Cas de A = B. Méthode particolière d'intégration
— Cette hypothèse se trouvera réalisée si le corps est homogène et de révolution autour de Oz.
Digitizeû by ^lOOQ IC
Le? équations d'Euler deviennent :
Aj,-"^
-A)jr = 0,
-A)pr = 0,
On déduit de ces équations,
en désignant
par n
une
cons-
tante arbitraire
\ àt
En difTérentiant la première de ces équations, et tenant compte de la seconde, il vient :
en posant :
cette dernière équation devient :
= — lA* B'p,
dont l'intégrale est :
p 1= tnsin {^nt + e), m et s étant des constantes arbitraires. On aura ensuite :
B[jig = -? = m[j,v cos([iBï + e).
DespeTROUSj— Kieaniqve. !I. W>
Digitizcû by LiOOQ IC
242 COURS DE HËCANIQUE.
On trouvera donc pour p, q, r les valeurs suivantes :
p:=msin (|i«( + e), q^=mzùs ([(.Bî + s), r = n,
(i>' = p» + î' + r' = m* + «' = consl. On a en général, en prenant pour axe OZ l'axe du couple résultant :
■ « Ap • - — Aff » Cr
(j (] Il
On en déduit :
. C« cos8 = -7r; 9 = const.
Le plan de l'équateur se meut donc en gardant une inclinaison constante sur le pian XOY, c'est à dire sur le plan du couple résultant; la vitesse angulaire de ce mouvement est ^h; elle est différente de w = Km' + «'.
Pour calculer '^ en fonction du temps, remarquons que l'on a :
^ = G Ap' + Bg' — GA (p* + g*) G dt ~ A*p' + B'p' ~ A» Cp* + 9») ~ A '
On en déduit, en désignant par -Ji, une constante arbitraire :
Donc, la trace de l'équateur sur le plan du couple résultant se meut uniformément, et par conséquent l'axe de révolution décrit d'un mouvement uniforme une surface conique ayant pour axe de révolution l'axe du couple résultant.
Tbioria séomitrique da Fofntot, dani la câ( oft il n'r a paa
de force! exUrianrat.
47. L'application du théorème des aires montre que : 1" L'axe du couple résultant des quantités de mouvement
, Digitizeû by ^lOOQ IC
conserve dans l'espace une grandeur et une direction fixes ; les projections de l'axe de ce couple sur les positions, à l'époqae t, des axes principaux d'inertie relatifs au point fixe 0, étant égales respectivement à kp, Bq, Cr, on en conclut, en désignant par G le moment constant du couple résultant:
2" L'apptication du principe des forces vives nous apprend que : la force vive du système reste invariable dans le mouvement; car les forces extérieures sont nulles, et la somme des travaux des forces intérieures est égale à zéro, parce que les distaiices mutuelles des divers points du corps solide sont invariables ; on aura donc, en désignant par T une constante :
Ap» + By* + Cr* = ST.
Cherchons le point P où l'ellipsoïde central relatif au point fixe est rencontré par l'axe instantané OP de l'époque t; soient Ç, t„ C les coordonnées courantes, rela* tivement aux axes principaux d'inertie; l'eliipsoide a pour équation :
AS' + Bïj* 4- ce = *,
et les équations de l'axe OP sont ;
Soient Ç„ 7i„ t, les coordonnées du point P que nous appellerons le pôle instantané, ou encore le pôle de la rotation, p, = OP sa distance au centre de l'ellipsoïde, u la vitesse angulaire de la rotation ; on aura :
d'où :
avec la relation :
d'où:
mais on a dëjà :
Ap' + Bq* + Cr»=:2T, il résulte donc des deux équations précédentes :
p, ylT = ù».
Donc :
3» La vitesse angulaire de la rotation est proportionnelle d la longueur du rayon vecteur mené du centre de l'ellipsoïde ou pôle instantané.
Le plan tangent au point P à l'ellipsoïde principal a pour équation :
AÇ5, +By)yi, + C!:!:. = 1; ou bien, en remplaçant Ç„ i)„ C, par leurs valeurs :
^ (ApÇ + Bj») + CrO = l,
ou encore : ^^
ApÇ + Bgï) + Cri:=J2T.
On voit que ce plan est parallèle au plan du couple résultant; car les cosinus que fait avec les axes la normale à ce dernier plan sont proportionnels à Ap, Bg, Cr; donc :
Digitizeû by ^lOOQ IC
4» Le plan qui touche l'ellipsoïde au pôle instantané est parallèle au plan du couple résultant.
Ou bien :
L'axe instantané est le diamètre conjugué du plan du couple résultant, par rapport à l'ellipsoïde central.
On voit cpie le plan tangent dont on vient de parler conserve une direction fixe, puisqu'il est parallèle au plan du couple résultant, et que ce dernier a une direction invariable.
Cherchons la distance du point fixe à ce plan tangent; cette distance sera :
- := const.
KAy + B'î' + CV G Donc:
5° Le plan qui touche l'ellipsoïde au pâle instai^tané reste toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde.
Ainsi, le centre de l'ellipsoïde est fixe, le plan tangent au pôle de rotation garde une direction invariable, et reste toujours à la même distance du centre ; donc :
6" Le plan parallèle au plan invariable, qui touche sans cesse l'ellipsoïde central, au pâle instantané de la rotation, est toujours un seul et même plan fixe dans l'espace absolu.
On se représentera donc le mouvement du coi'ps en concevant :
'1° Que l'ellipsoïde central, dont le centre est maintenu fixe, reste en contact avec un même plan fixe;
2« Qu'il tourne à chaque instant autour du rayon vecteur qui va du centre au point de contact;
3" Qu'il tourne avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur même de ce rayon.
Tel est le théorème de Poinsot.
Cherchons l'angle i de l'axe instantané et de l'axe du
couple résultant; on aura :
kpp Bflfl Crr 2T
cosi = -ï^i- +7r- + 7r-=^'
G (i) b ui G o> Gu
d'où :
2T 0) COS ( = -^ — coost.
Donc, la vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à l'axe du couple résultant.
48. Développemeot de la aolntion. — La suite des points par lesquels l'ellipsoïde central vient se mettre en contact avec le plan fixe, étant considérée sur la surface de l'ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps, et les mêmes points étant considérés dans le plan fixe, y marquent sa route dans l'espace absolu. Soit U la première âe ces courbes, que Poinsot a nommée la poloïde, U, la seconde, ou l'herpoloïde. Le lieu des axes instantanés dans le corps est un cône S, ayant pour sommet le point 0 et pour directrice la courbe U ; le lieu des axes instantanés dans l'espace est un cône S, ayant pour sommet le point 0 et pour directrice la courbe U, ; on peut se représenter le mouvement en faisant rouler le cône S sur le cône fixe S,.
49. £qoatiOD6 de la poloïde. — La poloïde est le lieu des points de l'ellipsoïde central pour lesquels le plan tangent
' est à une distance constante du point fixe 0, cette distance
étant égale à V^ -tt ■
L'équation de l'ellipsoïde, central est :
A.X* + By» + Ca' = ï; A < B < C,
x', y', z' désignant les coordonnées d'un point quelconque de la poloïde ; la distance à l'origine du plan tangent en ce
Digitizeû by ^lOOQ IC
point est :
Vi'if' +
on aura donc :
l/jT .
0 kA'^c-
