Introdaction des trois angles d'Ealer. — On sait

qu'il existe six relations distinctes entre les 9 cosinus, qui dépendent par conséquent de trois variables seulement. Traçons une sphère de rayon i, ayant pour centre le point fixe 0, et marquons les points X, Y, Z, x, y, z où cette sphère est percée par nos deux « it, systèmes d'axes. Considé-

rons un mobile en mouvement sur l'arc de grand cercle xy, dans le sens ccy; ce mobile rencontrera le Jf grand cercle XY en deux points N et N', qui sont les nœuds du cei-cle ce y relativement à XY; soit N celui des nœuds par où passe le mobile, en passant de l'hémisphère XYZ à l'autre XYZ'; ce sera le nœud descendant, le seul dont nous nous occuperons ; on pose :

XN=<t; Na; = ?; XNa; = 6,

1)1 se compte positivement, à partir de X, en sens invçrse de XY et varie de 0 à 360°.

f se compte positivement de N vers x, de 0 à 360"; donc, dans le sens de xy.

Enfin, l'angle 0 est compté au-dessous du plan XY, et varie de 0 à 180°.

Ces trois angles déterminent sans ambiguïté la position des axes Ox, Oy, Oz.

Expression des 9 cosious en toaction de<^, ^

a — cos (X, X).

-On a :

On considère le triangle sphérique XNa;, dans lequel on a :

en appliquant la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, on trouve :

(A) 0 = cos (X, «) = ces i}- eos ç + sin i|i sin ç cos 0. En changeant dans cette formule ç en ? + 90", on aura :

(B) 6 = cos {X, y) =: — cos ili sin 9 + sin i^ cos 9 cos 0. En changeant dans (A) i}- en 41 + 90°, on aura :

(D) b' = cos {Y, y) = sin <)i sin f + cos <!' cos f» cos 9.

On trouvera c, c', c', a', b' par la considération des triangles sphériques XNz, YNz, ZNx, ZNy, dans lesquels

on a :

XN = <t; 3N = 90"

a;N=ç; ZN =

SN = ? +90°; ZN = 9(I";

2NX = 90"- 2NY=90'' ZNaT=90» + 8.

ZNy = 90<'

et on aura le tableau suivant, pour les formules ciiercliées :

a = cos <{i cos f + sin 1^ sii 9 ^^^^ ^1 a' := — sin "{i cos ç + cos iji sin ? cos 9, a'= — sin ç sin 9,

6 = — cos iti sin y + sin iji cos ç cos 0, (2) { ] fr' =. sin i}" sin o + cos 1)1 cos y cos 9,

' 6'=: — cos ? sin 9,

i c = sin (]< sin 6,

î C'=:C0S<li8in 9, I «*= + cos 9.

Le problème revient donc à la détermination de i/, ç, 6 en fonction du temps. Il serait difficile et compliqué d'aborder ainsi directement le problème.

39. Introduction des variables auxiliaires p, q, r. — On sait que, lorsqu'un corps solide tourne autour d'un point fixe, son mouvement est à chaque instant un mouvement de rotation autour d'une certaine droite que l'on nomme l'axe instantané. Soient, à l'époque t, 01 la position de cet axe instantané, u la vitesse angulaire de rotation ; on choisit le demi-diamètre 01 de manière qu'un observateur couché sur 01, les pieds en O et la tête en I, voie la rotation s'effectuer dans le sens direct. On sait qu'on peut remplacer la rotation autour de 01 par trois rotations autour de trois droites'formant un angle trièdre ayant son sommet en O, et que, pour le faire, il suffira de porter la longueur u sur 01 et de déterminer le parallélipipède ayant u pour diagonale, et dont les arêtes soient dirigées suivant les arêtes du trièdre; les longueurs des arêtes du parallélipipède obtenu seront les rotations composantes.

Ainsi, en particulier, on pourra décomposer la rotation u en trois autres dirigées suivant les axes rectangulaires Ox, Oy, Oz liés au corps; soient p, q, r les vitesses angulaires de ces rotations, on aura :

p=ucos(I,a!); î = 11008(1, y); r=i..cos(I,z); p*+j'+ r'=u*, et invei-sement :

cos (I, X) = ^ -1 cos {I, y) = -

Vp' 4- ç* + r* Vp*

ces (I, z) — ■

Vp* + î' + r'

Si l'on connaissait p, g, r en fonction du temps, on

pourrai!, à une époque quelconque déterminer la position

de l'axe instantané 01 relativement aux axes Ox, Oy, Oz et la vitesse u de la rotation.

