X. =r 0, Y. = 0; (iS) et (16) donneront donc
dt
■r- 2»(»2 + lù* Smaiz = 0, at d'où:
fê)' ï f^"'*^^' "^ (Smyi)' ! -+- u' I (Smy2)* + (Smai)* { = 0, ou bien ;
} (Zmxiy + (Imysy \=Q,
ce qui exige que l'on ait séparément :
(17) ï.mxs = 0; Zmyz = 0.
Réciproquement, si les équations (17) ont lieu, les formules (15) et (16) nous montrent qu'on aura : X, = 0; Y, = 0.
Donc, pour que le point 0' n'agisse pas, c'est à dire pour qu'il n'éprouve aucune pression, il faut et il suffit que le^ équations (17) aient lieu, c'est à dire que l'axe Oz soit un axe principal d'inertie, relativement au point 0. De là ce théorème :
Pour qu'un corps Bolide attaché à un point fixe, et sollicité par un couple agissant dans un plan perpendiculaire à une certaine droite passant par le point fixe, tourne constamment autour de cette droite, comme si elle était fixe, il faut et il suffit gue cette droite toit un axe principal d'inertie relativement au point fixe.
Le mouvement continuera autour de cette droite, sans qu'il faille exercer aucun effort pour la maintenir invariable.
DYNÂftUQUE. 201
On peut demander aussi que le point 0 n'agisse pas non plus; on devra avoir alors, en outre de X, =0, Y, ^ 0, Z. = 0:
Les équations (13) et (14) donneront :
Cette équation se décompose en deux autres :
qui montrent que l'axe 00' doit passer par le centre de gravité du corps. Réàproquement, si les équations (48) ont lieu, tes équations (17) étant supposées vérifiées, on en déduira : X. = 0, Y. = 0, Z, = 0.
Nous avons vu que, si la droite Oz qui est un axe principal relativement au point 0, passe par le centre de gravité, elle est aussi un axe principal relativement à ce dernier point. De là ce théorème :
Pour qu'un corps qui a commencé à tourner autour d'une certaine droite, et qui est sollicité pa/r un couple perpendiculaire à cette droite, continus d tourner autour de cette droite, entièrement libre, comme si elle était fixe, il faut et il suffit que cette droite soit un des axes principaux qui se ra^ortent au centre de gravité.
Dans le premier cas, où lecorps a un point fixe, les trois
202 COURS DE HËCANIQUE.
axes principaux, gui s'y croisent, sont donc des axes permanents de rotation, et ce sont les seuls qui jouissent de cette propriété. Les trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité, sont nommés axe$ naturels de rotation. Toutes les conséquences précédentes subsistent évidemment quand 0 n'y a pas de forces extérieures ; il suffit de faire N = 0; la vitesse angulaire u qui était variatle, dans le cas du couple, devient seulement constante.
31. Application aux meules des moulins. — La meule mobile d'un moulin offre l'exemple d'un corps solide tournant autour d'un axe auquel il n'est rattaché que par un point.
Si la meule mobile était liée invariablement à l'axe de rotation, le travail de la mouture serait très inégal; les grains de petite dimension échapperaient à l'écrasement dans l'intervalle uniforme d^ meules. On obtient un meilleur résultat, en laissant à la meule mobile la liberté d'osciller autour de son point d'attache ; mais l'oscillation qu'elle prend doit toujours rester très faible. Pour cela, on fait en sorte que l'axe de rotation soit un axe principal au point d'attache ; on centre aussi la meule, c'est à dire qu'au repos son centre de gravité doit se trouver sur la verticale du point de suspension. Cette dernière condition étant supposée d'abord seule remplie, la meule se tiendra horizontale au repos; mais, pendant le mouvement, il n'en serait de même que si la meule était entièrement homogène, ce qui n'a pas lieu en général ; en prenant pour axe des 2 la verticale du point de suspension, on devra avoir :
ce qui fera que l'axe de rotation sera un axe principal.
On ajoute à la mmile de petits contrepoids qu'on peut élever ou abaisser à volonté; on^peut ainsi faire varier
Smxz, ^myz, d s ces deux qoaDtilés.
AJors la rotatk» onifonne per5i>!e aotc-or de b TntkaJie da poiot de suspensioa. coiscie si cet axe êtùt enti^remeiit fixe. Od est aTerii que le ivpîâ^ est ctHtTeiubîe. par la stabilité du moaTemeot àe U meule, quanj od la fût tourner à vide.
32. Du pendule a^^oeé. — L'a carfs solide pesant, nu^fle aatour d'oD axe horizontal, qui ne passe pas par son centre de graTité, se met de hû-mèiDe en mouvement, quand il n'est pas dans sa position d'équilibre, c'cst-à-tUre. quand son centre de granté ne se trouTe pas dans le plan rertical mené par l'axe : il constitue alors un pendule composé, nous allons chercher les lois du moarement de ce pendule.
Soient Oz l'axe supposé horizontal, Ox un axe vertictil et dirigé vers le bas, H un point quelconque du solide, MP =j> sa distance à l'axe, MQ perpendiculaire sur lo plan xOy, e =^ xOQ, Smp' le moment d'inertie du corps pur
204 COURS DE UÉCANIQUE.
rapport à l'axe Oz; on aura pour déterminer le mouvement du corps solide l'équation :
(a) ^s«ip' = s(aïY-»X),
0 étant l'angle xOQ compté positivement de x vers y. Id, on a en désignant par m la masse du point M :
Y = 0, \ = tRg.
L'équation (a) peut donc être mise sous la forme :
(b) ^ï.mp' = — gXmif.
Soit y, la valeur de y qui répond aii centre de gravité; on aura en désignant par M la masse du corps :
Zmjf = Hy, = Ma sin 9„
ft, désignant la valeur de 0 qui répond au centre de gravité G, et a la distance de ce centre de gravité à l'axe de suspension ;
Soit MK" le moment d'inertie du corps par rapport à la parallèle à Oz menée par le centre de gravité; on aura, comme on sait :
(î) Smp' = Mo' + MK".
Donc, l'équation (1) deviendra :
Considérons un pendule simple de longueur I = n + — ;
on sait que les lois de l'oscillation d'un pareil pendule sont données par la formule :
Le pendule composé oscillera donc comme le pendule simple de longueur I, si à un certain instant on a :
réalité de ces deux angles se maintiendra pendant tout le mouvement. Le pendule simple de longueur l se nomme le pendule synchrone.
Lorsque le pendule- composé fera de très petites oscillations, il en sera de même du pendule simple, et la durée T de ces oscillations sera :
'Vl
où t =
On voit que pour calculer T, il faudra corniEdlre a et K, ou bien la distance du centre de gravité à l'axe de suspension, et le moment d'inertie du corps relativement à un axe
passant par le centre de gravité, parallèlement
à l'axe de suspension.
