulte donc :
pî < c* + r," < p; < 6* + r' < pj < o* + r*.
Donc le plus petit moment répond à l'ellipsoïde ; le plus grand, à l'hyperboloîde à deux nappes.
Remarque. — p\, pj, pj sont les trois racines de l'équation (G), la somme des racines est :
pî + pî + pî = Sr* + o' + 6' + c'.
Donc, la somme des moments d'inertie du point A reste constante quand ce point se meut sur une sphère ayant pour centre le centre de gravité.