La rotation u autour de 0 1 peut aussi être décomposée en trois autres : une rotation X autour de OZ, [* autour de Oz, vautour de ON.

Le sèment u est la résultante géométrique des trois

s^ments )., ji, v; sa projection sur une droite quelconque

est donc la somme des projections de X, \x, i sur cette

droite;en projetant de la sortesurOa:, Oy, Oz on trouvera;

p = X cos (Z, œ) + n CCS (z, x) + v ces (N, x),

j = X ces (Z, y) + (j. cos (z, y) + v cos (N, y),

r = X cos (Z, z) + (j. cos (z, z) + v cos (N, 2),

ou bien, en remplaçant les cosinus par leurs expressions données plus haut :

!p = — 5, sin 6 sin ç + V cos 9, 5 = — >. sin 8 cos ? — V sia ç , r = X cos 6 + p..

Afin de pouvoir raisonner, supposons :

X > 0, in > 0, V > 0.

Dans la rotation infiniment petite XAÎ autour de OZ, le

point z reste à une

■t distance constante de

Z; la figure ziixy se

meut comme un corps

solide; Nœ reste le

même ; donc cette ra-

•y tation n'altère nie ni ç;

le point N vient en N',

et l'on a :

NN' = + XAï.

Fia. 233

En désignant par i^^ ta variation de 41, on aura, en tenant compte du sens dans

224 CODRS DE MÉCANIQUE,

lequel <!f est compté :

At|< = — NN'; donc:

i^=z — X^t; iç = 0; i9=0.

Dans la seconde rotation (jiAi autour de Oz, le grand cercle xy glisse sur lui-même; le point N reste fixe, -^ et 0 ne changent pas; le point x vient en x', et l'on a :

■ XX' =: + it à.t; 4ç = + a:aî';

donc:

it;i = 0; Af = + itii; 46=0.

Enfin, dans la dernière rotation vAi autour de ON, le point N restant immobile, 4> ne change pas; il en est de même de 7; quant à 6, il âiminue de vAl; on a donc :

à^ = 0; Aç = 0; i9 = — vAÏ. .

En réunissant les trois séries de variations trouvées ci-dessus pour il*, f et 6, on trouvera ;

4(j, = — Xi(;' A9 = +[jiiï; A6 = — vAt

pour les accroissements infiniment petits de <^, ? et 6, produits par les trois rotations considérées, ou, ce qui revient au même, par la rotation uAf effectuée autour de 01. D'où, en faisant tendre Ai vers zéro :

tes formules (3)

donnent donc :

p = sin

{ = COS

,sl„.li

-cos.^^

d'où:

: .' 'di/ ■ : ■

I psinç + y cosç = sin:6.-^r : ., , :::.>■ -y

\ di ■ (P) - fsinç-pcosç=^. ■

( ^ = r + cos6^=r + cotg 6 (p sin <? + j cos ç).

Telles sont les relations cherchées entre <!,-.^, 6, p, g, r.

41. Détennination des projections u, v, ùf de la vitesse d'un point quelconque dn corps solide sur les axes 0^, Oy, O^ (positions de ces axes à l'époque 0-

Les positions Ox', Oy, Oz de ces axes à l'époque t deviennent Oa;', Oy-, O2' à l'époque t' = t -i- dt.

Soient M la position d'un point quelconque du, corps à l'époque t, X, y, z ses coordonnées relatives aux axés Ox, Oy, Oz; à l'époque t + dt, ce point est venu en M'; ses coordonnées relativement aux axes Ox', Oy', Oz' sont encore x, y, z; mais, relativement aux axes Oa;, Oy, Or elles seront : x + ix, y + By, 2 + 82, et l'on aura :

ix:=u4t; ii/=:vdt; iz = ioit:-

On peut obtenir ces accroissements sous la- forme ;

ix=i,x+- 8,0! + 8,», By = 3,y + î,y + 8,y,

les S, désignant les accroissements infiniment petits des coordonnées x, y, z répondant à la rotation infiniment petite pdt autour de Ox; de même 8, et 8, répondant aux rotations qdt et rd-t autour de Oy et Oz. Calculons par exemple. les S,; pour le point x, y, r, on a :

X7= p cas b>, y ^= p sin u, z = z, Dewevrods. —Mécanigue. II, 1D

p désignant la distance du point x,y,zà l'axe Oz. Dana la rotation rdt autour de Oz, z et p restent les mêmes, u augmente de îw = rdt; on a :

&,a; = — p sin u Su; i,S.= + p cos u Su; d,2 ^=0,

ou bien :

§,» = — yrd(; î,y = +iBrdï; 8,3=0.

