CHAPITRE IV
■ODVEMEHT DE ROTATION D'UN CORPS SOLIDE AUTOtFR Ifim AXE FŒ.
28. Dans un pareil mouvement tous les points décrivent des arcs de cercle dont les rayons sont les distances de ces points à l'axe de rotation. Soit 6 l'angle décrit pendant le temps * par le rayon d'un des points; cet angle est le même pour tous les points. Soient r la distance du point considéré à l'axe, v sa vitesse, s l'arc de cercle correspondant à l'angle 0; on a :
ds rd^
On représente par lo la quantité -r,' Q"' P^^t être constante ou variable, on a donc :
r = wr;
fa) est la vitesse angulaire de la rotation à l'instant considéré; la formule précédente montre que w est la vitesse, à l'instant considéré, des points situés à l'unité de distance de t'axe.
Ck)nsidérons le mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un axe fixe ; prenons trois axes rectangulaires fixes Ox, Oy, Oz, l'axe Oz coïncidant avec l'axe de rotation. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point quel-
conque M du corps à l'époque t, par X, Y, Z les composanlés à la même époque de la force F appliquée en M ; le mouvement du corps solide sera délerminé par l'équation des moments relative à l'axe Oz, savoir :
Or, r et e désignant les coordonnées polaires de la projection du point M sur le plan xOif, on a :
X = r ces 8, y =: r sin 6 ;
& est une fonction inconnue de ^ ; on a donc :
on aura :
dp ''^ „ 1 ''& '^ dt~^lt~'' di'
L'équation (i) donne ensuite :
d ^ .dô
dï^*"' rt'-
r'est constant pour chaque point matériel pendant toute la durée du mouvement; u est le même à aiaque instant pour tous les points du corps solide; On a donc :
d'où :
dt ~ l.mr'
Telle est l'équation dont dépend la détermination du mouvement du corps.
On peut donner une autre forme à cette équation. La force F qui agit sur le point M, pourra être la résultante de
plusieturs autres P, P' ... jsoit Q la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'une quelconque des forces P, q la plus courte distance de la force P avec l'axe, on peut mettre l'équation (2) sous la forme (2*^) :
du
2Qî ■ Smr'
Qq est le moment de la force P par rapport à l'axe de rotation; Smr" est le moment d'inertie du corps par rapport an même axe.
Soient POA un plan pei^ pendiculaire à l'axe, O A une droite fixe située dans ce plan ; comptons les angles 6 dans ce plan à partir de OA, dans un sens déterminé, celui de la flèche par exemple; on aura :
j et dans 2Qg, on devra pren-
dre chaque moment Qq avec le signe + ou le signe — suivant que la composante Q tend à faire tourner le corps dans le sens de la flèche ou en sens contraire.
On sait que les forces intérieures ne figurent plus dans l'équation (1); les réactions que les divers points de l'axe fixe'exercent sur le corps, sont des forces qui rencontrent l'axe, et dont les moments sont nuls par rapport à cet axe ; dans l'équation (2*^, SQj représente donc la somme algébrique des moments relativement à l'axe de rotation de toutes les forces extérieures, qui agissent sur les divers points du corps; I^mr^ est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe fixe ; de là ce théorème :
- Mécanique. II. 13
Quand un corps solide tourne autour d'un axe fixe, la dérivée de la vitesse angulaire, par rapport au temps, est égale à la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures, par rapport à l'axe de rotation, cette somme étant divisée par le moment d'inertie du corps relor tivement au même axe.
On voit que, si la somme des moments des forces extérieures est constamment nulle, on a :
d'où u = const. ; le mouvement de rotation est donc uniforme. L'équation (2) peut s'écrire :
En général, les moments des forces données varieront avec la position du corps; si ces forces extérieures ne dépendent pas du temps, leurs moments seront des fonctions connues de 6, et l'équation (3) pourra s'écrire :
On en tire :
u, étant une constante arbitraire, qui représente la valeur initiale de la vitesse angulaire, pour t ^ 0, alors que 6 = 6„ on aura ensuite ;
dt = -
y/ifjf(fi)dfi-^
Si l'on peut effectuer cette quadrature :
on aura t en fonction de e, d'où 6 en fonction de t.
