PR~P'R
"~^ PK' + P'R" + Qp»' ou :
(9) o. = Kff(.
K ayant pour valeur :
- P'R"+ Qp' = KR'gt; x'= KKgt\
X et ce' désignant les quantités dont descendent et montent pendant le même temps t les poids P et P', dont le mouvement est, comme on voit, uniformément accéléré.
Machine d'Atwood. — Pour passer à la machine d'Âtwood il suflit de faire R = R' dans les formules précédentes; on a alors, en posant :
v=v' =hgt=:g't, > g'=gh.
x = x' =-hgt* = ^g't', ]
Si P — P' est très petit, il en sera de même de l'accélération 3'.
Les i)oids P et P' sont connus, ainsi que R ; p peut être calculé aisément ; on peut calculer ic et ( ; on a alors :
2a; j R' (P + P') + Qp' { ^~ R'(P— P')ï'
D,g,tizccbyG00gIc
DYNAMJQUK. 213
On peat donc calculer g, mais on n'a pas la mùmc précision qu'avec le pendule.
36. Problème. — Un cijlindre circulaire droit homogèns est placé horizontalement sur un plan incliné parfaitement poli; un fil sans masse, fixé par une de ses extrémités au contour du cylindre, s'enroule sur le corps suivant la section droite qui contient le centre de gravité, et s'attache par l'autre extrémité à un point fixe situé dans le plan de cette section, à une hauteur au-dessus du plan incliné égale au rayon du cylindre. Le fil étant complètement enroulé, on abandonne le cylindre à son poids.. Déterminer, pour une position donnée, la tension T du fil, et la vitesse avec laquelle décroît l'angle 6 qxie le fil fait avec le plan incliné.
Soient a le rayon du cylindre, M sa masse, MK'son moment d'inertie par rapport à son ^^xe, et a l'inclinaison du plan sur l'horizon. Soit I le point de suspension, IC = a; la figure 230 représente les choses à l'origine du mouvement, la figure 231 à l'ëpoque ( ; prenons CA pour axe des x, C pour origine; le point du cylindre qui était d'abord en I, est venu en K, et l'on a :
arc BK = BI = cotg 8, arcBL = a {i — A' arcLK = a(o + colgO — -]' (I) LOK = 0' — 0 + cotg 0 — ^-
0' est l'angle dont on a tourné le cylindre, daiis le mouve-
Fiq 230
ment relatif autour du centre de gravité 0, par rapport à la direction fixe 01; u désignant la vitesse angulaire de ce
mouvement de rotation,
on aura:
ou, en remplaçant 6' par sa valeur (1) :
db
\ sin' 6/ dt
Les forces agissantes sont : la tension du fit BT = T, la réaction normale AN = N du plan; elle passe par le centre O du cercle, et le poids OG = Mg du cylindre. Soit CA = OI = X l'abscisse du centre de gravité; on aura iiour déterminer le mouvement de ce centre de gravité l'équation :
(3) ^d('~ "* sin a — T cos 0.
On a du reste :
sm ô
On aura enfin, pour déterminer la rotation du cylindre dans le mouvement relatif autour de son axe :
MK'^=Ta, dt
ou bien, en remplaçant u par sa valeur (2) ;
' dt{\ sin' 6/ dl )
(3), (4) et (5) déterminent a;, ô et T en fonction du temps; on tire de (3) et (4), en ayant égard à l'expression (5) de T :
(6) '^sTl?-, =?sm=,-^;cose ''SA- J^)l»i- — ^p — a fl' dti\ sm' 8/ dl S
Cette dernière équation, qui va déterminer fl, est du second ordre; elle ne contient pas t explicitement; on posera donc pour la ramener au premier ordre :
et l'on éliminera dt entre (6) et (7), ce qui donnera successivement :
rcosOdi» / l 2 cos* 6\~j gaina
Lsin*ed6 \sin 6 sin'd/J" a
K* / cos* ttdu 2m cos e\
a' \ sin' 6 dH sin' 0 /'
d'où, en multipliant par 2 cos 6
du
rrll +-i(^os'e)-jT .~vi sin*e + 2(1-1--, cos'O u*
«\ a' / du sm" e[ \ «V J
2/7 sin a
n' 9 + 2(1 + -jl cos* 0
9 (l -f- — cos' Oj
^ sin 2
cos 6 1 1 + -j cos* e I ou bien en faisant :
sin' 6
sin 6 COR 6 (l + -f cos'Oj
tgs
s 0 [l -t- ^ cos' oJ
équation linéaire relativement au'; on en tire en int^rant : (8) «• = e/r-O j ^ j, sin a - Ce-/''-''' Q rfô *>
C désignant" une constante arbitraire. On a ensuite :
en faisant :
Or:
donc :
ih + z i 1
lu''
(8) donnera ensuite, après réduction :
ig' « (
n a J sm* 9 )
ou bien, en efîecluaiit les culculs, et remplaçant « par sa
valeur (7) :
, d6' j iga sin' 9 (1 + G sin 9)
df
cos'
COS
formule
donnera
âx dt
sin'
Si)
DYNAMIQUK. 2^7
En remplaçant ^ par sa valeur tirée de (9), et prenant le signe — , puisque 9 va en décroissant, on trouvera :
dt ' sin 8 V « + K cos' 9
A l'origine du mouvement, la vitesse du centre de gravité est nulle, 6 = 5; la formule ci-dessus donne donc :
donc:
et l'équation (9) devient :
,... d0^2g'asinasin' 9 (1 — sin 6) ,
dt* ~ cos' 9 (a,' + K' cos' 9) '
poui" f = 0, 9 = ^. on a donc, en remarquant que
1 — sin 9 1 — sin* 9 I
cos' 9 cos* 9 (1 4- sin 6) 1 + sin 9
se réduit à 3 :
/rfe\ ./g sin a \dl}- V a ' On aura ensuite, en partant de la formule (2) :
,,,. - /îff sin a ^ / 1 — sin 9
^ " ^/ sino(i + ^cos'ej
Enfin, la formule (5) donnera :
- «171 d 1'/, 1 \ ) ,,,.,{ 4ij' rf.tt'i cos' 9
dii\ sin' 9/ ) 'sm9cos9 d9)2sin'(
2*18 COUnS DE MÉCANIQUE.
OU bien, en remplaçant -^ par sa valeur tirée de (8), et ensuite u' par sa valeur (9) :
^ ^ {a* -h K* cos 9)' ' ^ ' '
Le problème est donc résolu finalement par les formules suivantes :
/â ■■ /.n COS 61/ )
sin 9 (/sin 9 (1 — sin 0)
L'équation (A) donne 6 en fonction de t (en prenant sin 6 pour nouvelle variable, on verra aisément que t s'exprime à l'aide de cette nouvelle variable par une intégrale elliptique); les équations (B) et (C) donneront ensuite a; et u en fonction de 6 ; enfin, la formule (12) fera connaître la tension T.
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