On en déduit, par des permutations circulaires ;

î,y = — zpdï; i,z= + ypdt; !,ic=0, î.ff = 0,

-xgdt; a,a;=+ zijdt

et par suite :

tœ={qz-ry)d:.

8» = (ra!-p2)ii(

lz = (py-,x)dt.

Donc:

1 u = qs — ry.

1 f z=rx — pz,

( »=pj — J».

42. Expression de la force vive du système solide à l'époque t, à l'aide des variables p, q, r. — Soit V la vitesse du point M, on a :

V = M* + r>' +■ w*, et en remplaçant u, v, tv, par leurs valeurs (5) :

V = p' (ï* + 3*) + 3' (3* + «•) + r* (ip* + y')

— 2jr yj — irp xz — 2pç ajjf.

D'où, comme à un instant donné, p, g, r sont les mêmes pour tous les poinU du corps.

2j» V = p' Sm (y* + 3') + ç* 2m {z' + w*) + r* Sm («* + ff*) — ïjrîmyz — 2pr2maî2 — 2p?Si»xy.

Cette expression se simplifie beaucoup, si l'on prend pour

DÏNAMKIDE. 227

Ox, Oy, Oz les axes principaux d'inertie du corps, qui répondent au point fixe 0, ce que nous ferons toujours désonnais. On aura, en effet :

(D) Smyz = 0; ^mxz = 0; Zfnxp — Q,

et, en désignant par K, B, C les moments d'inertie principaux du corps solide, relatifs au point fixe 0 :

(E) Sm(y' + z*) = A; Sm(i' + a;') = B; Zm{oo* + f) = C. Il en résulte : '

(6) 2m V = Ap' + Bq* + Cr*.

43. Détennination, relatîTement aux positiona Ox, Oy, Oz, qu'occupent à l'époque t les axes principaux, de l'axe dtt couple réBultant des quantités de mouvement des divers points do corps solide. — Soient A'^ B', G' les projections de l'axe de ce couple sur Ox, Oy, Oz; on aura :

A' = Sm(yro— zv),

B' = Zm (lu — xw),

C = Sm(aiu — ytt),

ou bien, en remplaçant u, v, w par leurs valeurs (5) : A' = S«i Jp (y' 4- 2') — qxy — rxz\, B' =Sm i q{z' + x^) — ryz —pxy j,

C =Snt |r {x'+ y*) —pzx— qzy {,

ce qui, en vertu des relations (D) et (E), se réduit à :

(7) k'=kp; B' = Bî; C = Cr.

Soient OG l'axe du couple l'ésultant, à l'époque (, et G Je moment de ce couple, on aura :

l G' = A'p' + B'î* + CV,

^^ j C03(G,«)=:^; cos(G,y) = ^; cos{G.^) = ^.

On voit donc quel rôle important jouent les quantités p,

g, r reîativement à l'expression de la force vive et à celle de la direction de l'axe du couple résultant.

44. Équations d'Euler. — Nous nous appuyons sur le théorème suivant démontré antérieurement :

Là dérivée, par rapport- au temps, de la somme des moments des quantités dé mouvement des divers points du corps, autour d'un axe fixe, est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe. Soient :

Ox, Oy, Oz les positions des axes principaux "d'inertie à l'époque t; ■ Ox',0y',0z' les positions des axes principaux d'inertie à l'époque t H- dt;

OG et OG' les axes correspondants des couples résultants.

Nous allons appliquer le théorème, relativement aux trois axes fixes Ox, Oy, Oz; les projections de OG sur ces axés ont pour expressions :

Ap, Bq, Cr.

Les projections de OG' sur les axes Ox', Oy', Oz' sont égales à:

k{p + dp), B (5 + dg), G (r + dr).

Mais, il nous faut, par exemple, la projection de OG' sur Ox;

cette projection est égale à :

\[p + dp)c(a{x' fX) +B(q~hdq)cos(y',x) + G(r+dr)cos(z' ,0!).

Donc, l'accroissement, pendant letemps dt, de la somme des quantités de mouvement, mr rapport à l'axe fixe Ox, sera :

(F) A (p + dp) cos (x'fX) + B (î + dq) cos(^',x)

+ C (r -H dr) ces {z'.x) — kp.