29. Appucation. — Les forces extérieures ae réduisent à des attractions dirigées vers un centre fixe, et proportionnelles à la distance.
Faisons passer l'axe des x par le centre fixe, et soit a la distance de ce centre fixe à l'axe de rotation ; on aura :'
X = »iit(fl — aï); y = — mi*y, d'où:
xY — yX = — mv- ay, S (xY — yX) = — i*fl 2«y = — 1*0 My,,
en désignant par y, Vy du centre de gravité, et par M la masse totale du corps; on aura donc :
(i"6 -|»oMy, df ~ ïmr'
Posons:
», = r, cose,;
y, = r, sinO,; Smr»
= MK';
on aura : -j^ = ■j4> et réquation (5) donnera :
d'où, en multipliant par '2d\ et int^rant : = A' cas ô. + const.
COURS DE UËCANIQUE.
• dl'
Supposons que pour ( ^ 0, 9, = a, et --ït = 0; il viendra -.
(êy-(«
Kcos Q, — cos a,
Le rayon vecteur r, du centre de gravité se déplacera comme le ferait un pendule simple.
30. Notion mécanique des axes piincipanz d'inertie. — Prenons un corps solide attaché à un axe Axe, autour duquel il ne peut que tourner, et cherchons les résultantes des pressions supportées par cet axe; prenons deux points 0 et 0' sur cet axe, et ne nous occupons que de ces deux points; si ces points restent immobiles, comme le corps est soUde, il en sera de même de tous les points de l'axe; nous allons chercher les pressions que le corps en mouvement exerce sur ces deux points; les réactions de ces deux points sur le corps seront égales et opposées aux pressions qu'ils supportent; soient, pour le point O, X„ Y„ Z, les composantes de la réaction suivant les axes, et de même X,, Y„ Z, pour le point 0'; soit 00' = I; en introduisant ces réactions on pourra appliquer au corps solide les équations du mouvement d'un corps solide complètement libre et écrire les équations :
En mettant en évidence ce qui se rapporte aux réactions,
Cette dernière équation ne contient pas les réactions ; elle donne la loi du mouvement. Nous allons siraplifler les équations (Â). On a :
00 z = const. ; jrt = 0;
(3) flî = r CCS fl; y = r sin 6; jT = " J
par conséquent, en remarquant que r reste constant pendaat toute la durée du mouvement :'
ou bien, en tenant compte de (3) :
dx
Tt-
On en tire :
' dl df
df ~
198 COURS DE HËCAMIQUE.
et, en ayant égard à (4) :
On aura ensuite, en tenant compte de (2) et ^ :
du
„ d'x du ^ ,„
dï' dt
Soient x, et y, les coordonnées du centre de gravité du corps à l'époque t, M la niasse de ce corps; on a :
Imx = Hx,; Imy = }iy„
et les équations (6) donneront ;
En portant ces valeurs dans (A), il viendra :
(7) X, + X, + 2X + Jl( j,^+»'iC,)=0,
Digitizeû by ^^lOOQ IC
(H) + iX, + s (2X - aîZ) -f- ^ Zmyz -f u' Zmxz = 0.
Quand on saura intégrer l'équation (1) qui donnera le mouvement, les équations (10) et (il) donneront X, et Y, ; (7) et (8) donneront ensuite X, et Y, et (7) fera connaître Z, + Z„ sans déterminer en particulier l'une des composantes; cela tient à l'hypothèse d'une redite absolue du corps solide, qui permet de transporter tout ou partie de la composante Z, du point 0' au point O.
Remarquons que X, et Y, seront en raison inverse de l.
Supposons que les forces extérieures se réduisent à un couple, dont le plan soit perpendiculaire à l'axe, et dont nous représenterons le moment par N ; on aura :
S («T — yX) = N,
s(yZ-îY) = o.
s (aX — «Z) = 0.
Les équations (1), (7), (8), (9), (10) et (11) donneront donc : *(12) ^2r«r» = N.
(13) X, + X. = - M U ^ + oi'iF,) )
(16) ^^*~ ~'in ^"^^ ~ "* Smxz.
Demandons-nous, maintenant, s'il est possible de conseil ver le mouvement sans que le point 0' Emisse; on devra
avoir constamment :