On aura la dérivée qui figure dans notre théorème, en prenant la limite delà différence (F) divisée par dt. Pour y arriver, il faut obtenir les expressions des cosinus des angles {x' x), (j/'x), (z'x) ...

Prenons sur Ox une longueur Oa = 1 ; au temps ( +dt, le point a vient en a', sur Oa;'; soient x, y, z les coordonnées du point a par rapport à Ox, Oy, Oz; x„ y„ z, les coordonnées du point «' par rapport, aux mêmes axes. On aura :

cos(aî,'aî)=iP,; cos (x[y) = ?,; co3(a;,'2) =z,.

Les projections de la droite ««' sur les axes Ox, Oy, Oz sont égales respectivement au dt, v dt, iudt,eten écrivant que la projection de Oa' sur l'un; quelconque des axes Ox, Oy, Oz est égale àlasommedesprojecUonsdeOaet deaa', il viendra ;

Xt=:x + ttdt; y,^]f + vdt; Zi=z-i-wdt.

Or, on a :

et en'remplaçaot x, y, z par ces valeurs dans les équations (5), on trouve :

Digitizeû by ^lOOQ IC

il viendra donc :

COURS DE MtXANIQUii;.

cos («,' 3!) = a;, = 1,

cùs (xl y) — g, — rdl,

cos {«,' z) = Si^ — qdl.

Par des permutations de lettres, on trouvera les cosinus des angles que font les axes Oy' et Oz' avec Ox, Oy, Oz, et on formera le tableau suivant :

Oî

Tit

-qdt

— rdl

fdl

qdl

-Vdt

On en déduira, pour l'expression (F) ;

A (p + dji) — B (y + dg) r dï + C (r + dr) qdt — kp, ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre :

kdp-i- {C — B)qr^t- Divisant par dt, on aura, pour la dérivée de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe tixe Ox:

Ag + (C-B)îr.

Soient donc L, M, N les sommes des moments des forces extérieures qui fissent sur les divers points du corps, par rapport aux axes Ox, Oy, Or, on aura les trois équations suivantes, dites équations d'Euler :

- (C — B) jr = L ,

- (A — C) r/i = M, CSl + (B-A)pj = N.

Ea supposant les forces extérieures appliquées à tous les points du corps solide, désignons par X, dm, Y, dm, Z, dm les composantes suivant les axes Ox, Oy, Oz de la force extérieure appliquée à l'élément de masse dm du corps; ou aura :

/ h = f{sZ,— zY,)dm,

(10) ' M=r(2X, — a!Z,)dm,

[ N =/"(;»¥, — yX,) dm,

où les int^rales s'étendent à toute la masse du corps ; si l'on désigne du reste par X, dm, Y, dm, Z, dm, les composantes, suivant les axes fixes OX, OY, OZ de la même force, on aura :

{ X, =aX, + a'Yi + o'Z.,

(11) Y, =&X, + 6'Y. + b'Z„ ( Z, — eX, + e'\, + CZ,.

En se rappelant les formules (2), on voit que L, M, N seront des fonctions de i|<, 8, <p; on aura donc en résumé, pour résoudre le problème, les équations suivantes :

il ( L=F.(^,«,f),

B5f + (A-C)rp = H, M = F. (.^, 9, ç),

; B = sin 8 ~ sm ffl — -T- cos », 1 '^ dt ^ dt ^

\ . «d-V de .

9 =: sm e ^^ cos 7 + -jT sm f,

\ dt dt

Ainsi; on est ramené à intégrer un système de six équations différentielles simultanées du premier ordre; il y aura six constantes arbitraires, les valeurs de (|(, 6 et <j, à l'époque zéro, faisant connaître la position initiale du corps, et les valeurs initiales de}i,^,r faisant connaître la rotation initiale.

On pourrait remplacer dans (9) p, q, r par leurs valeurs (3), et on serait ainsi ramené à un, système de trois équations simultanées du second ordre, contenant les trois quantités inconnues ■}<, 6, f.

En général, il vaudra mieuxgarder les six équations (9) et (3) .

Nous ferons toutefois ce calcul, dans un cas particulier, celui de A = B; alors les équations d'Euler se réduisent à :

- {C — A)qr = L,

(C - A) rp = H,

Soit NB = 90" ; nous introduirons, au lieu de L et M, les moments P et Q relatifs aux axés ON et OB; nous aurons :

P := L CCS f ^ M sin ç.

= L sia 0

- H coss.

FJj. 235

Nous aurons donc, au lieu des équation8'(j9), les combinaisons suivantes (13) :

A fcos ? jf ~^'"?5",) ^ (C — A)r(3 cosç +psinç) = P,

(13) A Uin ? j^ + ces ? ^ W (C — A) r (î sin ^ — p cos y) = Q,

rfg — d.(gsiny— pcos^) rfp

^it:

tlt

gg d.(psin o + g cosç) dç

H- j^Cpsinç + gcosç),

ji(îsmj— pcosf):

On pourra donc écrire les équations (13) comme il suit :

(psin ? + jcol'v)] a4 + (C — A)r|= P,

(I4)< + A ^(p sin.9 + ç ces ç)

(s sin 9 — p cos ?) J A ^ + (G — A) T I = Q, = N,

Or, on tire de (3) ^

îsin ç.— p cosç = -rr'

p sin f H- 9 CCS ç = siD 0 -j^>

r = 3^ - cos » -

en portant ces valeurs dans (14), on aura :

fA.ÎÎ.(C-A)sin.„.(i|y-Csi„.ljl^=-P, • A.„«^î.(,A-C).os,ï^fl + C^l-î= Q.

^ i là, . (i+\

Ce sont là des équations dont on fait un usage très fréquent dans les applications (mouvement d'un corps pesant de

révolution autour d'un point de son axe, mouvement de la toupie, gyroscope, etc.).

45. Mouvement d'an corps solide aatour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures. Solution analytique.

— On a dans ce cas :

Les trois équations d'Euler donnent :

[ C^ + (B-A)pî = 0.

n convient de remarquer qu'on aurait encore ces trois mêmes équations si la résultante des forces extérieures passait constamment par le point fixe.

On en tire, en multipliant ces équations respectivement par p, g, r :

d'où, en intégrant et désignant par 2T une constante arbitraire :

(2) Ap' +B5» + Cr'=2T.

D'après l'équation (6), le premier membre représente la force vive du corps.

Ainsi, l'intégrale (2) est celle qui répond au principe des forces vives; multiplions les équations (1) respectivement par Ap, Bq, Cr, ajoutons, nous trouverons :

.. # — dq „. dr

Digitizeû by ^lOOQ IC

d'où, en intégrant et désignant la constante arbitraire par G' : (3) A'p' + B*5* + C'r' = G*.

G est te moment du couple résultant des quantités de mouvement, comme il résulte de la théorie développée plus haut; l'intégrale (3) exprime donc que le moment de ce couple est constant; nous savions déjà qu'il en était ainsi, et même que le plan de ce couple est invariable.

On peut rendre les formules plus symétriques par l'introduction de la variable u' = p* -f- ?' + r*, qui représente le carré de la vitesse angulaire de la rotation instantanée. Nous aurons les équations (A) :

(À) j Ap*+Bî'-i-Cr*=2T,

En résolvant ces équations, par rapport à p', g' et r', on trouve :

( p»(A-B)(A-C) = G'-2T(B+G)+ BG u»,

(B) j 3'{B — C){B— A) = G»— 2T(C -(-A) 4-CAu», ( r' (G - A) (G — B) = G* - 2T (A + B) + AB u*.

Supposons que B soit le moment moyen et posons :

f 2T(B+C)-G* = BCX»,

nous aurons : .

t p»(A-B)(A--C) = BC(w' — ).'),

(D) U' (B - C) (A - B> = AG (ix' - .0*). ( r'.(A-C){B-C)=AB(«'-v*).

Les différences A — B, A — C, B — C ont le même signe, on en conclut :

■ : Je dis que î.^, n*, t* sont positifs; on déduit en effet de l'expression (C) de X*, en y remplaçant 2T et G* par leurs valeurs (A) :

BCX' = A(B + C,-A)p' + BCv'-HBCr';

le second membre de cette équation est positif puisque l'on a :

B + C — A = ÎSm** quantité positive.

On verrait de même que les quantités p,' et v* sont paiement positives.

On déduit encore de (C) les combinaisons suivantes :

ABC (X" — i*') = 2T (AC — BC) - G' (A — 8), ^ / ABC(V-(*') = (A — B)(2CT — G'),

(E) J ABC(i*' — v»)=(B— C)(ÏAT— G'),

( ABC{X'-ï') = (A— C)(ÎBT-G*).

Portons les valeurs (D) dans l'équation :

Ap^ + (C-B)P!/r = 0,

nous trouverons :

ABC dw

(A — B) (A - C) " dr